2023-2024学年湘教版数学七年级上册 1.6 有理数的乘方

要 8 000 000 000 000 美元基建投资. 将 8 000 000 000 000
用科学记数法表示为 8×10n，则 n 的值为（ C ）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
典例精析
例1 下列各数的书写形式是否是科学记数法的形式？
(1) 1.5×103；
(2) 29×104；
(3) 0.32×103；
3
=
2 3
2 3
2 3
=
8 27
.
思考：你发现负数的幂的正负有什么规律？
归纳总结
根据有理数的乘法法则可以得出： 1. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
2. 正数的任何正整数次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0.
练一练
你能迅速的判断下列各幂的正负吗？
165, 254, ( 7)9, ( 3)6, ( 1)101,
(3)一组数列：1，－4，9，－16，25，……
则第 n 个数可表示为_(_-_1_)_n_-1___n_2_或__(_-_1_)_n_+_1__n__2 _
1. 填空： (1) -(-3)2 = -9 ；
(3) (-5)3 = -125 ；
(2) -32 = -9 ； (4) 0.13 = 0.001 ；
思考 如何表示前面出 现的 186 亿，10 亿亿， 12.5 亿亿 这样的大数呢？
用科学记数法表示数 合作探究 回顾有理数的乘方，计算： 101 =_1_0_， 102 =_1_0_0_，103 =_1_0_0_0___，104 =_1_0_0_0_0__， 106 =_1_0_0_0_0_0_0__，1010 =_1_0_0_0_0_0_0_0_0_0_0__，…… 讨论： (1) 指数与运算结果中的 0 的个数有什么关系？ (2) 指数与运算结果的数位有什么关系
2
温馨提示：幂的底数是分数或负数时，
底数应该添上括号！
有理数乘方的运算
典例精析
例1
计算： (1)
(-4)3；
(2)
(-2)4；
(3)
2 3
3
.
解：(1) (-4)3 = (-4)×(-4)×(-4) = -64.
(2) (-2)4 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2) = 16.
(3)
2 3
第1章 有理数
1.6 有理数的乘方
第 2 课时 科学记数法
情境引入 2017 年 5 月 18 日，我国宣布在南海神狐 海域成功试采可燃冰，成为世界上首个在海域连续稳 定产气的国家．据粗略估计，仅南海北部陆坡的可燃 冰资源就达到 186 亿吨， 达到我国陆上石油资源 总量的 50%．
中国超级计算机神威“太湖之光”，峰值计算速度 达每秒 12.5 亿亿次，为世界首台每秒超 10 亿亿次 运算的计算机.
式有简单的记法吗？
2100
一般地，n 个相同的因数 a 相乘，记作 an，
知 识 要
读作“a 的 n 次幂（或 a 的 n 次方）”，即
a×a×……×a = an
点
n个a
这种求 n 个相同因数的乘积的运算叫做乘方，
乘方的结果叫做幂.
幂
a n 指数
因数的个数
底数 因数 （1次方可省略不写，2次方又叫平方，3次方又叫立方)
填一填 (1) (－5)2 的底数是_－__5__，指数是__2___，(－5)2
表示 2 个__－__5_相乘，读作__－__5_的 2 次方，也读作
－5 的_平__方__.
(2)
1 2
6
表示
6
个 1 相乘，读作 1 的 6
2
2
次方，也读作 1
2
的
6
次幂，其中
1 叫做 底数，6 叫做 指数 .
小数点向左移了 5 次
400 000 = 4 ×105
(b) 25 000 = 2.5 ×10 000 = 2.5 ×104
小数点原来的位置
25 000
小数点最后的位置
小数点向左移了 4 次
25 000 = 2.5 ×104
(c) 5 034 = 5.034 ×1 000 = 5.034 ×103
例3 有一张厚度为 0.1 毫米的纸，将它对折一次后， 厚度为 2×0.1 毫米，求：
（1）对折 2 次后，厚度为多少毫米？ （2）对折 20 次后，厚度为多少毫米？
对折次数 1 2 3 4 … 20 纸的层数 21 22 23 24 … 220
对折次数 1 2 3 4 … 20 纸的层数 21 22 23 24 … 220
(5) (-1)9 = -1 ；
(6) (-1)12 = 1 ；
(7)
(-1)n =
-1（当 1 （当
n n
为正奇数时） 为正偶数时）.
