5.4(1)二次函数y=ax2的图像和性质
二次函数y=ax2图像和性质
欢迎来到我们的演示文稿！今天我们将深入探讨关于二次函数的图像和性质。 让我们一起来探索吧！
二次函数的定义和表达式
二次函数是一个形如 y = ax²+ bx + c 的函数，其中 a、b、c 为常数。 它的图像通常是一个平滑的弧线，可以呈现不同的形状和方向。
二次函数图像的基本形状
二次函数图像的对称性
二次函数的图像关于其顶点对称。 这意味着，如果顶点的坐标是 (h, k)，则对称轴是 x = h。
二次函数的顶点和轴
二次函数的顶点是抛物线的最高或最低点。 顶点坐标可以通过公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。 其中，f(x) 是二次函数的解析式。
二次函数的零点和解析式
通过二次函数来描述物体的运动轨迹，如抛 物线的飞行轨迹。
3 面积计算
二次函数图像下方的面积可以用于计算各种 形状的面积，如池塘或园艺项目。
4 信号处理和图像处理
二次函数的性质被广泛应用于数字信号处理 和图像处理算法中。
向上凹的抛物线
当 a 的值大于 0 时，抛物线开口向上。
向下凹的抛物线
当 a 的值小于 0 时，抛物线开口向下。
二次函数图像的平移和缩放
平移
通过增加或减小 c 的值可以改变抛物线在 y 轴上的位置。
缩放
通过改变 a 的值来控制抛物线的宽度和高度。
特殊情况
当 a 的绝对值很大时，抛物线会变得非常陡峭或扁平。
二次函数的零点，也称为根，是函数与 x 轴相交的点。 通过求解二次方程 ax²+ bx + c = 0，我们可以找到二次函数的零点。 解析式为 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。
二次函数 y=ax2的图象及其性质ppt课件
x轴
______对称.
如果已知y=ax2 (a≠0)的图象，可通过
2的图象.
翻折
_________更方便地得到y=－ax
上
当a＞0时，抛物线开口向___；
当a＜0时，抛物线开口向___.
下
y
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y=2x2
1 2 3 4 5
x
y=-2x2
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象
第1课时 二次函数 y=ax²的图象及其性质
学习目标
知识与技能 ：能够利用描点法画函数y=ax2的图象。
过程与方法 ：
①经历二次函数y=ax2图象的作法。
②探索二次函数y=ax2性质，获得利用图象研究函数性质的经验。
重点：会画函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y=ax2
0 时， y 随x 的增大而减小
当 x=0 时， y 最大值 =0
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探究新知
例1 已知二次函数y=ax2 (a≠0)的图象经过点(－2，－3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的表达式.
解：把点(－2，－3)的坐标代入y=ax2 ，
得－3=a(－2)2，
解得 a=－
.
所以这个二次函数的表达式是y=－
0.5x2的图象，它们的共同特点是( D )
A．都关于x轴对称，抛物线开口向上
B．都关于原点对称，顶点都是原点
C．都关于y轴对称，抛物线开口向下
D．都关于y轴对称，顶点都是原点
24
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 参考解析
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课前预习1.二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）.当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，此时抛物线有最低点，即当x=0时，y取得最小值0 ；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时抛物线有最高点，即当x=0时，y取得最大值0 .|a|越大，抛物线的开口越小，|a|相等说明抛物线的开口大小相同.课堂练习知识点1 二次函数y=ax2的图象1.填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.2.某同学画二次函数y=ax2的图象时，列下列表格：（1）将表格中的空格补全；（2）这个二次函数的解析式为y=-1x2；2（3）在平面直角坐标系中画出二次函数的图象.解：（3）函数图象如图所示.知识点2 二次函数y=ax2的性质3.已知二次函数y=（m-2）x2的图象开口向上，则m的取值范围是m>2 .4.下列各点在二次函数y=-2x2图象上的是（ B ）A.（-1，2）B.（-1，-2）C.（-2，-4）D.（-2，4）5.关于函数y=x2的图象，下列说法错误的是（ C ）A.它的图象是一条抛物线B.它的开口向上，且关于y轴对称C.它的顶点是抛物线的最高点D.它的顶点在原点处，坐标为（0，0）课时作业1.与二次函数y=x2开口大小相同，方向相反的二次函数是y=-x2.2.二次函数y=-0.2x2的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）.当x= 0 时，函数有最大值0 ；当x ＞0时，y随x的增大而减小.3.关于函数y=3x2的性质，下列说法正确的是（ C ）A.无论x为任何实数，y的值总为正B.当x值增大时，y的值也增大C.它的图象关于y轴对称D.它的图象在第一、第三象限内4.已知A （-1，y ₁），B （-2，y ₂）都在二次函数y=x 2上，则y ₁，y ₂之间的大小关系是（ C ）A.y ₁>y ₂B.y ₁=y ₂C.y ₁<y ₂D.不能确定 5.二次函数y=ax 2（a ＞0）的图象经过点（3，4），则其图象一定经过点（ C ） A.（3，-4） B.（-3，-4） C.（-3，4） D.（4，3）6.如图，当ab ＞0时，函数y=ax 2与函数y=bx+a 的大致图象是（ C ）7.二次函数y=2x 2，y=-2x 2，y=12x 2的共同性质是（ B ） A.开口向上 B.对称轴是y 轴 C.都有最高点 D.y 随x 的增大而增大 8.已知函数y=（m+2）226m m x +-是关于x 的二次函数. （1）求m 的值；（2）当m 为何值时，函数图象的顶点为最低点？ （3）当m 为何值时，函数图象的顶点为最高点？ 解：（1）根据二次函数的定义得22026 2.m m m +≠+-=⎧⎨⎩，解得⎩⎨⎧-==.4,221m m ∴m 的值为2或-4；（2）当m=2时，抛物线的开口向上，函数有最小值，函数图象的顶点为最低点； （3）当m=-4时，抛物线的开口向下，函数有最大值，函数图象的顶点为最高点.9.在同一个平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y=x 2；②y=12x 2；③y=-x 2；④y=-12x 2.从图象上对比，说出解析式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响？解：列表如下描点、连线，函数图象如图所示a的绝对值相同，抛物线的形状相同；a的绝对值越大，开口越小.10.如图，A，B为抛物线y=x2上的两点，且AB∥x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若2.解：∵AB=22∴BC=122∴点B的横坐标为2代入抛物线的解析式得y=2.∵AB∥x轴，∴点B与点C的纵坐标相同.∴OC=2，即圆的半径为2.由二次函数的对称性得，图中阴影部分的面积等于圆面积的14， 即S 阴影=14π×22=π.11.函数y=ax 2（a ≠0）的图象与直线y=2x-3交于点（1，b ）. （1）求a 和b 的值；（2）x 在什么范围时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而增大？ （3）求抛物线y=ax 2与直线y=-2的两个交点及顶点所围成的三角形的面积. 解：（1）把点（1，b ）代入y=2x-3，得b=-1. ∴交点坐标为（1，-1）. 把（1，-1）代入y=ax 2，得a=-1. ∴a=-1，b=-1；（2）由（1）得y=-x 2，当x ≤0时，y 随x 的增大而增大； （3）根据题意，得2,2.y x y ⎧=-⎨=-⎩解得2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ∴两交点坐标分别为（-2），（-2）.故S △=12×。
