山东省德州市庆云县2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

2022-2023学年山东省德州市庆云县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）如图美丽的图案，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）A．m＝1B．m≠1C．m≥1D．m≠0
3．（4分）如图，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH 的长度为（ ）
A．1B．C．D．3
4．（4分）将二次函数y＝5x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到该二次函数的表达式是（ ）
A．y＝5（x+2）2+3B．y＝5（x﹣2）2﹣3
C．y＝5（x﹣2）2+3D．y＝5（x+2）2+
5．（4分）设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（ ）A．﹣4B．0C．4D．2
6．（4分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则旋转角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
7．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≠0B．k≥﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
8．（4分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC 边上，若AB＝2，∠B＝60°，则CD的长为（ ）
A．1B．C．2D．
9．（4分）二次函数y＝﹣2x2+bx+k的图象如图所示，若（﹣1，y1）、（﹣2，y2）、（1，y3）在该函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3B．y1＞y2＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
10．（4分）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（4分）在某圆形喷水池的池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若喷出的抛物线形水柱解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3），则水管长为（ ）
A．1m B．2m C．m D．3m
12．（4分）如图，点A、B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①∠ACB＝90°；②AC＝BC；③若OA＝4，OB＝2，则△ABC的面积等于5；④若OA﹣OB＝4，则点C的坐标是（2，﹣2）．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则a+2b＝ ．
14．（4分）若点A（4，n）与点B（﹣m，6）关于原点对称，则m+n＝ ．
15．（4分）给出一种运算：对于函数y＝x n，规定y′＝nx n﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y′＝4x3．已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是 ．
16．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣1012…
y…0343…
那么它的图象与x轴的交点的坐标是 ．
17．（4分）如图，在⊙O中，弦AB＝9，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
18．（4分）在平面直角坐标系中，将图1所示的△ABC按照如图2所示的方式依次进行轴对称变换，若点A 坐标是（x，y），则经过第2022次变换后所得的点A2022坐标是 ．
三、解答题
19．（8分）解方程：
（1）4（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）x2﹣4x﹣2＝0．
20．（10分）抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．（1）求线段AB的长；
（2）判断△ABC的形状．
21．（10分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．
（1）将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到△A2B2O，按要求作出图形；
（3）如果△A2B2O，通过旋转可以得到△A1B1C1，请直接写出旋转中心P的坐标．
22．（12分）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在上取一点E，使，连接DE，作射线CE交AB边于点F．
（1）求证：∠A＝∠ACF；
（2）若AC＝8，BC＝6，求BF的长．
24．（12分）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的式子变
形叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：x2+11x+24＝x2+11x+（）2﹣（）2+24
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将x2+8x﹣1变形为（x+m）2+n的形式；
（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x2﹣3x﹣40进行分解因式的解答过程：
x2﹣3x﹣40
＝x2﹣3x+32﹣32﹣40
＝（x﹣3）2﹣49
＝（x﹣3+7）（x﹣3﹣7）
＝（x+4）（x﹣10）
老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，然后再写出完整的、正确的解答过程．
正确的解答过程： ．
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣2x﹣4y+16的值总为正数．
25．（14分）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+1．
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，1），B（1，﹣2），．
求该二次函数的解析式．
（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： ；
（2）当函数值y＜6时，自变量x的取值范围： ；
（3）如图1，将函数y＝x2﹣4x+1（x＜0）的图象向右平移4个单位长度，与y＝x2﹣4x+1（x≥4）的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点P（3，m）在L上，求m的值；
（4）如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为（2，0），在L上是否存在点Q，使得S△OAQ＝9．若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年山东省德州市庆云县九年级（上）期中数学答案
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B．
2．
【解答】解：由题意得：m﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选：B．
3．
【解答】解：∵直径CD⊥AB，AB＝2，
∴AH＝AB＝1，
在Rt△AHO中，∠A＝45°，
∴AH＝OH＝1，
∴AO＝DO＝，
∴DH＝DO+OH＝+1．
故选：B．
4．
【解答】解：将二次函数y＝5x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到该二次函数的表达式为：y＝5（x﹣2）2+3，
故选：C．
5．
【解答】解：∵方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝﹣1，α•β＝﹣2，
∴（α﹣2）（β﹣2）＝α•β﹣2（α+β）+4＝﹣2﹣2×（﹣1）+4＝4．
故选：C．
【解答】解：∵点B，A，C′，在同一条直线上，
∴∠BAC+∠CAC′＝180°，
∴∠CA C′＝180°﹣∠BAC＝180°﹣30°＝150°，
∴旋转角∠BAB′＝∠CA C′＝150°，
故选：D．
7．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，
∴，即，
解得：k≥﹣1且k≠0．
