高考数学(文)《平面向量》专题复习

专题5 平面向量
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0.②实数和向量可 以求积，但不能求和、求差．③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．
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考法2 平面向量的线性运算
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考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时，应注意以下两点： 1．应正确理解向量的概念 ①向量既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以 判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；②大小与方向是向 量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；③向量可以自 由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 2．正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反， 当然向量所在直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义．
(2)b在a方向上的投影是 一个数量，当0°≤θ＜ 90°时为正；当90°＜θ ≤180°时为负；当θ＝ 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
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考法4 平面向量的共线问题
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考法5 平面向量的坐标表示与运算
1．求平面向量的坐标 主要有以下两种方法： (1)平移法：将向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标； (2)用表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 2．平面向量的坐标运算 主要依据相关公式计算即可．
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考法5 平面向量的坐标表示与运算
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考法1 平面向量的数量积运算
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考法2 平面向量的垂直问题
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 第一，若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个 向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量 的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【注意】①零向量与任何向量共线；②正确理解共线向量的定义， 也就可以领会共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相 等向量，但相等向量一定是共线向量．
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考法1 平面向量的有关概念
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考法2 平面向量的线性运算
1．向量的加法、减法运算 主要利用运算法则和运算律求解，一般有以下几种方法： (1)通过作出向量，运用平行四边形法则或者三角形法则求解，一般用于较简单的运算． ①向量加法的三角形法则的要领是“首尾相接，指向终点”，即第二个向量的起点与第 一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；②向量减法 的三角形法则的要领是“起点重合，指向被减向量”，即两个向量的起点重合，差向量 由减向量的终点指向被减向量的终点；③平行四边形法则的要领是“起点重合”，即两 个向量的起点相同；④当两个向量平行时，三角形法则适用，平行四边形法则不适用． (2)如果有减法，可将减法转化为加法，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序(将首 尾相连的向量合在一起)，有时也需要将一个向量拆分成两个或多个向量． (3)向量求和的多边形法则：已知n个向量，依次把这n个向量“首尾相连”，以第一个向 量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量是这n个向量的和向量． 2．向量的数乘运算 主要利用运算法则和运算律求解．在进行向量的数乘运算时，可类比于实数运算，遵循 括号内运算优先原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并，结果仍是一个向量．
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综合问题7 平面向量数量积与其他知 识的综合应用
❖综合点1 平面向量数量积的综合应用
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综合点1 平面向量数量积的综合应用
平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非 常重要的工具．在高考中，常将它与几何问题、三角函数问题结合 起来考查．
(1)用平面向量解决平面几何问题时，常用方法有：①利用已知条件 (或利用向量线性运算将条件转化)，结合平面几何知识及向量数量 积直接求解．②可以用基向量的方法或坐标法．若便于建立直角坐 标系，则建立平面直角坐标系，可以利用向量的坐标使几何问题代 数化，根据向量的坐标运算较快得到结果．
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第2节 平面向量的数量积及其应用合 考点&考法
600分基础 考点&考法
❖考点31 平面向量的数量积 ❖考点32 平面向量的应用
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考点31 平面向量的数量积
❖考法1 平面向量的数量积运算 ❖考法2 平面向量的垂直问题
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考点31 平面向量的数量积
【注意】(1)两个向量的 数量积是一个数量，而不是 向量，它的值为两个向量的 模与两个向量夹角的余弦值 的乘积，其符号由夹角的余 弦值确定．计算数量积的关 键是正确确定两向量的夹角， 两向量的始点必须重合，否 则要通过平移，使两向量符 合以上条件．
2．解决几何相关问题的一般步骤： 第一步，选择一组基底； 第二步，运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式； 第三步，通过向量的运算来证明共线或其他几何相关问题．
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考法3 平面向量基本定理的应用
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考法4 平面向量的共线问题
近几年中，多次出现既考查向量的线性运算及向量的坐标表示，又考 查向量共线条件的问题，是高考的热点和高频考点． 证明向量共线(或平行)的主要方法和已知两向量共线求参数值的依据： (1)对于向量a(a≠0)，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a与b共线 (平行)． (2)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0向量 a∥b. (3)对于向量a，b，则|a·b|＝|a|·|b| a与b共线． 若已知向量共线求参数值，则可依据已知条件与上述依据的对应性， 选择合适的依据列方程，通过解方程求解．
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考法2 平面向量的垂直问题
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考点32 平面向量的应用
❖考法3 平面向量的模的相关问题 ❖考法4 求平面向量的夹角
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考法3 平面向量的模的相关问题
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考法3 平面向量的模的相关问题
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考法4 求平面向量的夹角
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考法4 求平面向量的夹角
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700分综合 考点&考法
❖综合问题7 平面向量数量积与其他知 识的综合应用
考法1 平面向量的数量积运算
高考中有关平面向量的数量积运算包含三类问题：①利用坐标计算平面向量 的数量积；②根据平面向量的数量积的定义计算几何图形中的数量积；③根 据数量积求参数值． 1．利用坐标计算数量积 第一步，欲计算两个向量的数量积，先根据共线、垂直等条件计算出这两个 向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标 公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积 求向量 a，b的数量积a·b，有以下两种思路： (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积； 若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出 向量a，b，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解． 3．根据数量积求参数的值 若已知两平面向量的数量积，则根据坐标公式或定义列出含有参数的数量积 的等式，再解方程即可．
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考点30 平面向量的坐标运算
考法3 平面向量基本定理的应用
1．用基底表示其他向量． 主要有以下三种方法： 方法一：通过观察图象直接寻求向量之间的关系．其具体步骤为：第一步，观察待求向量 所在的三角形或平行四边形，利用三角形法则或平行四边形法则先将待求向量表示成两个 (或多个)相关向量a，b的和或差；第二步，把向量a，b分别进行分解，直到用基底表示出 向量a，b；第三步，将a，b代入第一步中的式子，从而得到结果． 方法二：采用方程思想．其一般步骤为：第一步，把待求向量看作未知量；第二步，列出 方程组；第三步，用解方程组的方法求解待求向量． 方法三：建立坐标系，根据向量的坐标运算求解．其一般步骤为：第一步，建立适当的直 角坐标系；第二步，把基底e1，e2，待求向量m的坐标分别表示出来；第三步，设m＝xe1＋ ye2；第四步，根据向量e1，e2，m的坐标列出相应的方程组，求出x，y，问题即解．
(2)解决向量与三角函数知识综合题的关键是把向量关系转化为向量 的有关运算，再进一步转化为实数运算(即坐标运算)，进而利用三 角函数知识解决问题．
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综合点1 平面向量数量积的综合应用
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