2015高考数学一轮课件：第3篇 第3讲 三角函数的图象与性质

因为
f(x)＝sin
x－cos xsin sin x
(1)(教材习题改编)由 sin(30°＋120°)＝sin 30°知，120°是正
弦函数 y＝sin x(x∈R)的一个周期．
(×)
(2)函数 y＝tan2x＋3π的最小正周期为2π. 2．判断奇偶性与对称性
(√)
(3)函数 y＝sin2x＋32π是奇函数．
(×)
(4)函数 y＝sin x 的对称轴方程为 x＝2kπ＋π2(k∈Z)．( × )
第3讲 三角函数的图像与性质
[最新考纲] 1．能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图像，了解三角函
数的周期性． 2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在
－2π，π2上的性质.
诊断基础知识
突破高频考第点一页，编辑于星培期五养：解十三题点能四十力五分。
知识梳理 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中k∈Z).
诊断基础知识
突破高频考第点四页，编辑于星培期五养：解十三题点能四十力五分。
3．求三角函数的单调区间
(5)函数 f(x)＝sin(－2x)与 f(x)＝sin 2x 的单调增区间都是
kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)． (6)函数 y＝tan x 在整个定义域上是增函数．
( ×) (× )
4．求三角函数的最值
二是对于 y＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，应在 每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数，如(6)． 三是函数 y＝sin x 与 y＝cos x 的最大值为 1，最小值为－1， 不存在一个值使 sin x＝32，如(7)．
诊断基础知识
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诊断基础知识
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(2)如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点43π，0中心对
称，那么|φ|的最小值为
( )．
A．π6
B．4π
C．3π
D．π2
诊断基础知识
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解析 (1)f(x)＝sin2x＋32π＝－cos 2x，故其最小正周期为 π，A 正确；易知函数 f(x)是偶函数，B 正确；由函数 f(x) ＝－cos 2x 的图像可知，函数 f(x)的图像不关于直线 x＝4π对 称，C 错误；由函数 f(x)的图像易知，函数 f(x)在0，π2上 是增函数，D 正确，故选 C.
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【训练 3】
(2012·北京卷)已知函数
f(x)＝sin
x－cos xsin sin x
2x .
(1)求 f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求 f(x)的单调递减区间．
解 (1)由 sin x≠0，得 x≠kπ(k∈Z)，
故 f(x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠kπ，k∈Z}，
诊断基础知识
突破高频考第点二十六页，编辑培于星养期解五：题十三能点力四十五分。
规律方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化 简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区 间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区 间内即可，注意要先把ω化为正数．
诊断基础知识
对称中心
(kπ，0)
对称轴
x＝kπ＋2π
y＝cos x [－1,1]
2π
偶函数
[2kπ－π， 2kπ]
[2kπ，2kπ
＋π]
kπ＋π2，0
x＝kπ
y＝tan x R
π
奇函数 kπ－π2，kπ＋2π
无
k2π，0 无
诊断基础知识
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辨析感悟
1．周期性的判断
法二 利用三角函数线，画出满足条件
的终边范围(如图阴影部分所示)． ∴定义域为
x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z
.
诊断基础知识
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法三
sin x－cos x＝
2
sin
x－π4
≥0，将x－
π 4
视为一个整
体，由正弦函数y＝sin
x的图象和性质可知2kπ≤x－
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
y＝tan x
定义域
R
xx∈R，且x≠
R
kπ＋π2，k∈Z
诊断基础知识
突破高频考第点二页，编辑于星培期五养：解十三题1,1]
2π
奇函数
递增区间 2kπ－π2，2kπ＋2π
递减区间 2kπ－π2，2kπ＋2π
令sin x＝t∈－12，1， ∴y＝2t2－t＋1＝2t－142＋78，t∈－12，1， ∴ymin＝78，ymax＝2.
答案
(1)x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z
7 (2)8
2
诊断基础知识
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考点二 三角函数的奇偶性、周期性和对称性
诊断基础知识
突破高频考第点十七页，编辑于培星期养五解：十题三点能四力十五分。
规律方法 (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化 为 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周 期为 T＝|2ωπ|；奇偶性的判断关键是解析式是否为 y＝Asin ωx 或 y＝Acos ωx＋b 的形式． (2)求 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令 ωx＋φ＝2π ＋kπ(k∈Z)，求 x；求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 ωx ＋φ＝kπ(k∈Z)即可．
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考点三 三角函数的单调性 【例 3】 (2014·长安中学模拟)设函数 f(x)＝sin(－2x＋φ)(0＜φ
＜π)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线 x＝π8. (1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调区间． 审题路线 令(－2)×8π＋φ＝π2＋kπ，k∈Z⇒解得 φ＝？又 0 ＜φ＜π⇒得出 φ 值⇒把 f(x)＝sin(－2x＋φ)，化为 f(x)＝－ sin(2x－φ)⇒令 g(x)＝sin(2x－φ)⇒求出 g(x)的单调区间⇒ 利用 f(x)与 g(x)的关系求 f(x)的单调区间．
诊断基础知识
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在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为π4，54π，再结合正弦、余
弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π
，k∈Z.