九年级数学二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质(知识讲解)Word版含解析
专题2.4 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.4 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像与性质（知识讲解）【学习目标】1.理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；2.会用描点法画出二次函数y＝ax2（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；3.掌握二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的性质．【要点梳理】要点一、二次函数y＝ax2（a≠0）的图像及性质1.二次函数y＝ax2（a≠0）的图像用描点法画出二次函数y＝ax2（a≠0）的图像，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线．因为抛物线y＝x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y＝x2的顶点是图像的最低点．因为抛物线y ＝x2有最低点，所以函数y＝x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标．2.二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的画法用描点法画二次函数y＝ax2（a≠0）的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确．特别说明：二次函数y＝ax2（a≠0）的图像．用描点法画二次函数y＝ax2（a≠0）的图像，该图像是轴对称图形，对称轴是y轴．y＝ax2（a≠0）是最简单的二次函数，把y ＝ax2（a≠0）的图像左右、上下平行移动可以得到y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像．画草图时应抓住以下几点：1）开口方向，2）对称轴，3）顶点，4）与x轴的交点，5）与y轴的交点．3.二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的性质二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的性质，见下表：特别说明：顶点决定抛物线的位置．几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同．│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同．│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大， 图像两边越靠近x轴．【典型例题】类型一、作出二次函数2y ax=的图像1．画函数212y x=-的图像．举一反三：【变式1】2．画出二次函数y＝x2的图象．【变式2】3．画出二次函数y=﹣x2的图象．类型二、二次函数2y ax 的参数值4．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是 y ＝ax 2； y ＝bx 2； y ＝cx 2； y ＝dx 2．则a 、b 、c 、d 的大小关系为_____．举一反三： 【变式1】5．如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线y=ax2上．求a 的值及点B 的坐标.【变式2】6．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序）类型三、二次函数2y ax =的开口方向、对称轴、顶点坐标、特殊点坐标7．函数y=ax 2（a≠0）与直线y=2x -3的图象交于点（1，b ）． 求：（1）a 和b 的值；（2）求抛物线y=ax 2的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）作y=ax 2的草图． 举一反三： 【变式】8．已知函数()2323m m y m x +-=+是关于x 的二次函数．（1）求m 的值．（2）当m 为何值时，该函数图像的开口向下？ （3）当m 为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 类型四、二次函数2y ax =的增减性9．已知22(1)ky k x -=+是关于x 的二次函数.(1)求满足条件的k 的值；(2)k 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而增大？(3)k 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而减小？ 举一反三： 【变式1】10．已知24(2)k k y k x +-=+ 是二次函数，且函数图象有最高点．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x 为何值时，y 随x 的增大而减少． 【变式2】11．已知函数y ＝（k ﹣2）245k k x -+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件的k 的值；（2）当k 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）当k 为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x 为何值时，y 与x 的增大而减小？类型五、二次函数2y ax =的综合应用12．如图，梯形ABCD 的顶点都在抛物线2y x =-上，且////AB CD x 轴.A 点坐标为（a,-4），C 点坐标为（3,b ）.（1）求a ，b 的值； （2）求B ，D 两点的坐标； （3）求梯形的面积. 举一反三： 【变式1】13．在平面直角坐标系中，若抛物线22y x =与直线1y x =+交于点(,)A a b 和点(,)B c d ，其中a c >，点O 为原点，求ABO ∆的面积.【变式2】14．抛物线y＝ax2(a＞0 )上有A 、B两点，A、B两点的横坐标分别为－1，2．求a为何值时， AOB为直角三角形．参考答案：1．见解析【分析】利用列表、描点、连线的方法作出函数的图像即可．【详解】解：列表：描点、连线如下图所示：【点睛】本题考查了二次函数的画法，做题的关键是列出表格、描点、连线即可．2．图像见解析.【分析】建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图象即可．