备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之直线与圆：专题一 直线的倾斜角与斜率 含解析

I ．题源探究·黄金母题
【例1】过两点2
2
(2,3)A m m +-，2
(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45︒，求m 的值． 【解析】由题意知直线的斜率为tan 451k =︒=，
所以22
2
3212(3)
m m
m m m --=+---， 解得2m =-或1m =-，但当所以1m =-时，,A B 的坐标都是(3,2)-，舍去，故2m =-． II ．考场精彩·真题回放
【例2】【2015高考山东理】一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆
()()
22
321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A ．5
3
-或35
- B ．32- 或23
- C ．54-
或45- D ．43-或3
4
- 【答案】D
【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3- ．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反身光线所在直线方程为：()32y k x +=- ，即230kx y k ---=. 又因为光线与圆相切，()()2
2
321x y ++-=2
3223
11
k k k ----=+ ,
整理21225120k k ++= ，解得：43k =-
，或3
4
k =- ,故选D ． 【例3】【2014·安徽卷】过点(3,1)P -的直线l 与圆22
1x y +=有公共点，则直线l 的倾
斜角的取值范围是( ) A ．(0,]6π
B. (0,]3
π C. [0,]6π D. [0,]3
π 【答案】D
【例4】【2011湖北高考】过点（-1,2）的
直线l 被圆22
2210x y x y +--+=2，则直线l 的斜率为__________.
【答案】1或
17
.7
【解析】圆22
2210x y x y +--+=标准方程为2
2
(1)(1)1x y -+-=,它的圆心到直线l 的距
离222
1(
)22
d =-=
，设直线l ：2y +＝(1)k x +，即20kx y k -+-=，则221221k k k
-+-=+，解得1k =或17.7k = 【例5】【2005全国新课标3】已知过点2()A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）
A ．0
B ．－8
C ．2
D ．10 【答案】B
【解析】由210x y +-=得21y x =-+，设过,A B 的直线为y=kx+b ．因为两直线平行,所以
k 相等，所以2k =-，所以2y x b =-+．把A,B 代入得，4m b =+，42m b =-+，解得
12,8b m =-=-．
精彩解读
【试题来源】人教版A 版必修二第90页习题2.1B 组第5题．
【母题评析】本题是根据坐标含有参数的两个点所在直线的斜率求解参数问题，主要是利用两点斜率公式求解，主要考查直线的斜率求法，此类考查直线斜率试题通常不单独考查，主要渗透于其它向量问题中．
【思路方法】根据已知结合两点斜率公式，通过建立方程来求解，主要体现方程思想的应用及逆向思维的能力．
【命题意图】本类题主要考查直线的斜率求法，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想的应用．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，有时渗透于解答时中，难度较易．
【难点中心】求直线斜率，主要两类难点：（1）没有透彻理解直线的倾斜角与斜率间的关系，；（2）利用两点斜率公式时，将公式中坐标的对应关系搞错．
III ．理论基础·解题原理 考点一 直线的倾斜角
1．定义：在平面直角坐标系中，当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，直线l 的倾斜角为0︒．
2．范围：倾斜角α的取值范围是0180α︒≤<︒． 考点二 直线的斜率
1．定义：一条直线的倾斜角(90)αα≠︒的正切值叫作这条直线的斜率，该直线的斜率
tan k α=；当直线的倾斜角90α=︒时，直线的斜率不存在．
2．过两点的直线的斜率公式：过两点11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，的直线的斜率公式为
21
21
y y x k x --=
；若12x x =，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90︒．
IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较易，有时以渗透的形式出现在直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线位置关系的综合题中． 【技能方法】
（1）直线的倾斜角与斜率之间的相互转化关系可结合tan y x =((0,)(,))22
x π
π∈πU 的图像考虑．
（2）直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为90︒，直线垂直于x 轴． （3）求解参数问题时，常常要结合方程思想的应用． 【易错指导】
（1）斜率与倾斜角的对应关系；倾斜角的范围．
（2）根据含有参数的坐标已知两点所在直线的斜率求解参数时，不注意对求得的参数的值验证；
（3）当直线与x 轴垂直时，易在倾斜角与斜率间出现错误，如忽视斜率的存在性． V ．举一反三·触类旁通 考向1 求直线的倾斜角
【例6】【2016四川绵阳市二诊】直线033=--y x 的倾斜角是（ ） A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 【答案】B
【解析】由题意得，直线的斜率3k =
，即tan 3α=，所以倾斜角060α=，故选B ．
【例7】【2016广州六中等六校一联】直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[0,)π B ．[0,][,)44π
3ππU C ．[0,]4π D ．[0,](,)42
ππ
πU 【答案】B
【命题解读】求直线的倾斜角在高考中多以根据条件首先确定直线的斜率的值或取值范围，然后再根据正切函数tan y α=的知识求解．
【跟踪练习】【2016湖北高三2月七校联考】已知x b x a x f cos sin )(-=若