2. 计算：
（1）（ -
3）2
-
2 3
；
（2）-23×(-32)；
（3）64÷(-2)5；
（4）(-4)3÷(-1)200 + 2×(-3)4.
解：(1（)
A. 正数 B. 负数 C. 正数或负数 D. 整数
4. 已知 | b - 2 |与 (a + 1)2 互为相反数，求 ab 的值. 解：因为 | b - 2 | 和 ( a + 1)2 都是非负式，
且两者互为相反数 所以 | b - 2 | + ( a + 1)2 = 0. 所以 b = 2，a = -1. 所以 ab = 1
观察与思考：
上面的式子中，等号左边整数的位数与右边 10 的指
数有什么关系？
10 的指数 = 整数位数 - 1
归纳总结 把一个绝对值大于 10 的数记做 a×10n 的形式， 其中1≤a＜10,n是正整数，这种记数法叫做科学记数法.
科学记数法中 10 的指数 n 值的确定法： ①比原整数位数少 1 (当原数的绝对值≥10 时)； ②由小数点的移动位数来确定.
-32
无括号
3 的平方的相反数 2 个 3 相乘的积的相反数
即 -(3×3)
结果
9
-9
注意：底数是负数或分数时，必须加上括号.
练一练
计算：
(1)(－1.5)2；
(2)
1
2 3
2
解：
(1)(－1.5)2＝＋(1.5×1.5)＝2.25.
2
1 2 3
2
5 3
2
5 3
5 2 3
25 . 9
32000 = 3.2×10000 = 3.2×10（4 ）， 345000000 = 3.45×100000000 = 3.45×10（ 8 ）.
读作 “3.45 乘 10 的 8 次方(幂)”
3. 据亚洲开发银行统计数据，2010 年至 2020 年，亚洲
各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需
解：（1）因为厚度为 0.1 毫米的纸，将它对折一次 后，厚度为 2×0.1 毫米， 所以对折 2 次的厚度是 0.1×22 毫米. （2）对折 20 次的厚度是 0.1×220 毫米＝104857.6 （毫米）
变式1 按如图方式，将一个边长为 1 的正方形纸片分
割成 6 个部分. 1
1
（1）①的面积 2 . ②的面积 4 .
含乘方的混合运算
思考：在进行有理数的加、减、乘、除以及乘方
混合运算时，应按怎样的顺序进行运算呢？
例3
计算：
1
42
1 2
2
；
2 23 22 .
解：1
42
1 2
2
16
1 4
4.
2 23 22 8 4 32.
总结：先乘方，再乘除；如果有括号，先进行括号 里的运算.
例2 计算：（1）10 8 ( 2)2 ( 4) ( 3)；
(4) 2.23×100.
解：(1) 是.
(2) 不是，因为 29＞10.
(3) 不是，因为 0.32＜1.
(4) 不是，因为 100 不是 10n 的形式．
【变式】 下列求原数不正确的是 ( D ) A. 3.56×104＝35 600 B. －4.67×106＝－4 670 000
第1章 有理数
1.6 有理数的乘方
第 1 课时 有理数的乘方
情境引入 珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度 是 8848.86 米．把一张足够大的厚度为 0.1 毫米的纸， 连续对折 30 次的厚度能超过珠穆朗玛峰，这是真的吗？
有理数乘方的含义 问题引导 手工拉面是我国的传统面食. 制作时，拉面 师傅将一团和好的面，揉搓成 1 根长条后，手握两端 用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折，每次 对折称为一扣，如此反复操作， 连续扣六七次后便成了许多细细 的面条. 假如拉扣了 10 次，你能 算出共有多少根面条吗?