【详解】函数y＝x2的图象如图所示：【点睛】本题考查了二次函数的图象的作法，五点法作图是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．3．见解析【分析】首先列表，再根据描点法，可得函数的图象．【详解】列表：描点：以表格中对应的数值作为点的坐标，在直角坐标系中描出；连线：用平滑的线顺次连接，如图：【点睛】本题考查了二次函数图象，正确在坐标系中描出各点是解题的关键．4．a＞b＞d＞c【分析】设x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．【详解】因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），所以，a＞b＞d＞c．故答案为：a＞b＞d＞c．【点睛】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．5．a=1, B（2,2）2【详解】试题分析：先把A点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值和二次函数解析式；再B点坐标代入二次函数解析式，即可求出n的值，从而确定点B的坐标.解：把点A（-4，8）代入y=ax2,得：16a=8a=12y=1x2.2x2得：再把点B（2，n）代入y=12n=2.B（2,2）.6．a1＞a2＞a3＞a4【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【详解】解：如图所示： y＝a1x2的开口小于 y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，y＝a3x2的开口大于 y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案是：a1＞a2＞a3＞a4.【点睛】考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．7．（1）a=b=-1（2）y轴，（0，0）（3）图像见解析【详解】试题分析：（1）把点（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，从而可确定抛物线y=ax2的开口方向，对称轴和顶点坐标；（3）根据（2）中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.试题解析：（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，把点（1，-1）代入y=ax 2中，得a=-1； （2） 在y=-x 2中，a=-1<0， 抛物线开口向下；抛物线y=ax 2的对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，0）； （3）作函数y=ax 2的草图如下：8．（1）m 1＝−4，m 2＝1；（2）当m ＝−4时，该函数图象的开口向下；（3）当m ＝1时，函数为24y x =，该函数有最小值，最小值为0．【分析】（1）根据二次函数的定义求出m 的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；（3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值； 【详解】解：（1） 函数()2323m m y m x +-=+是关于x 的二次函数，m 2＋3m−2＝2，m ＋3≠0， 解得：m 1＝−4，m 2＝1； （2） 函数图象的开口向下， m ＋3＜0， m ＜−3，当m ＝−4时，该函数图象的开口向下； （3） m ＝−4或1，当m ＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值， m ＞−3， m ＝−4或1，当m ＝1时，函数为24y x =，该函数有最小值，最小值为0．【点睛】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．9．(1)k=±2； (2) 见解析； (3)见解析.【分析】（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k 的值；（2）抛物线有最低点，所以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k 的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1小于0，再根据（1）中k 的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间．【详解】(1) 根据二次函数的定义得 22210k k ⎧-=⎨+≠⎩ 解得k=±2. 当k=±2时，原函数是二次函数.(2) 根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，k+1＞0，即k ＞-1，根据第(1)问得：k=2.该抛物线的解析式为2y 3x =， 抛物线的顶点为(0，0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大.(3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1＜0，即k ＜-1，根据第(1)问得：k=-2.该抛物线的解析式为2y x =-，顶点坐标为(0，0)，当k=-2时，函数有最大值为0. 当x ＞0时，y 随x 的增大而减小.【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型．10．（1）k=﹣3；（2）当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而减少．【详解】试题分析：（1）根据二次函数的定义得出k 2+k ﹣4=2，再利用函数图象有最高点，得出k +2＜0，即可得出k 的值；（2）利用（1）中k 的值得出二次函数的解析式，利用形如y =ax 2（a ≠0）的二次函数顶点坐标为（0，0），对称轴是y 轴即可得出答案．试题解析：解：（1） 24(2)k k y k x +-=+是二次函数， k 2+k ﹣4=2且k +2≠0，解得k =﹣3或k =2． 函数有最高点， 抛物线的开口向下， k +2＜0，解得k ＜﹣2， k =﹣3；（2）当k =﹣3时，二次函数为y =﹣x 2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而减少．11．（1）1213k k ＝，＝；（2）k ＝1，最高点为（0，0），当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；（3）k ＝3，最小值为0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．【分析】（1）由于函数是二次函数，所以x 的次数为2，且系数不为0，即可求得满足条件的k 的值；（2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于0，再根据（1）中k 的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质即可知函数的单调区间；（3）函数有最小值，则开口向上，然后根据二次函数性质可求得最小值，即可知函数单调区间．【详解】解：（1） 函数y ＝（k ﹣2）245kk x -+是关于x 的二次函数，k 满足2452k k +﹣＝，且k ﹣2≠0，解得：1213k k ＝，＝；（2） 抛物线有最高点，图象开口向下，即k ﹣2＜0，结合（1）所得，k ＝1，最高点为（0，0），当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．