数学第讲一元二次方程及应用

❖ 3、(５x-４)2 -(4-５x)=０ ( 分解因式 法）
❖ 4、 x２-４x-10=０
( 配方 法）
❖ 5、 ３x２-４x-５=０
( 公式 法）
❖ 6、 x２＋６x-1=0
( 配方 法）
❖ 7、 y2- y-1=0
( 公式 法）
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
【解析】由题意得 x1＋x2＝3，x1x2＝－2，所以 x21＋3x1x2＋x22＝x21＋2x1x2＋x22＋x1x2＝(x1＋x2)2 ＋x1x2＝33＋(－2)＝9－2＝7.
【答案】7
(2011 中考预测题)阅读材料：设一元二次方
程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 x1、x2，则
两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝－
b ≠0)有两个相等的实数根，即 x1＝x2＝－2a；
3．b2－4ac＜0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a
≠0)没有实数根；
一元二次方程根的判别式：
△=b2-4ac>0 △=b2-4ac=0 △=b2-4ac<0
有两个不相等实数根 有两个相等实数根 方程无实数解
(2010·上海)已知一元二次方程 x2＋x－1＝0，下列判断正确的是( ) A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定
一元二次方程的应用
考点三：一元二次方程根的判别式
关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠
0)的根的判别式为 b2－4ac.
1．b2－4ac＞0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a
≠ 0) 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 x1,2 ＝
－b± b2－4ac
2a
；
2．b2－4ac＝0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a
两边加上相等项“1”。
3．公式法：方程 ax2＋bx＋c＝0 且 b2－4ac≥0，则
－b± b2－4ac
x＝
2a

.
4．因式分解法：若 ax2＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)，
则
ax2＋bx＋c＝0
的根为
f
n
x1＝－e，x2＝－m.
3、用公式法解方程 3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0
b
c
a，x1·x2＝a.根据该材料填空：已知 x1、x2
是方程 x2＋6x＋3＝0 的两实数根，则xx12＋xx12的
值为________．
【解析】∵x1、x2 是 x2＋6x＋3＝0 的两实数根，∴x1＋x2＝－6，x1x2＝3，∴xx12＋xx12＝ x1＋xx212x－2 2x1x2＝－623－2×3＝10.
(2010·荆门)如果方程 ax2＋2x＋1＝0 有两 个不等的实根，则实数 a 的取值范围是 ()
A．a<1 B．a<1 且 a≠0 C．a≤1 D．a≤1 且 a≠0
【解析】∵方程有两个不等的实数根，∴b2－4ac>0， 即 22－4a>0，∴a<1.又∵a≠0，∴a<1 且 a≠0.
【答案】B
题型1
青山村种的水稻 2007 年平均每公顷产 8 000 kg,2009 年平均每公顷产 9 680 kg，求该村 水稻每公顷产量的年平均增长率．
【解题方案】 设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 x. (1)用含 x 的代数式表示： ①2008 年种的水稻平均每公顷的产量为 8_000(1＋x)； ②2009 年种的水稻平均每公顷的产量为 8_000(1＋x)2； (2)根据题意，列出相应方程 8_000(1＋x)2＝9_680； (3)解这个方程，得 x1＝0.1__x2＝－2.1； (4)检验：x1＝0.1，x2＝－2.1 都是原方程的根，但 x2＝－2.1 不 符合题意，所以只能取 x＝0.1； (5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 10%.
解：(1)2x2－3x＝－1，x2－32x＝－12，x2－32x＋(34)2＝－12＋(34)2，∴(x－34)2＝116，∴x－34＝ ±14，∴x1＝1，x2＝12
(2)x2－6x＝16，x2－6x＋9＝16＋9，∴(x－3)2＝25，∴x－3＝±5，∴x1＝8，x2＝－2 (3)(x－1)2＝9(x－1)，(x－1)2－9(x－1)＝0，(x－1)(x－1－9)＝0，∴x－1＝0 或 x－10＝0， ∴x1＝1，x2＝10
下列方程应选用哪种方法 (1) x2=0
(2) xx62x6
(3) x23x10
(4) x 12 3
(5) x23x20 (6) x2 2x4
(7) 5x2 4x
(8) x-2=x(x-2).