)4
(
)4
(
x f x f +=-π
π
，则直线0=+-c by ax 的倾斜角为（ ）
A ．
4π B ．3π C ．3
2π D ．43π
【答案】D 【解析】令4
π
=
x ，则)2
()0(π
f f =，即a b =-，则直线0=+-c by ax 的斜率为1-==
b
a
k ，
其倾斜角为
4
3π
，故选D ． 考向2 直线的斜率
【例8】【2016石家庄市三模
】已
知直线l ：30x my m -+=上存在点M 满足
(1,0),(1,0)A B -，连线的斜率MA k 与MB k 之积为3，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[6,6]-
B ．66(,)(,)66-∞-+∞U
C ．66
(,][,)66
-∞-+∞U D ．以上都不对 【答案】C
【解析】设(,)M x y ，由2MA MB k k ⋅=，得
311
y y
x x ⋅=+-，即2233y x =-，联立2
23033
x my m y x ⎧-+=⎪⎨=-⎪⎩，得2
2123(3)60x x m -++=．要使直线l 上存在点M 满足与两点(1,0),(1,0)A B -连线的斜率MA k 与MB k 之积为3，则22231
(
)24(3)0m
∆=--≥，即21
6
m ≥
，所以实数m 的取值范围是66(,][,)-∞-+∞U ，故选C ． 【名师点睛】求直线的斜率主要有两种方法：（1）首先求得直线的倾斜角，然后利用斜率公式tan k θ=求解；（2）利用两点斜率公式21
1221
()y y x x k x x -≠-=
计算．
【跟踪练习】【2016湖北襄阳四中高三六月全真模拟一】直线过点(1,2)A ，且不经过第四象限，那么直线的斜率的取值范围是（ ）
A ．[0,2]
B ．[0,1]
C ．1
[0,]2 D ．1(0,)2
【答案】A
考向3 直线斜率处理三点共线问题
【例9】【2016黑龙江牡丹江市一中上学期期中】已知点()3,5A 、()4,7B 、()1,C x -三点共线，则实数x 的值是（ ）
A ．1-
B ．1
C ．3-
D ．3 【答案】C
【解析】根据三点共线，可以确定AB AC k k =，即
755
4313
x --=
---，解得3x =-，故选C ． 【方法归纳】利用直线的斜率处理三点共线问题主要有两类题型：（1）判断已知三点是否共线；（2）已知三点求参数．解答这两类题型都是利用两点的斜率公式计算斜率，根据斜率相等判断或建立方程来解决．
【跟踪练习】【2016浙江省嘉兴一中高三期中】已知(1,2)A -、(,1)B a -、(,0)C b -三点共线，其中0a >，0b >，则a 与b 的关系式为__ ___，12
a b
+的最小值是___ ___． 【答案】21a b +=；8
考向4 利用直线的斜率处理直线与线段相交问题
【例10】【2016宁夏银川一中上期第三次月考】直线10ax y -+=与连结(2,3)(3,2)A B ，的线段相交，则a 的取值范围是___________． 【答案】⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1,3
1
【解析】直线10ax y -+=的斜率为,a 过定点(0,1)P ，,A B 两点在直线0x =的同一侧，
31120PA k -=
=-，211303PB k -==-，所以1
13
a ≤≤． 【技巧点拨】此类题型的解答分三步完成：（1）首先确定直线所过的一个定点；（2）计算定点与已知两个点所在直线的斜率；（3）根据题意写出其斜率的取值范围，进而确定参数的取值范围．
考向5 直线的倾斜角、斜率在圆与圆锥曲线中的渗透
【例11】【2016黑龙江大庆铁人中学高三第一段考】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆2
2
(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或35- B ．32-
或23- C ．54-或45- D ．43-或34
-
【答案】
D
【方法点睛】此类题型主要表现为直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系，解答时通常要设出直线的方程，多体现为以斜率k 为参数，将直线与圆的方程或圆锥曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个二次方程，此时通常在联系韦达定理建立关于斜率k 的等式或不等式来解决．
【跟踪练习】【2016上海复旦大学附中高三上期中】已知抛物线2
:2C y x =，过抛物线C 上一点)2,1(P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB ，分别交抛物线C 于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为 . 【答案】2
2
- 【
解
析
】
设
1122(,),(,)
A x y
B x y ，则
12122212
122222
111122
PA PB y y y y k k y y x x =-⇒
=-⇒=-----，所以
1222y y +=-121222
1212122222
AB y y y y k y y x x y y --=
===-+-． 考向5 直线倾斜角、斜率与三角函数的交汇
【例12】【2016沈阳东北育才学校八模】已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos(
2)2π
α+的值为___________． 【答案】
45
【解
析
】
由
题
意
得
1
tan ()1tan 2
2
αα⋅-=-⇒=，∴
22
20152sin cos cos(2)sin 22sin cos παα
αααα
+==+ 2
2tan 4
1tan 5
αα=
=+． 【题型点睛】直线的倾斜角、斜率与三角函数的交汇主要体现在直线的倾斜角与三角函数的“角”间关系来建立的关系，因此解答时通常要根据斜率确定出倾斜角的大小或某种三角函
数值，然后再结合三角函数的知识求解． 考向6 直线倾斜角、斜率与导数几何意义的交汇
【例13】【2016江西南昌二中上期一考】设点P 是曲线3
2
33+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围（ ） A ．),65[)2,0[πππY B ．),32[ππ C ．),3
2[)2,0[πππY D ．]65,2(ππ
【答案】C
【题型归纳】因为导数的几何意义研究的是曲线的斜率，同时也与直线的斜率发生了联系，解答时主要是要利用到直线的倾斜角与斜率间的相互转化关系，特别也要注意切线斜率不存在时的情况．。