（3） 函数有最小值，图象开口向上，即k ﹣2＞0，k ＝3，最小值为0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的定义、待定系数法求解析式、解一元二次方程以及二次函数图像的性质；解决本题的关键在于知道二次函数的表达形式，用待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数图像的性质．12．（1）2a =-,9b =-；（2）(2,4)-B ，(3,9)D --；（3）25.【分析】（1）把点A ，点C 坐标分别代入解析式，即可求出a ，b 的值；（2）由B 与A 的纵坐标相等，D 与C 的纵坐标相等，由对称关系，即可求出B ，D 的坐标；（3）分别求出AB ，CD 和梯形的高，即可得到答案.【详解】解：（1）当4y =-时，24a -=-，2a =±.点A 在第三象限，2a =-.当3x =时，9y =-，9b =-.（2） ////AB CD x 轴，A 点与B 点，C 点与D 点的纵坐标相同.2y x =-关于y 轴对称，(2,4)-B ，(3,9)D --.（3）由题意，得AB 4CD 6==，，梯形的高为5， 1(46)5252ABCD S =⨯+⨯=梯形. 【点睛】本题考查了二次函数与四边形的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.13．34. 【分析】首先求得两个交点的坐标，然后求得直线1y x =+与y 轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出答案．【详解】解：由题意得：221y x y x ⎧=⎨=+⎩解得：12x =-或1x = 点(,)A a b 和点(,)B c d ，其中a c >(1,2)A ，11(,)22B - 直线1y x =+与y 轴的交点坐标为：（0，1） 11131112224ABO S ∆=⨯⨯+⨯⨯=． 【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是了解如何求得两个图象的交点坐标．141【分析】先求出AB两点坐标，再根据 AOB为直角三角形，根据勾股定理分情况列出含a 的方程进行求解.【详解】 x=-1, y=a,x=2, y=4a，A（-1，a）,B（2，4a）当AB为斜边时，AB2=AO2+BO2，即32+(3a)2=(1+a2)+(4+16a2),解得a2=12，a=a>当BO为斜边时，OB2=AB2+AO2，得a=±1，a>0, a=1，AO2=1+a2<9+9a2= AB2，AO2=1+a2<4+16a2= OB2AO不是斜边，1.【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是根据勾股定理列出方程解出a的值.。
二次函数y=ax2的图象和性质
5
课前预习
课堂合作 课堂合作
当堂检测
������2 + m-4 = 2, 解:(1)由题意得 ������ + 2 ≠ 0, 解得 ������ = 2 或������ = -3, ������ ≠ -2,
故当 m=2 或 m=-3 时,原函数为二次函数. (2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上, 于是 m+2>0,即 m>-2.故 m=2. ∵ 抛物线顶点为最低点,∴ 其坐标为(0,0), 当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大. (3)若抛物线有最大值,则抛物线开口向下, 于是 m+2<0,即 m<-2.故 m=-3. ∵ 抛物线最大值为抛物线顶点的纵坐标,顶点坐标为(0,0),∴ 当 m=-3 时,抛 物线有最大值为 0,在此条件下,当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小.
关闭
解析
答案
13
3
右侧(x>0),函数 y 随 x 的增大而
课前预习
课堂合作
当堂检测
4.已知函数 y=ax2, (1)当 a>0 时,对于一切 x 的值,总有函数 y ≥ 0;当 x= 0 时,y 有最小 0 值,最小值是 . (2)当 a<0 时,对于一切 x 的值,总有函数 y ≤ 0;当 x= 时,y 有 0 0 最大值,最大值是 . 5.抛物线 y=ax2 的开口大小由|a|决定,|a|越大,抛物线的开 口
越小 ;|a|越小,抛物线的开口 越大 .
1 2 1 3
6.在同一坐标系中,作出函数 y=x2,y=- x2,y= x2 的图象,它们的共同特点 是( D ) A.抛物线的开口方向都是向上 B.都有最小值 C.都是关于 y 轴对称的抛物线,且 y 随 x 的增大而减小 D.都是关于 y 轴对称的抛物线,有公共的顶点
二次函数y=ax2的图象和性质ppt课件
例4 如图， 四个二次函数的图象分别对应 ① y=ax2 ；② y=bx2；
③ y=cx2；④ y=dx2，且①与③，②与④分别关于x 轴对称.
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a 与c，b 与d 的数量关系.
解：(1)由抛物线的开口方向，知 a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0，
由抛物线的开口大小，知 |a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d. ∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. (2)∵①与③，②与④分别关于x 轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
课堂练习
1、下列函数中，y总随x增大而减小的是( B )
归纳总结
位置开 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
口方向
a的绝对值越大，开口越小
对称性 顶点最值
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
1、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象, 则k的取值范围是 k>1 .
复习引入
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
①
②
③
④
⑤
3.一次函数的图象是一条 直线.
4.通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们 来学习最简单的二次函数y=ax2的图像
不同点： a的值越大，开口越小.
二次函数的图像和性质——y=ax^2的图像 (共14张PPT)
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例1 已知二次函数 y ＝ m －1 xm2 ＋ m 的图像开口向下．
（1）求m的值和函数表达式．
解：（1）由题意知：m－1＜0且m²＋m＝2，则m＝－2．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例2 已知二次函数y＝ax²(a≠0)的图像经过点（2，3）． 求：（1）a的值和写出解析式．
列表时自变量要 均匀和对称！
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例2 画出y＝－x2图像．
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=-x² ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ...