小数点最后的位置
小数点原来的位置
5 034
小数点向左移了 3 次
5 034 = 5.034 ×103
(a) 400 000 = 4 ×100 000 = 4 ×105
(b) 25 000 = 2.5 ×10 000 = 2.5 ×104
(c) 5 034 = 5.034 ×1 000 = 5.034 ×103
规律
（1）1 的任何正整数次幂都为 1； （2）-1 的幂很有规律：
-1 的奇次幂是 -1， -1的偶次幂是 1.
注意：当底数是负数或分数时，底数一定要加上括 号，这也是辨认底数的方法.
议一议：(-3)2与 -32 有什么不同？结果相等吗？
写法 读法
意义
(-3)2
有括号 -3 的平方
2个(-3)相乘 即 (-3)×(-3)
5. 计算：0.1252022×82023.
解：原式 = 0.1250.1250.1258888
2022 个 0.125
11 1 8
2022 个 1
8.
2023 个 8
1. 求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.
a 幂
n 指数
底数 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）零的正数次幂都是零.
-
3）2
-
2 3
9
-
2 3
6.
（2）-23×(-32) = -8×(-9) = 72.
（3）64÷(-2)5 = 64÷(-32) = -2.
（4）(-4)3÷(-1)200 + 2×(-3)4 = -64÷1 + 2×81 = 98.
3. 一个有理数的平方是正数，那么这个有理数的立方 是（ C ）
8 + 1 位
210 000 000 = 2.1×108
指数为 8
试一试 1. 把下列各数写成 10 的幂的形式：100 ， 10000，100000000，即写成 10（ ）. 100 = 102 10000 = 104 100000000 = 108 2．300 = 3×100 = 3×10（2 ），
(
2
)
9 5
5
2
3
3 8
1 2
3
1 4
.
解：(1) 原式= -10+8 4 - 4 3
= -10 + 2 -12 = - 20.
(2)
原式
=
-
9 5
25 9
-
3 8
[
-
1 8
-
1 4
]
=
-
9 5
25 9
-
3 8
-
3 8
= - 5 +1= - 4.
规律探究
拉扣前 拉扣一次后 拉扣两次后
拉扣三次后
2 2×2
2×2×2
问题：拉扣 10 次后可拉成几根面条？请用算式表示.
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2
思考：拉扣 100 次后可拉成几根面条？请用算式表
示.算式中有几个 2 相乘？
2×2×…×2
100 个 2 想一想：在这个乘积中有 100 个 2 相乘，这么长的算
填一填
10 102 103 104 105
指数
123 4
5
运算结果中 0 的 个数
1
23
4
5
运算结果规律？
1. 10 的几次幂就等于 1 后面有几个 0. 2. 运算结果的位数比指数大 1.
归纳总结
(1) 10n = 10 ···0 ，n 是 1 后面 0 的个数.
1
1
③的面积 8 . ④的面积 24 .
1
1
⑤的面积 25 . ⑥的面积 25 .
（2）受此启发，你能求出
1 2
1 4
1 8
1 25
的值吗？
变式2 完成下列填空
(1)一组数列：8，16，32，64，……
则第 n 个数表示为__2_n_+2__
(2)一组数列：－4，8，－16，32，－64，……
则第 n 个数表示为__(_-_1_)n___2_n_+_2_
正正 负
正
负
1 4
50
正
0.012,
1 8
2
,
02,
a2 (a 0)， a2 (a 0)
正
正
零
正
正
议一议
快速计算下面几道题：
（1）13 = 1
（2）12022 = 1 （3）(-1)8 = 1
（4）(-1)2022 = 1 （5）(-1)7 = -1 （6）(-1)2023= -1
思考：你发现了什么规律呢？
n个0
(2) 10n = 10 ···0 ，n 比运算结果的位数少 1.
(n + 1) 位
反之，1 后面有多少个 0，10 的幂指数就是多少. 如 10 000 000 = 107
7个0
(a) 400 000 = 4 ×100 000 = 4 ×105
小数点原来的位置
400 000
小数点最后的位置