2020高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇 专题二数列——第2讲第2讲 数列通项与求和

第2讲 数列通项与求和
[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ
2019 等比数列的求和·T 14 递推公式的应用·T 19 等差数列的前n 项和·T 14
2018
a n 与S n 关系的应用·T 14
等差数列前n 项和的最值问题·T 17
2017
等差数列的基本运算、数
列求和·T 17
等比数列的通项公式、a n 与S n 的关系·T 17
三角形问题交替考查且多出现在第17(或18)题的位置，难度中等，2020年高考此内容难度有可能加大，应引起关注．若以客观题考查，难度中等的题目较多，有时也出现在第12、16题的位置，难度偏大．
考点一 a n 与S n 关系的应用
[例1] (1)(2019·成都第一次诊断性检测)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝4，a n ＋1
＝S n ，n ∈N *，则a 5＝________．
(2)(2019·武汉市调研测试)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，a 1
＝－1，则a 4＝________．
[解析] (1)法一：由a n ＋1＝S n ，得S n ＋1－S n ＝S n ，则S n ＋1＝2S n .又S 1＝a 1＝4，所以数列{S n }是首项为4，公比为2的等比数列，所以S n ＝4·2n －
1＝2n ＋
1，则a 5＝S 5－S 4＝26－25＝32.
法二：当n ≥2时，由a n ＋1＝S n ，得a n ＝S n －1，两式相减，得a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是从第2项开始，公比为2的等比数列．又a 2＝S 1＝4，所以a 5＝a 2·23＝4×23＝32.
(2)法一：由S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)可得S 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1，即a 2＝2a 1＋1＝－1.根据S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，①
知S n ＋1＝3S n ＋2n ＋
1－3，② ②－①可得，a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)． 两边同时除以2n
＋1可得
a n ＋12n ＋1＝32·a n 2n ＋12
(n ≥2)，令b n ＝a n 2n ，可得b n ＋1＝32·b n
＋1
2(n ≥2)． ∴b n ＋1＋1＝32(b n ＋1)(n ≥2)，数列{b n ＋1}是以b 2＋1＝a 222＋1＝1－14＝34为首项，3
2为公比
的等比数列．
∴b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫
32n －2
·34(n ≥2)，∴b n ＝12·⎝⎛⎭⎫32n －1－1(n ≥2)．又b 1＝－1
2
也满足上式， ∴b n ＝⎝⎛⎭
⎫32n －1
·1
2－1(n ∈N *)，又b n ＝a n 2
n ，
∴a n ＝2n b n ，即a n ＝3n －1
－2n .
∴a 4＝33－24＝11.
法二：由S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，a 1＝－1，知S 2＝3S 1＋4－3，∴a 2＝－1.S 3＝3S 2＋8－3，∴a 3＝1.S 4＝3S 3＋16－3，∴a 4＝11.
[答案] (1)32 (2)11 [解题方略]
(1)给出S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n
的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .
(2)形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠1，q ≠0)，可构造一个新的等比数列．
[多练强化]
1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．
解析：a n ＋1－2a n ＝2n 两边同除以2n ＋
1，可得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12，又a 12＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以
12为首项，12为公差的等差数列，所以a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝n 2
，所以a n ＝n ·2n －
1.
答案：n ·2n －
1
2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝a n ＋1－a n . (1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝
b n
（4n 2
－1）2n
，求数列{c n }的前n 项和S n .
解：(1)证明：因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝（3a n ＋1－2a n ）－a n ＋1a n ＋1－a n ＝2（a n ＋1－a n ）a n ＋1－a n ＝2，
又b 1＝a 2－a 1＝2－1＝1，
所以数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝1×2n －
1＝2n －
1， 因为c n ＝b n
（4n 2
－1）2n
， 所以c n ＝
12（2n ＋1）（2n －1）＝14⎝
⎛⎭⎫1
2n －1－12n ＋1，
所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n
＝1
4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1
＝1
4⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 4n ＋2. 考点二 数列求和 题型一 裂项相消求和
[例2] (2019·安徽五校联盟第二次质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝
2a n
（a n ＋1）（a n ＋1＋1）
，求数列{b n }的前n 项和T n .
[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，得a 1＝1.当n ≥2时，有S n －1＝2a n －1－1， 所以a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.所以{a n }是公比为2，首项为1的等比数列，故通项公式a n ＝2n －
1.
(2)b n ＝2a n （a n ＋1）（a n ＋1＋1）＝2n （2n －
1＋1）（2n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫12n －1＋1－12n ＋1， T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2×⎝⎛⎭⎫120＋1－121＋1＋2×⎝⎛⎭⎫121＋1－1
22＋1＋
2×⎝⎛⎭⎫122＋1－123＋1＋…＋2×⎝⎛⎭⎫12n －1＋1－12n ＋1＝2n
－1
2n ＋1
. [解题方略]
(1)裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
题型二 错位相减求和
[例3] (2019·福建五校第二次联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
[解] (1)因为S n ＝3n 2＋8n ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2＋8n －[3(n －1)2＋8(n －1)]＝6n ＋5；
当n ＝1时，a 1＝S 1＝11 所以a n ＝6n ＋5，n ∈N * 于是，b n ＋1＋b n ＝a n ＝6n ＋5.