5.2 二次函数的图像和性质(1)
请在直角坐标系中画出函数
y＝
1 2
x2
和
y＝2 x2
、
初中数学 九年级(下册)
5.2 二次函数的图像和性质（1）
5.2 二次函数的图像和性质(1)
画函数图像步骤：列表 描点 连线 研究函数性质方法：数形结合 二次函数的图像是怎样的？ 试着画一画吧！
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例1 画出函数y＝x2的图像．
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
（2）确定图像的开口方向．
解：（1）将（2，3）代入y＝ax²（a≠0），得a＝0.75； （2）抛物线y＝0.75x²，开口向上．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
本节课我们学习了什么？
抛物 y轴 线
向上 向下
（0,0） 最低点
（0,0） 最高点
5.2 二次函数的图像和性质(2)
分别说出下列函数图像的开口方向、顶 点坐标、对称轴：
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
x
… -2 -1
0
1
y=2x2 …
y=2x2
…
(2)描点并连线:
2
…
…
…
【思路点拨】 首先列表求出函数图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可.注 意连线时一定要用平滑的实线连接.
解:(1)8 2 0 2 8 -8 -2 0 -2 -8 (2)
类型二:二次函数y=ax2图象的性质的应用
例2 已知函数y=ax2的图象过点(1, 1 ).
2
增大而减小.
(2)在其图象上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1>x2>0,比较y1,y2的大小.
【思路点拨】 (2)二次函数y=ax2的对称轴为y轴,由(1)知a<0,所以在其对称轴 的右侧y随x的增大而减小,又x1>x2>0,故y1<y2. 解:(2)因为x1>x2>0, 所以y1<y2.
(1)简述函数y=ax2的性质;
2
【思路点拨】 (1)把点(1, 1 )代入函数y=ax2的解析式求得a的值,即可判定函
数的性质.
2
解:由题意得 a=- 1 ,所以 y=- 1 x2.
2
2
(1)函数 y=- 1 x2,开口向下,在 y 轴左侧 y 随 x 的增大而增大,在 y 轴右侧 y 随 x 的
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
1.二次函数y=ax2的图象
二次函数y=ax2的图象是 抛物线 ,对称轴与抛物线的交点叫做 顶点 ,顶点是
(0,0) ,当a>0时,抛物线的开口 向上 ,顶点是抛物线的最 低 点;当a<0时, 抛物线的开口 向下 ,顶点是抛物线的最 高 点.对于y=ax2,|a|越 大 ,抛物 线的开口越小.
《二次函数y=ax2的图象和性质》课件
6
y随x的增大而减小.
3
−4 −2 o
在对称轴的右侧，
y随x的增大而增大.
2 4
x
新知探究 跟踪训练
画出函数 y=−x2 的图象．
… −3
−2
−1
0
1
2
3
…
y= −x2 … −9
−4
−1
yO
0
−1
−4
−9
…
x
2 4 x
−4 −2
−3
−6
−9
新知探究 知识点2
说说二次函数 y=−x2 的图象有哪些性质，与同伴交流．
比较二次函数值大小的方法总结见
《教材帮》数学RJ九上22.1节方法帮.
随堂练习
1.关于x的二次函数y＝－3x2，下列结论：
①图象的开口向下；②顶点是(0，0)；③图象有最低
点；④当x＜0时，y随x的增大而增大．其中正确的结
论的个数为(
)
A．1个
C．3个
D. 4个
C B. 2个
2.抛物线 y＝0.5x2，y＝－3x2，y＝x2 的开口最大的
《二次函数y=ax2的图象和
性质》
知识回顾
(1)一次函数的图象是什么？
一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？
描点法：列表——描点——连线
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
函数的图象
学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念．
2.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，知道抛物线
y=ax2是轴对称图形，知道抛物线y=ax2的开口方向与a
3．连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得
到 y = x2 的图象．
《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT优秀课件
不同点
开口向下
a<0
探究新知
1
例1：在同一直角坐标系中，画出函数y=2 2 ，y= 2 ， y=2 2
y y = 2x2
y = x2
共同点：开口：向上，
8
6
1 2
y =▁
x
2
4
-2 O
顶点：原点（0,0）——最低点
对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
2
-4
观察三个函数
图象的异同点
二次函数y=a 的图象和性质
教学目标
01
会画二次函数y=ax²的图象
02
掌握二次函数y=ax²的性质
03
学会二次函数性质的应用
重难点
01
重点：1.理解并掌握二次函数y=ax2的性质.
2.掌握二次项系数a的作用．
02
难点：理解并掌握二次函数y=ax2的性质.
01
二次函数的图象
温故知新
一次函数：y=kx+b
状，只是这条曲线开口向上，这
条曲线叫做抛物线 y = x2 .
课堂练习
2
2
请试着在坐标系中画出y=
和y=-
的图象
数形结合中“以数论形”
y= 2
①用描点法画最简单的二次函数 y = 2 的图象.
