湖北省鄂东南省级示范高中教育联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题含答案

2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）
1.已知函数()
f x 可导，且满足0
(3)(3)
lim
2x f x f x ∆→+∆-=∆，则函数()y f x =在3x =处的导数为（
）
A.2
B.1
C.1
- D.2
-2.已知2
3
A C n n n -=，则n =（）
A .
6
B.7
C.8
D.93.下列导数运算正确的是（
）
A.'
ππsin cos
33⎛⎫= ⎪⎝
⎭ B.
()331
lo e =
g log x x
'⋅C.
()22e e
x
x
'=
D.'
4.已知直线l 是曲线e x y =的切线，切点横坐标为1-，直线l 与x 轴和y 轴分别相交于A 、B 两点，则OAB 面积为（）
A.
1
2
B.1
C.
2e
D.
4e
5.某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期）
，若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（
）（单位：万元）
参考数据：910111.02 1.1951.02 1.2191.02 1.243≈⋅≈⋅≈A.2.438
B.19.9
C.22.3
D.24.3
6.学校音乐团共有10人,其中4人只会弹吉他,2人只会打鼓,3人只会唱歌,另有1人既能弹吉他又会打鼓.现需要1名主唱,2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队,则不同的组合方案共有()A.36种
B.78种
C.87种
D.90种
7.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<且(2)f x +为偶函数，4(0)e f =，则不等式()e x f x <的解集为（）
A.
()
,4-∞ B.
()
0,∞+ C.
()
2,+∞ D.
()
4,+∞
8.已知函数()1
e x
f x x kx k +=-+，有且只有一个负整数0x ，使()00f x ≤成立，则k 的取值范围是（
）
A.21,3e 2⎛⎤
⎥⎝⎦
B.10,2
⎛⎤ ⎥
⎝
⎦
C.21,3e 2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D.10,2
⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在6
12x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中，下列说法正确的有（
）
A.常数项为第三项
B.展开式的二项式系数和为729
C.展开式系数最大项为第三项
D.展开式中系数最大项的系数为240
10.对于数列{}n a ，把它连续两项1n a +与n a 的差记为1n n n b a a +=-得到一个新数列{}n b ，称数列{}n b 为原数列{}n a 的一阶差数列.若1+=-n n n c b b ，则数列{}n c 是{}n a 的二阶差数列，以此类推，可得数列{}n a 的p 阶差数列.如果某数列的p 阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p 阶等差数列，如数列1，3，6，10.它的前后两项之差组成新数列2，3，4.新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列.已知数列{}n a 满足12a =，且1
(2)3
n n S a n =+，则下列结论中正确的有（
）
A.数列{}n a 为二阶等差数列
B.数列{}n S 为三阶等差数列
C.数列1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为1
n n -D.若数列{}n b 为k 阶等差数列，则{}n b 的前n 项和{}n T 为(1)+k 阶等差数列
11.已知函数()3
32f x x px q =++，其中320p q +=且0pq ≠，则下列说法正确的有（
）
A.()f x 的对称中心为()0,2q
B.()f x 恰有两个零点
C.若方程()f x k =有三个不等的实根，则04k q
<<D.若方程()f x k =的三个不等实根分别为123,,x x x ，则333
13263x x x q k
++=-+
12.建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由
ln y x =在点(0,1)处的切线1y x =-写出不等式ln 1≤-x x ，进而用
1
n n
+替换x 得到一系列不等式，叠加后有111
ln(1)123n n
+<++++ ．这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（）
A.
()12
!e n n n -<B.
111
ln 23n n
+++< C.3
4
22212111e n n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D.231
121
231e
n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<
⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数f （x ）=f′（
2
π）sinx+cosx ，则f （4π
）=_______
14.已知某等比数列首项为4，其前三项和为12，则该数列前四项的和为__________.
15.用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位､十位､百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有__________个．
16.函数2()ln e 484x
a f x a x ⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭
的值域是实数集R ，则实数a 的取值范围是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两台车，每台车可以坐4人.（1）若要求两位老师分别坐在两台车上，问共有多少种分配方法？
（2）郊游结束后，大家在景点合影留念，若要求8人站成一排且两名老师不能相邻，问共有多少种站法（列式并用数字作答）？
18.已知函数()22
e
x a
f x -=的一个极值点是1-.（1）求函数()f x 的极值；
（2）求函数()f x 在区间[2,4]-上的最值.19.已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：()
*2
1(N )n
n n n b n a a +-=
∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .
20.在探究()n a b +的展开式的二项式系数性质时.我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将()
21n
x x ++的展开式按x 的降幂排列，将各项系数列表如下（如图2）
.
上表图2中第n 行的第m 个数用1
D m n
-表示，即()
21n
x x ++“展开式中m x 的系数为2D n m
n
-.
（1）类比二项式系数性质11C C C k k k
n n n -+=+表示(
)1
*
1D 121,,N
k n k n k n ++≤≤-∈（无需证明）
；（2）类比二项式系数求和方法求出三项式()
5
232x x --展开式中x 的奇次项系数之和.21.已知正项数列{}n a 满足11a =且()()(
)2
2
*
11110N
n n n n a a a a n ++++-=∈.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，是否存在p 、q 使12n n
pS q
n +=-恒成立，若存在，求出p 、q 的值；若不存在，请说明理由.22.已知函数()2
12ln x
f x x
+=
.（1）求()f x 的单调区间；
（2）若方程()f x k =的两个实根分别为12,x x （其中12x x <），求证：1212
11
2x x x x +>>
+.
2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】A
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】CD
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】ABD
【12题答案】
【答案】BC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
【13题答案】【答案】0【14题答案】【答案】16或-20【15题答案】【答案】45【16题答案】【答案】(]
,4
∞-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
【17题答案】【答案】（1）40（2）30240
【18题答案】
【答案】（1）()f x 极小值为2e -，极大值为3
6
e （2）()
f x 最大值为2e ，最小值为2e -【19题答案】
【答案】（1）21
n a n =-（2）()()
211
624143n
T n n =-+++【20题答案】
【答案】（1）1
1
1
1D D D D k k k
k n n n n +-++=++（2）16-【21题答案】【答案】（1）1n a n
=（2）存在，1
,12
p q ==-【22题答案】
【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞（2）证明见解析
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