诊断基础知识
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诊断基础知识
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规律方法 (1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三 角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求 解． (2)三角函数值域的不同求法 ①利用sin x和cos x的值域直接求． ②把形如y＝asin x＋bcos x的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ) 的形式求值域． ③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值 域．
所以 f(x)的定义域为x|x∈R，且x≠k2π＋π4，k∈Z.
f(x)＝6cos4
x＋5sin2 cos 2x
x－4＝6cos4
x＋5－5cos2x－4 2cos2x－1
＝2cos2x2－co1s2x3－co1s2x－1＝3cos2x－1.
所以 f(x)的值域为y|－1≤y＜12，或12＜y≤2.
诊断基础知识
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(2)由题意得 3cos2×43π＋φ＝3cos23π＋φ＋2π ＝3cos23π＋φ＝0，∴23π＋φ＝kπ＋π2，k∈Z， ∴φ＝kπ－π6，k∈Z，取 k＝0， 得|φ|的最小值为π6.
答案 (1)C (2)A
诊断基础知识
π 4
≤π＋
2kπ，k∈Z，
解得2kπ＋4π≤x≤2kπ＋54π，k∈Z.
所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z
.
诊断基础知识
突破高频考第点十四页，编辑于培星期养五解：十题三点能四力十五分。
(2)y＝3－sin x－2cos2x
＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2sin2 x－sin x＋1，
诊断基础知识
突破高频考第点二十五页，编辑培于星养期解五：题十三能点力四十五分。
由π2＋2kπ≤2x－34π≤32π＋2kπ，k∈Z， 得58π＋kπ≤x≤98π＋kπ，k∈Z， 即 g(x)的单调减区间为58π＋kπ，98π＋kπ(k∈Z)， 故 f(x)的单调增区间为58π＋kπ，98π＋kπ(k∈Z)； 单调减区间为π8＋kπ，58π＋kπ(k∈Z)．
诊断基础知识
突破高频考第点二十三页，编辑培于星养期解五：题十三能点力四十五分。
解 (1)令(－2)×π8＋φ＝kπ＋2π，k∈Z， ∴φ＝kπ＋34π，k∈Z， 又 0＜φ＜π， ∴φ＝34π.
诊断基础知识
突破高频考第点二十四页，编辑培于星养期解五：题十三能点力四十五分。
(2)由(1)得 f(x)＝sin－2x＋34π＝－sin2x－34π， 令 g(x)＝sin2x－34π， 由－π2＋2kπ≤2x－34π≤π2＋2kπ，k∈Z， 得π8＋kπ≤x≤58π＋kπ，k∈Z， 即 g(x)的单调增区间为π8＋kπ，58π＋kπ，k∈Z；
诊断基础知识
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【训练 1】 (1)函数 y＝ sin x－cos x的定义域为________． (2)当 x∈π6，76π时，函数 y＝3－sin x－2cos2x 的最小值是 ________，最大值是________． 解析 (1)法一 要使函数有意义， 必须使sin x－cos x≥0.利用图像，在 同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和 y＝cos x的图像，如图所示．
(7)存在 x∈R，使得 2sin x＝3.
(× )
(8)(2013·天津卷改编)函数 f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上
的最小值为－
2 2.
( √)
诊断基础知识
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[感悟·提升] 1．一点提醒 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意
考点一 三角函数的定义域、值域问题 【例 1】 (2014·南昌模拟)已知函数 f(x)＝6cos4 xc＋os52sxin2x－4，
求 f(x)的定义域和值域．
解 由 cos 2x≠0 得 2x≠kπ＋π2，k∈Z， 解得 x≠k2π＋π4，k∈Z，
诊断基础知识
突破高频考第点八页，编辑于星培期五养：解十三题点能四十力五分。
ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx＋φ看作一个整体， 代入y＝sin t的相应单调区间求解． 2．三个防范 一是函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经 过其图像的最高点或最低点且平行于y轴的直线，如y＝ cos x的对称轴为x＝kπ，而不是x＝2kπ(k∈Z)．
诊断基础知识
突破高频考第点六页，编辑于星培期五养：解十三题点能四十力五分。
【例 2】 (1)函数 y＝2cos2x－4π－1 是 A．最小正周期为 π 的奇函数 B．最小正周期为 π 的偶函数
( )．
C．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为π2的偶函数 (2)函数 y＝2sin(3x＋φ)φ＜π2的一条对称轴为 x＝1π2，则 φ ＝________.
诊断基础知识
突破高频考第点十六页，编辑于培星期养五解：十题三点能四力十五分。
解析 (1)y＝2cos2x－π4－1＝cos2x－2π＝sin 2x 为奇函
数，T＝22π＝π.
(2)由 y＝sin x 的对称轴为 x＝kπ＋π2(k∈Z)，
所以 3×1π2＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，
得 φ＝kπ＋π4(k∈Z)，
又|φ|＜π2，∴k＝0，故 φ＝4π.
答案
(1)A
π (2)4
诊断基础知识
突破高频考第点十八页，编辑于培星期养五解：十题三点能四力十五分。
【训练 2】 (1)已知函数 f(x)＝sin2x＋32π(x∈R)，下面结论错
误的是
( )．
A．函数 f(x)的最小正周期为 π
B．函数 f(x)是偶函数
C．函数 f(x)的图像关于直线 x＝4π对称
D．函数 f(x)在区间0，π2上是增函数