三角函数的诱导公式练习题含答案

三角函数的诱导公式练习题（1）1. tan225∘的值为()
A.1
B.√2
2C.−√2
2
D.−1
2. 已知3sin(θ+π
2
)+sin(θ+π)=0，θ∈(−π,0)，则sinθ=( )
A.−3√10
10B.−√10
10
C.3√10
10
D.√10
10
3. 若sin(π
3−α)=−1
3
，则cos(α+π
6
)=( )
A.−1
3B.1
3
C.−2√2
3
D.2√2
3
4. 已知sin(α+π
4)=3
5
，则cos(π
4
−α)=( )
A.4 5
B.−4
5
C.−3
5
D.3
5
5. 已知α是第二象限角，若sin(π
2−α)=−1
3
，则sinα＝（）
A.−2√2
3B.−1
3
C.1
3
D.2√2
3
6. 已知函数f(x)={1
x
,x0,
log2x−3,x0,则f(−1
2
)⋅f(16)=()
A.3
B.1
C.−1
D.−2
7. （5分）已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A.sin(−x)=sin x
B.sin(3π
2
−x)=cos x
C.cos(π
2
+x)=−sin x D.cos(x−π)=−cos x
8. sin 14π3
−cos (−
25π4
)=________．
9. 已知sin α=4
5，则cos (α+π
2)=________． 10. cos 85∘+sin 25∘cos 30∘
cos 25∘
等于________
11. 已知cos θ=−3
5
，则sin (θ+π
2
)=________．
12. 已知cos (π−α)=3
5，α∈(0,π)，则tan α=________．
13. 已知f (α)=sin (α−π2
)cos (
3π
2
+α)tan (π−α)tan (−α−π)sin (−α−π)
，其中α≠1
2kπ(k ∈Z )．
(1)化简f (α)；
(2)若f (π
2+β)=−
√3
3，且角β为第四象限角，求sin (2β+π
6
)的值．
14. 已知α为第二象限角，且sin α+cos α=−7
13，分别求tan α，sin 2α−2sin αcos α的值．
15. 如图，四边形ABCD 中，△ABC 是等腰直角三角形，其中AC ⊥BC ，AB =√6，又CD//AB ，cos ∠ABD =
√63
．
(1)求BD 的长；
(2)求△ACD的面积．
参考答案与试题解析
三角函数的诱导公式练习题（1）
一、选择题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）
1.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】
解：原式=tan(180∘+45∘)=tan45∘=1，
故选A．
2.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
诱导公式
【解析】
利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】
解：∵sin(θ+π
2)=sinθcosπ
2
+cosθsinπ
2
=cosθ，
sin(θ+π)=sinθcosπ+cosθsinπ=−sinθ，∴ 3cosθ−sinθ=0，
∴cosθ=1
3
sinθ，
由于sin2θ+cos2θ=1，
而θ∈(−π,0)，
∴sinθ<0，
∴10
9
sin2θ=1．
∴sinθ=−3√10
10
．
故选A．
3.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
观察所求角和已知角可得cos(α+π
6)=cos[π
2
−(π
3
−α)]，再利用诱导公式即可求解．
【解答】
解：∵ (α+π
6)+(π
3−a)=π
2，
∴ cos (α+π6)=cos [π2−(π
3−α)]
=sin (π
3
−α)=−13
．
故选A ．
4.
【答案】 D
【考点】
运用诱导公式化简求值 【解析】
由题意利用利用诱导公式化简三角函数式的值，可得结果． 【解答】
解：∵ sin (α+π
4)=3
5， ∴ cos (π
4−α)=sin [π
2−(π
4−α)] =sin (π
4+α)=3
5. 故选D . 5. 【答案】 D
【考点】
同角三角函数间的基本关系 运用诱导公式化简求值
【解析】
直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可． 【解答】
α是第二象限角，若sin (π
2−α)=−1
3 可得cos α=−1
3，所以sin α=√1−cos 2α=
2√2
3
． 6.
【答案】 D
【考点】 求函数的值 分段函数的应用 函数的求值 【解析】
推导出f(−1
2)=1
−12
=−2，f(16)＝log 216−3＝4−3＝1，由此能求出f(−1
2)⋅f(16)的
值． 【解答】
∵ 函数f(x)={1
x
,x0,
log 2x −3,x0,
∴ f(−1
2)=
1−
12
=−2，
f(16)＝log 216−3＝4−3＝1， ∴ f(−1
2)⋅f(16)=(−2)×1＝−2．
二、 多选题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ） 7.
【答案】 C,D
【考点】
运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：A ，sin (−x )=−sin x ，故 A 不成立； B ，sin (3π
2−x)=−cos x ，故B 不成立； C ，cos (π2+x)=−sin x ，故C 成立；
D ，cos (x −π)=−cos x ，故D 成立． 故选CD ．
三、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ） 8.