故选：C．
8．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴BC＝2AB＝4，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，
∴AD＝AB，
而∠B＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣2＝2．
故选：C．
9．
【解答】解：因为抛物线y＝﹣2x2+bx+k的对称轴是直线x＝﹣1，点（﹣1，y1）、（﹣2，y2）、（1，y3），所以点（1，y3）与对称轴的距离最大，点（﹣1，y1）是函数的顶点，点（﹣2，y2）到对称轴的距离较小，
因为﹣2＜0，
∴开口向下，
所以y1＞y2＞y3，
故选：B．
【解答】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．
（2）优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；
（3）弧相等则所对的圆心角相等．正确；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．正确；
故选：B．
11．
【解答】解：在y＝﹣（x﹣1）2+3中，
令x＝0，得y＝﹣（0﹣1）2+3＝，
∴水管的长为m．
故选：C．
12．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，故①符合题意；
∵C是中点，
∴AC＝BC，故②符合题意；
∵AB2＝OB2+OA2＝22+42，
∴AB＝2，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝AB＝，
∴△ACB的面积为＝5，故③符合题意；
作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠BCE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵AC＝BC，
∴△ACD≈△BCE，
∴CD＝CE，AD＝BE，
∴OECD是正方形，
设正方形的边长为a，
∴OA﹣a＝OB+a，
∴2a＝OA﹣OB＝4，
∴a＝2，
∴点C坐标为：（2，﹣2），
故④符合题意，
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，
所以a+2b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．
【解答】解：∵点A（4，n）与点B（﹣m，6）关于原点对称，∴﹣m＝﹣4，n＝﹣6，
故m＝4，n＝﹣6，
则m+n＝4﹣6＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．
【解答】解：∵y＝x3，
∴y′＝3x2，
∵y′＝12，
∴3x2＝12，
解得，x＝±2，
故答案为：x＝±2．
16．
【解答】解：由表格可得，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
故答案为：（﹣1，0），（3，0）．
17．
【解答】解：连接OD，
∵OD为⊙O的半径，OC⊥CD，
∴CD＝，
∵OD为半径是定值，
∴要使CD最大，OC必须最小，
∵C是弦AB上一点，
∴当OC⊥AB时，OC最短（垂线段最短），
即此时D与B（或A）重合，
即CD的最大值是AB＝9＝，
故答案为：．
18．
【解答】解：∵点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
第二次关于y轴对称后在第三象限，
第三次关于x轴对称后在第二象限，
第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
∴每4次对称为一个循环组依次循环，
∵2022÷4＝505…2，
∴经过第2022次变换后所得的点A2022与第二次变换的位置相同，在第三象限，点A2022坐标为（﹣x，﹣y），
故答案为：（﹣x，﹣y）．
三、解答题
19．
【解答】解：（1）4（x﹣1）2﹣9＝0，
，
，
解得：，；
（2）x2﹣4x﹣2＝0，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24，
∴，
解得：，．
20．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+1，
∴当y＝0时，x＝±1，
∵抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣1，0），
∴AB＝1﹣（﹣1）＝1+1＝2，
即线段AB的长为2；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+1，
∴当x＝0时，y＝1，
∵抛物线y＝﹣x2+1与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，1），
又∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣1，0），
∴AB＝2，AC＝＝，BC＝＝，
∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
21．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
点A1的坐标为（4，4）．
（2）如图，△A2B2O即为所求．
（3）如图，连接A1A2，B1B2，作A1A2与B1B2的垂直平分线，相交于点P，则点P即为△A2B2O与△A1B1C1的旋转中心，
∴旋转中心P的坐标为（3，﹣2）．
22．
【解答】解：（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，
整理得：x2+50x﹣275＝0
解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），
∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，
根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，
即3（35+y）＝5（15+y），
解得：y＝15，
∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．
答：新的矩形绿地面积为1500m2．
23．
【解答】（1）证明：∵，
∴∠BCF＝∠FBC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠FBC＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，
∴∠A＝∠ACF；
（2）解：∵∠A＝∠ACF，∠FBC＝∠BCF，
∴AF＝FC＝FB，
∵AC＝8，BC＝6，
∴，
∴．
24．
【解答】（1）解：x2+8x﹣1
＝x2+8x+42﹣42﹣1
＝（x+4）2﹣17；
（2）解：正确的解答过程：x2﹣3x﹣40
＝x2﹣3x+（）2﹣（）2﹣40
＝（x﹣）2﹣
＝（x﹣+）（x﹣﹣）
＝（x+5）（x﹣8），
故答案为：（x+5）（x﹣8）；
（3）证明：x2+y2﹣2x﹣4y+16
＝x2﹣2x+1+y2﹣4y+4+11
＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+11，
∵（x﹣1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x﹣1）2+（y﹣2）2+11＞0，
∴x，y取任何实数时，多项式x2+y2﹣2x﹣4y+16的值总为正数．25．
【解答】解：（1）C（2，﹣3），
故答案为：C（2，﹣3）（答案不唯一）；
（2）∵y＝x2﹣4x+1，
∴当x2﹣4x+1＝6时，解得x＝5或x＝﹣1，
∴当y＜6时，﹣1＜x＜5，
故答案为：﹣1＜x＜5；
（3）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣3，
当x＝3时，点P在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，
∴m＝6；
（4）存在点Q，使得S△OAQ＝9，理由如下：
当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上时，设Q（t，t2﹣12x+33），∴S△OAQ＝2×（t2﹣12x+33）＝9，
解得t＝6+2或t＝6﹣2，
∴t＜4，
∴t＝6﹣2，
∴Q（6﹣2，9）；
当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的部分上时，设Q（m，m2﹣4m+1），
∴S△OAQ＝2×（m2﹣4m+1）＝9，
解得m＝2+2或m＝﹣2，
∵m≥4，
∴m＝2+2，
∴Q（2+2，9）；
综上所述：Q点坐标为（6﹣2，9）或（2+2，9）．。