因为{b n }是等差数列，所以可设b n ＝kn ＋t (k ，t 均为常数)，则有k (n ＋1)＋t ＋kn ＋t ＝6n ＋5，即2kn ＋k ＋2t ＝6n ＋5对任意的n ∈N *恒成立，
所以⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝6，k ＋2t ＝5，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝3，t ＝1，故b n ＝3n ＋1.
(2)因为a n ＝6n ＋5，b n ＝3n ＋1，所以c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ＝（6n ＋6）n ＋
1（3n ＋3）n ＝2n
×(6n ＋6)．
于是，T n ＝12×2＋18×22＋24×23＋…＋2n ×(6n ＋6)，①
所以2T n ＝12×22＋18×23＋24×24＋…＋2n ×6n ＋2n ＋
1×(6n ＋6)，②
①－②得，－T n ＝24＋6(22＋23＋…＋2n )－2n ＋
1×(6n ＋6)＝24＋6×
22－2n ×21－2
－2n ＋
1×
(6n ＋6)＝－2n ＋
1×6n ，
故T n ＝2n ＋
1×6n ＝2n ＋
2×3n . [解题方略]
(1)求解此类题需掌握三个技巧：一是巧分拆，即把数列的通项转化为等差数列、等比数列的通项的积，并求出等比数列的公比；二是构差式，求出前n 项和的表达式，然后乘以等比数列的公比，两式作差；三是得结论，即根据差式的特征进行准确求和．
(2)运用错位相减法求和时应注意三点：一是判断模型，即判断数列{a n }，{b n }一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置；三是相减时一定要注意最后一项的符号．
题型三 分组转化求和
[例4] 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N *，且不等式ax 2－3x ＋2<0的解集为(1，d )．
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)若b n ＝3a n ＋a n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n .
[解]
(1)易知a ≠0，由题设可知⎩⎨⎧1＋d ＝3
a ，
1·d ＝2
a ，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝2.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝32n －
1＋2n －1－1，
则T n ＝(3＋1)＋(33＋3)＋…＋(32n －
1＋2n －1)－n ＝(31＋33＋…＋32n －
1)＋(1＋3＋…＋2n －1)－n ＝31（1－9n ）1－9＋（1＋2n －1）n 2－n
＝3
8(9n －1)＋n 2－n . [解题方略]
(1)在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和．在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n 进行讨论．最后再验证是否可以合并为一个表达式．
(2)分组求和的策略：①根据等差、等比数列分组；②根据正号、负号分组．
[多练强化]
1．(2019·福建五校第二次联考)在数列{a n }中，a 1＝13，1a n ＋1＝3
a n （a n ＋3），n ∈N *，且
b n ＝13＋a n
.记P n ＝b 1×b 2×…×b n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则3n ＋
1P n ＋S n ＝________．
解析：因为1a n ＋1＝3a n （a n ＋3）＝1a n －1a n ＋3，所以b n ＝13＋a n ＝1a n －1
a n ＋1
，所以S n ＝b 1＋
b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1.因为1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），所以3＋a n ＝
3a n ＋1a n ，所以b n ＝13＋a n ＝a n 3a n ＋1，所以P n ＝b 1×b 2×…×b n ＝a 13a 2×a 23a 3×…×a n 3a n ＋1
＝a 13n a n ＋1.又a 1＝13，故3n ＋1P n ＋S n
＝3a 1a n ＋1＋1a 1－1a n ＋1＝1a 1
＝3. 答案：3
2．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝
n ＋1n a n ＋n ＋1
2
n . (1)设b n ＝a n
n ，求数列{b n }的通项公式；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)由a n ＋1＝
n ＋1n a n ＋n ＋12n ，可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1
2n
， 又b n ＝a n n ，所以b n ＋1－b n ＝1
2n ，
由a 1＝1，得b 1＝1，
累加可得(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝121＋122＋…＋1
2n －1，
即b n －b 1＝12⎝⎛⎭⎫
1－12n －11－12＝1－1
2n －1，
所以b n ＝2－
12n
－1
.
(2)由(1)可知a n ＝2n －
n 2
n －1
，设数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
n 2n －1的前n 项和为T n ，
则T n ＝120＋221＋3
22＋…＋n 2
n －1，①
12T n ＝121＋222＋3
23＋…＋n 2
n ，② ①－②得12T n ＝120＋121＋122＋…＋1
2
n －1－n 2n ＝1－1
2n
1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ，
所以T n ＝4－
n ＋22n －1
. 易知数列{2n }的前n 项和为n (n ＋1)， 所以S n ＝n (n ＋1)－4＋
n ＋22n －1
.
数学运算——数列的通项公式及求和问题
[典例] 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为其前n 项和，已知S 3＝7，a 1＋3，3a 2，a 3＋4构成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝a n ＋ln a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设数列{a n }的公比为q (q >1)． 由已知，得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3
＝7，（a 1＋3）＋（a 3＋4）2＝3a 2，
即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝7，
a 1（1－6q ＋q 2）＝－7.
由q >1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，
故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －
1. (2)由(1)得b n ＝2n －
1＋(n －1)ln 2，
所以T n＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]ln 2＝1－2n
1－2
＋
n（n－1）
2ln 2＝
2n－1＋n（n－1）
2ln 2.
[素养通路]
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．
本题通过列出关于首项与公比的方程组，并解此方程组得出首项与公比，从而得出通项公式；通过分组分别根据等比数列求和公式、等差数列求和公式求和．。