②用数形结合法分析二次函数的图像特征和性质.
y=- 2
观察两个函数的图像，从中可以得出什么结论
2
4 x
y 轴右侧，y随x增大而增大
不同点：a 值越大，抛物线的开口越小．
小结
课堂练习
数形结合“以数论形”
一次函数y=ax+a过点（-1,0）
二次函数y=ax2的图象和性质
• 教学重点：
• 1、画出二次函数y=ax2的图象； • 2、根据图象观察、分析出二次函数y=ax2 的性质；
• 教学难点：
• 二次函数y=ax2 的性质的应用，渗透数形结合的数学思想方法，了解 从特殊到一般的探索方法，培养观察能力和分析问题的能力。
二、教学目标
• １、知识目标：会用描点法画出二次函数y=ax2 的 图象，能根据图象观察、分析出二次函数y=ax2 的 开口方向，对称轴，顶点坐标等有关性质。 • 2、能力目标：通过函数图象进一步理解二次函数 和抛物线的有关知识，并且能应用到实际问题中； 提高学生对比、发现、概括的能力；培养观察能力 和分析问题的能力。 • 3、情感目标：通过作函数图象，认识数形结合的 数学思想方法，体会数学中的特殊与一般的辨证关 系.；培养学生动手能力、勇于探索创新及实事求是 的科学精神.。
• •
学法：自主探索 观察发现
合作交流 对比归纳
二次函数的图象大部分学生完成是没有问题。可以先回顾描点法，在教师的提示下去列表，完成 函数的图象，认识二次函数的图象是抛物线。根据作函数的图象的过程学生可以容易的找出图象的 开口方向，对称轴，顶点坐标等性质，在通过作出其他几个函数的图象并加以对比，归纳得出函数 y=ax2的性质，体验从特殊的一般的数学探索规律。
1 1 -1
1.5 2.25
2
...
0.25 0 -1 -0.25 0
4 -2.25 -4
... ...
函数图象画法
y x2
描点法
2 y x
1 注意：列表时自变量 y x 取值要均匀和对称。
列表 描点 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结
二次函数y=ax2的图像和性质
《二次函数y=ax2的图象与性质》教学设计教材分析：本节课是九年级下册二次函数的图象与性质第1课时——二次函数y=ax2的图象与性质。
本章是继一次函数和反比例函数之后学习的一类新的函数模型——二次函数。
二次函数在研究内容和研究方法上与前两类函数类似，都是先从实际问题中抽象出函数模型，得出函数定义，然后借助图象研究函数的性质，再应用函数性质解决实际问题。
由于二次函数与一次函数的表达式都是整式，与一次函数一脉相承，所以二次函数的图象与性质主要类比一次函数来学习，即先从最特殊的一类二次函数y=ax2开始，遵循从特殊到一般的研究方法，运用数形结合、分类讨论等数学思想，着重研究a>0的图象和性质，再类比探究a<0的图象和性质，体会a的作用。
与一次函数相比，二次函数图象出现了新的特征和性质：如形状、开口方向和大小、对称性、分段讨论函数增减性等，在教学中可让学生体会一次函数与二次函数的联系与区别。
学情分析：学生已经历过一次函数和反比例函数的学习,对函数图象及性质的研究内容和研究方法有了一定的了解，但中间隔了一段时间，可能造成遗忘，需要唤醒他们的记忆。
二次函数的图象是一条曲线，学生容易画成不对称、折线、没有取原点等。
这需要引导学生通过加密取点、考虑自变量的取值范围。
在探究二次函数增减性时，学生可能会不分段考虑，需要教师对学生进行反思性启发。
教学目标：（1）会用描点法画出二次函数y=ax2的图像。
（2）经历自主探究、小组讨论等方式，通过画图观察、分类讨论、归纳类比、抽象概括等方法理解二次函数y=ax2的图像特征和性质，体会探究二次函数的思想与方法；（3）体验研究二次函数y=ax2的规律与魅力，增强学习数学的信心与兴趣。
教学重难点：重点：正确画出y=ax2的二次函数图象并观察图象得出性质。
难点：是画函数图象和理解a取任意非零实数时的函数图象及探究函数性质。
教法学法：教法：启发式、类比法、归纳法学法：自主探究、动手操作、分类讨论、归纳教学准备：多媒体、课件、带网格的直角坐标系教学流程：情景引入---画图探究---探究展示---生成新知---应用新知----课堂小结教学环节教学内容设计意图一、情景引入分享同学们喜欢的体育项目，视频欣赏，引入本节课我们将要研究的内容。
《二次函数 y=ax2的图象与性质》 知识清单
《二次函数 y=ax2的图象与性质》知识清单《二次函数 y=ax²的图象与性质》知识清单一、二次函数 y=ax²的定义形如 y ＝ ax²（a 不为 0）的函数叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a 是二次项系数。
二、图象的形状二次函数 y ＝ ax²的图象是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
三、顶点坐标抛物线 y ＝ ax²的顶点坐标是（0，0），也就是抛物线的对称轴与抛物线的交点。
四、对称轴抛物线 y ＝ ax²的对称轴是 y 轴，即直线 x ＝ 0。
五、函数的增减性1、当 a ＞ 0 时在对称轴左侧（x ＜ 0），函数值 y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧（x ＞ 0），函数值 y 随 x 的增大而增大。
2、当 a ＜ 0 时在对称轴左侧（x ＜ 0），函数值 y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧（x ＞ 0），函数值 y 随 x 的增大而减小。
六、图象的变化与 a 的关系1、 a 的绝对值大小决定抛物线的开口大小｜a|越大，抛物线的开口越窄；｜a|越小，抛物线的开口越宽。
2、 a 的正负决定抛物线的开口方向a ＞ 0 时开口向上，a ＜ 0 时开口向下。
七、图象的平移抛物线 y ＝ a(x h)²＋ k 是由抛物线 y ＝ ax²平移得到的。
1、左右平移当 h ＞ 0 时，抛物线 y ＝ ax²向右平移 h 个单位得到 y ＝ a(x h)²；当 h ＜ 0 时，抛物线 y ＝ ax²向左平移|h|个单位得到 y ＝ a(x h)²。
2、上下平移当 k ＞ 0 时，抛物线 y ＝ ax²向上平移 k 个单位得到 y ＝ ax²＋ k；当 k ＜ 0 时，抛物线 y ＝ ax²向下平移|k|个单位得到 y ＝ ax²＋ k。
1.二次函数y=ax2的图象与性质