解下列方程：
(1) x 2 4 x 8 0 (2)(x 2)(x 3) 1 (3 ) 2 5 (1 x ) 2 3 6 (4)(3 x 1)2 4(3 x 1)
一元二次方程的 (2x1)2(3x)2 的解为 ( )
A.4 B.2 C.3 D.4或 -2
3
43
思考
1. (福州中考)
中考直击
解方程: (x+1)(x+2)=6
2. (北京中考)
已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10
求a2+b2 的值。
解方程．
(1)(2011 中考预测题)用配方法解一元二次 方程：2x2＋1＝3x； (2)(2009 中考变式题)x2－6x－16＝0； (3)(2011 中考预测题)(x－1)2＝9(x－1)．
练习
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
( 1 ) x 2 - 3 x + 4 = x 2 - 7 ( ×)
(2) 2 X 2 = -4
(√ )
( 3 ) 3 2 X + 5 X - 1 = 0 (×)
(4 )
3x
2-
1 x
2
0
( ×)
(5) x 2 1 3
( ×)
(6 )
y 4
y2
0
(√ )
例题分析
(2010·兰州)已知关于 x 的一元二次方程 (m－1)x2＋x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值 范围是__________．
【解析】∵方程有实数根，∴b2－4ac>0，∴12－4(m－1)≥0,4m≤5，m≤54.∵方程是关 于 x 的一元二次方程，∴m－1≠0，∴m≠1，∴m≤54且 m≠1.
则x＋p22＝－q＋2p2.
p x1＝－2＋
－q＋2p2，
p x2＝－2－
－q＋2p2.
例:解下列方程
❖ １、用直接开平方法：(x+2)2=９
解:两边开平方,得: x+2= ±3 ∴ x=-2±3
∴ x1=1, x2=-5
❖ 2、用配方法解方程4x2-8x-5=0
右边开平方 后，根号前 取“±”。
考点四：一元二次方程的根与系数的关系
1．若关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋
c＝0(a≠0)有两根分别为 x1、x2，则 x1＋x2
b
c
＝－a，x1·x2＝a.
2．(简易形式)若关于 x 的一元二次方
程 x2＋px＋q＝0 有两个根分别为 x1、x2，则 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.
(2010·玉溪)一元二次方程 x2－5x＋6＝0 的 两根分别是 x1、x2，则 x1＋x2 等于( ) A．5 B．6 C．－5 D．－6
认真想一想
例1.下列方程中，关于x的一元二次方程
有：①x2=0 ，②ax2+bx+c=0，
③x2－3=x，
④a2+a－x=0，
⑤(m－1)x2+4x+
m 2
=0，⑥ 1
x
1
+x
1
=3
，
⑦ x 2 1 =2， ⑧(x+1)2=x2－9（ A ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
认真想一想
例2：已知方程 2xm12x3是关于x的一
考点五：列一元二次方程解应用题 列一元二次方程解应用题的步骤和列一 元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、 设、列、解、验、答六步．
列方程解应用题的基本步骤怎样？
①审（审题）； ②设（设元）； ③列（列方程）； ④解（解方程）； ⑤验（注意根的准确性 及是否符合实际意义）； ⑥答（回答）;
增长率问题： 原量×（1+增长率）2 = 现量
把握住：一个未知数，最高次数是2， 一元二次方程的定义 整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
一
直接开平方法：
元
二
适应于形如（x-k）²=h（h>0）型
次 方
一元二次方程的解法 配方法： 适应于任何一个一元二次方程
程
公式法： 适应于任何一个一元二次方程
因式分解法：
适应于左边能分解为两个一次式的积， 右边是0的方程
【答案】10
(2011 中考预测题)已知 x＝－1 是方程 x2＋ mx－5＝0 的一个根，则 m＝________，方程 的另一根为________．
【解析】把 x＝－1 代入方程，得(－1)2－m－5＝0，∴m＝1－5＝－4，∴原方程为 x2－ 4x－5＝0，(x－5)(x＋1)＝0，∴x－5＝0 或 x＋1＝0，∴x1＝5，x2＝－1，即另一根为 x＝5.