26.2 二次函数的图象与性质1.二次函数y=ax2的图象与性质【知识与技能】1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=-x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.【过程与方法】经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.【情感态度】培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.【教学重点】会画y=ax2的图象，理解其性质.【教学难点】结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来.一、情境导入，初步认识一次函数y=kx+b和反比例函数kyx（k≠0）图象是什么形状？有哪些性质呢？那么二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？——引入课题【教学说明】通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.二、思考探究，获取新知探究1：二次函数y=x2的图象试着画出y=x2的图象，观察这个函数的图象，它有什么特点?【教学说明】让学生自己经历画y=x 2的图像的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过程.【归纳总结】抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线.顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.探究2：二次函数y=x 2的性质在同一直角坐标系中，画出函数y=x 2与y=-x 2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?在同一直角坐标系中，画出函数y=2x 2与y=-2x 2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?【教学说明】让学生自己去观察去分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的.【归纳结论】1．抛物线y=ax 2(a≠0)的对称轴是y 轴，顶点是原点. 2.a ＞0时，抛物线y=ax 2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小. 3.a ＜0时，抛物线y=ax 2的开口向下,顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.三、运用新知，深化理解1.已知函数()272m y m x -=-是二次函数，且开口向下，则m=____.解析：它是二次函数，所以m 2-7=2,得m=±3,且开口向下，所以m-2<0,得m<2.即：m=-3.答案：-3.2.已知抛物线y=ax 2经过点A （-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B （-1，-4）是否在此抛物线上.分析：（1）把a 的值求出即可.（2）把B 的坐标代入，等式成立则是在此抛物线上，否则不在.解：（1）把（-2，-8）代入y=ax 2中得：a=-2.解析式为：y=-2x 2（2）把（-1，-4）代入y=-2x 2，中等式不成立,点B （-1，-4）不在此抛物线上.3.已知242kk y k x +-=+（）是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大.（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴.解：（1）由题意，得24220k k k ⎧+-=⎨+⎩＞， 解得k=2.（2）二次函数为y=4x 2，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴.4.已知正方形周长为Ccm ，面积为Scm 2.（1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1cm 2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C 取何值时，S≥4cm 2.分析：此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内.解：（1）由题意，得2116S C =（C ＞0）. 列表：描点、连线，图象如图（2）根据图象得S=1cm 2时，正方形的周长是4cm.（3）根据图象得，当C≥8cm 时，S≥4cm 2.【教学说明】学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，教师更正、强调.四、师生互动、课堂小结1．抛物线y=ax 2 (a≠0)的对称轴是y 轴，顶点是原点.2．a ＞0时，抛物线y=ax 2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小.3．a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下,顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.1.布置作业：教材P7“练习”中第1 、2 、3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”的理念，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣.教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识.整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣.。
y=ax2图像和性质
k 2 2 k 6
驶向胜利 的彼岸
能力提高
已知二次函数y=ax2与直线y=2x－3交于点A（1， b）， （1）求a、b的值 （2）求抛物线与直线的另一交点B的坐标 （3）x取何值时二次函数y=ax2的函数值y随x 的增大而增大
与大家共分享！
y ax2
a0
a0
开口方向 对称轴 顶点
（2） y=-0 . 6x2 （4） y=-4x2 （5） y= —x2
学以致用
已知函数 y m 2x 是关于x的二次函数 （1）求满足条件的m的值 （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出 这 个最低点的坐标. （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？
m2 m4
y k 1x 已知： 是二次函数， 且当x＞0时， y随x的增大而增大 （1） 求k的值. （2） 求顶点坐标和对称轴.