【答案】－4 x＝5
(2010·中山)已知一元二次方程 x2－2x＋m ＝0. (1)若方程有两个实数根，求 m 的范围； (2)若方程的两个实数根为 x1、x2，且 x1＋3x2 ＝3，求 m 的值．
解：(1)方程有两个实数根，则 b2－4ac≥0. ∵(－2)2－4m≥0，∴m≤1. (2)∵x1＋x2＝2，又∵x1＋3x2＝3，∴x1＋x2＋2x2＝3，∴2＋2x2＝3，∴x2＝12.把 x2＝12代 入方程得(12)2－2×12＋m＝0，14－1＋m＝0，∴m＝34.
把y+2看作一个 未知数，变成 (ax+b)(cx+d)=
0形式。
一元二次方程的基本解法： 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
运用这些方法时的基本思想是什么？
降次
练习
选用适当方法解下列一元二次方程
❖ 1、 (2x+1)2=64
( 直接开平方 法）
❖ 2、 (x-2)2-４(x+１)2=0 ( 分解因式 法）
D．3
常用的代数式：
x x 2 2
1
2
x1 22x1x2x2 2 2x1x2 (x1x2)22x1x2
11
x x x x x1 x 2
1 2
12
(x1x2)2
x xx x 22 2
1
12 2
(x1x2)24x1x2
(2010·成都)设 x1、x2 是一元二次方程 x2－3x－2＝0 的两个实数根，则 x21＋3x1x2＋x22的值为________．
【答案】A
(2010·昆明)一元二次方程 x2＋x－2＝0 的 两根之积是( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
【解析】x1·x2＝ca＝－12＝－2.
【答案】B
(2010·眉山)已知方程 x2－5x＋2＝0 的两个
解分别为 x1、x2，则 x1＋x2－x1·x2 的值为
()
A．－7
B．－3
C．7
先变为一般 形式，代入 时注意符号。
a=3 b=-4 c=-7
∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0
x 4 100 2 5
6
3
∴x1=
x2 =
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
元二次方程，则m=__________
【变式训练】
关于x的方程(a1)xa22a1x50
是一元二次方程，则a=____3______
分析：
2
a 2a 1=2
且
a10
考点二 一元二次方程的常用解法
1．直接开平方法：如果 x2＝a(a≥0)，则 x
＝± a，则 x1＝ a，x2＝－ a. 2．配方法：如果 x2＋px＋q＝0 且 p2－4q≥0，
【答案】m≤54且 m≠1
(2010·成都)若关于 x 的一元二次方程 x2＋ 4x＋2k＝0 有两个实数根，求 k 的取值范围 及 k 的非负整数值．
【点拨】本题考查一元二次方程的根的判别式，当 b2－4ac≥0 时，方程有两个实数根．
【解答】∵方程 x2＋4x＋2k＝0 有两个实数根， ∴b2－4ac＝42－4×1×2k≥0. 即16－8k≥0，解得 k≤2. ∴k的非负整数值为 k＝2,1,0.
数学第讲一元二次方程及应用
一、知识点回顾：
1.一元二次方程的定义
2.一元二次方程的解法 一元二次 3.一元二次方程根的判别式
方程 4.一元二次方程根与系数的关系
5.一元二次方程的实际应用
考点一 一元二次方程的定义 在整式方程中，只含有一个未知数，并 且含未知数项的最高次数是 2，这样的整式 方程叫一元二次方程，一元二次方程的一般 形式是 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．