向上 对称轴是_____, y轴 1.抛物线y= 3 x2的开口方向_____, （0，0） 在对称轴左边y随x的增大而 顶点坐标是_____, 减小 ，当x>0时， y随x的增大而_____ 增大 ，抛物 ______ 上 （除顶点外）。 线在x轴的____ 向下 对称轴是 2.抛物线y= －0 .5x2的开口方向为_____, y轴 顶点坐标是_____ （0，0） 当x＜0时， y随x的增大而 ____ 最高点 增大 ，顶点是抛物线上的________. _____
y ax
2
学习目标 :
1、经历描点法画函数图象的过程； 2、学会通过观察二次函数图象的特 征，从而归纳、概括二次函数的性质。 3、经历从特殊到一般的认识过程， 学会合情推理。
探索归纳
y ax2
开口方向 对称轴 顶点坐标 增 减 性
2二次函数y=ax2的图象和性质
教学互动设计一、复习巩固：1.画一个函数图象的一般过程是①；②；③。
2.正比例函数图象的形状是；一次函数图象的形状是.3.一次函数的性质有哪些？二、自学指导．自学：自学课本P30～31“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法作出函数的图象，理解其性质，完成填空．(1)画函数图象的一般步骤：－－；(2)在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝12x2和y＝2x2的图象；点拨精讲：根据y≥0，可得出y有最小值，此时x＝0，所以以(0，0)为对称点，对称取点．(3)观察上述图象的特征：形状是，开口，图象关于轴对称，其顶点坐标是，其顶点是(最高点或最低点)；(4)找出上述三条抛物线的异同：__________．(5)在同一坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－12x2和y＝－2x2的图象，找出图象的异同．点拨精讲：可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律．总结归纳：一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．三、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．1．抛物线24xy 的开口向_______，对称轴是____ ___，顶点坐标是_________，顶点是，该抛物线有最_______点。
2.抛物线y=-2x2的顶点坐标是，对称轴是，在侧，y 随着x的增大而增大；在侧,y随着x的增大而减小。
当x= 时，函数y的值最小,最小值是。
小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．探究1填空：(1)函数y＝(－2x)2的图象形状是______，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______．(2)函数y＝x2，y＝12x2和y＝－2x2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．点拨精讲：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y＝ax2中，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；|a|越大，开口越小．探究2已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．(1)求满足条件的m的值；(2)m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x为何值时，y随x的增大而增大？(3)m为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？学生总结本堂课的收获与困惑．1．函数273x y =的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________． 2. 函数26x y -=的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________． 3. 二次函数()23x m y -=的图象开口向下，则m___________． 4. 二次函数y ＝mx 22-m 有最高点，则m ＝___________． 5. 二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值范围为___________． 6．若二次函数2ax y =的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 7．抛物线①25x y -=②22x y -= ③25x y =④27x y = 开口从小到大排列是___________________________________；（只填序号）其中关于x 轴对称的两条抛物线是 和 。
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y轴 原点
向下
1 x2 y =－ 2
y轴 原点
向下
巩固练习
练习1：分别说出抛物线y=4x2与y=-5x2的开口方向， 对称轴与顶点坐标。
练习2 ：对于函数y＝2x2，下列结论正确的是( D ). A.当x取任何实数时，y的值总是正的 B.x的值增大，y的值也随着增大 C.x的值增大，y的值随着减小 D.图象关于y轴对称
x
向下 （ 0， 0 ） 增大 减小
y轴 高
y
4 3 2 2 y=1 x 2
2
1
0 1 2 3 4
1
2 x
2
1
0 1 2 3 4
1
2 x
y=－x2
y=－1 x2 2
函数 对称轴 顶点 开口方向 函数 对称轴 顶点 开口方向 2 y=x2 y轴 原点 向上 y=1 x y轴 原点 向上 2
y=-x2的图象，并观察；
请在和抛物线y= 1 2
x2同一坐标系中画函数
2的图象，并观察。 y=- 1 x 2
y
y
4
y=x2
4
3
3
2 y=1 x 2
2
2
1
1
-2
-1
0
1
2
x
-2
-1
0
1
2
x
-1
-1
-2
1 x2 y=－ 2
-2
-3
-3
y=－x2
-4
-4
y
4 3 2 1
2
1
0 1 2 3 4
1
2
4
y ax
2
x y=x2
2 y=1 x 2
… -2 … …
y 4
4 2
3 -1 2 9 1 4 9 1 8 2
1 2 1 4 1 8 y=x2
0 0 0
1 2 1 4 1 8
1 1 1 2
y 4
3 2 9 4 9 8
2 4 2
… … …
3
3
y=1x2 2
2
2
1
1
-2
-1
0
1
2
x
-2
-1
0
1
2
x
知识梳理
考考你
（0，0）
y轴
y=
1 2 x 4
上
低
√
√ ×
√
y 4
对称轴
y=x2
y 4
3
对称轴
2
3
2 y=1 x 2
2
1
1
-2
-1
0
1
2
顶点
x
-2
-1
0
顶点
1
2
x
y
y=x2
4
3
2
1
-2
-1
0
1
2
x
向上 y轴
（0,0） 减小
低 增大
y
4
y=x2
y
4
3
3
2 y=1 x 2
2
2
1
1
-2
-1
0
1
2
x
-2
-1
0
1
2
x
请同学们用描点法按下列要求画图：
请在和抛物线y=x2同一坐标系中画函数
y
4 3 2 1
练习 3 ：已知二次函数 y=ax2 的图 象 如 图 ， x1<x2 ， 则 对 应 的 y 值 y1,y2大小关系为y1____y2
2
x x20
11
1
2 x
练习 4 ：观察上面画的图象回答：（ 1 ）在对称轴右 边，y随x的增大而______（2）在对称轴左边y随x的 增大而______。