【答案】
√3−√2
2
【考点】
运用诱导公式化简求值 【解析】
本题考查利用诱导公式求值． 【解答】 解：sin
14π3−cos (−
25π4
)
=sin (4π+2π3)−cos (−6π−π4
) =sin 2π3−cos π4
=
√3−√22
． 故答案为：
√3−√2
2
．
−4 5
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
原式利用诱导公式化简，将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】
解：∵sinα=4
5
，
∴cos(π
2+α)=−sinα=−4
5
．
故答案为：−4
5
.
10.
【答案】
1
2
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
把cos85∘化为cos(60∘+25∘)，由两角和的余弦公式化简即可．【解答】
cos85∘+sin25∘cos30∘
cos25∘
=cos(60∘+25∘)+sin25∘cos30∘
cos25∘
=1
2cos25
∘−√3
2sin25
∘+√3
2sin25
∘
cos25∘
=1
2
．11.
【答案】
−3 5
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】
∵cosθ=−3
5
，
∴sin(θ+π
2)=cosθ=−3
5
．
−43
【考点】
同角三角函数间的基本关系 运用诱导公式化简求值
【解析】
由诱导公式可得cos a 的值，及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出tan α的值即可． 【解答】
解： ∵ cos (π−α)=−cos α=3
5，α∈(0,π)， ∴ cos α=−3
5
<0，则α∈(π
2
,π)，
则sin α=√1−cos 2α=4
5， ∴ tan α=sin α
cos α=45−35
=−4
3．
故答案为：−43．
四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ） 13.
【答案】 解：（1） f(α)=sin (a−π2
)cos (
3π
2
+α)tan (π−α)tan (−α−π)sin (−α−π)
=
(−cos α)⋅sin α⋅(−tan α)
(−tan α)⋅sin α
=−cos α．
（2）由f (π
2
+β)=−cos (π
2
+β)=−
√3
3
，得sin β=−
√33
， 又角β为第四象限角，所以cos β−√6
3
， sin 2β=−
2√2
3
,cos 2β=1
3，
所以sin (2β+π
6)=sin 2βcos π
8+cos 2βsin π
6 =(−
2√2
3
)⋅
√32
+13⋅1
2
=
1−2√6
6
． 【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1） f(α)=sin (a−π
2
)cos (
3π
2
+α)tan (π−α)tan (−α−π)sin (−α−π)
=
(−cos α)⋅sin α⋅(−tan α)
(−tan α)⋅sin α
=−cos α．
（2）由f (π
2
+β)=−cos (π
2
+β)=−
√3
3
，得sin β=−
√33
， 又角β为第四象限角，所以cos β−√63
， sin 2β=−
2√2
3
,cos 2β=1
3
，
所以sin (2β+π
6)=sin 2βcos π
8+cos 2βsin π
6
=(−2√2
3
)⋅
√32
+13⋅1
2
=
1−2√6
6
． 14. 【答案】
解：因为sin α+cos α=−7
13，所以(sin α+cos α)2=sin 2α+2sin αcos α+cos 2α=49
169， 整理得2sin αcos α=−
120169
，
则(sin α−cos α)2=1−2sin αcos α=289
169． 因为α为第二象限角，所以sin α−cos α=1713
，
解得sin α=5
13，cos α=−12
13． 所以tan =sin α
cos α=−5
12， sin 2α−2sin αcos α=
25169
−(−
120
169
)=145
169． 【考点】
同角三角函数间的基本关系 三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 【解答】
解：因为sin α+cos α=−7
13，所以(sin α+cos α)2=sin 2α+2sin αcos α+cos 2α=49
169， 整理得2sin αcos α=−
120169
，
则(sin α−cos α)2=1−2sin αcos α=
289169
．
因为α为第二象限角，所以sin α−cos α=17
13， 解得sin α=5
13，cos α=−12
13． 所以tan =sin α
cos α=−5
12，
sin 2α−2sin αcos α=25
169−(−120
169)=145
169．
15.
【答案】
解：(1)因为CD // AB ，AC ⊥BC ，△ABC 是等腰直角三角形， 所以∠ABC =∠CA =∠ACD =1
2×(180∘−90∘)=45∘， 所以∠BCD =90∘+45∘=135∘.
所以sin ∠BDC =sin ∠ABD =√1−(√6
3)2=√33
， 在△ABC 中，BC =AC =√3， 在△BCD 中，由正弦定理得， BD =
BC⋅sin ∠BCD sin ∠BDC
=
√3×√2
2
√3
3
=
3√22
．
(2)在△BCD 中，由正弦定理可得， CD =BC ⋅sin (45∘−∠ABD)sin ∠BDC
=√3×√22×(√63−√33)√33
=
2√3−√6
2
． 所以S △ACD =1
2AC ⋅CD ⋅sin ∠ACD =12×√3×2√3−√62×√22
=
3(√2−1)
4
． 【考点】
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
(1)由题意可求∠BCD =135∘，在△BCD 中，由正弦定理可得BD 的值．
(2)在△BCD 中，由正弦定理可得CD 的值，根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】
解：(1)因为CD // AB ，AC ⊥BC ，△ABC 是等腰直角三角形， 所以∠ABC =∠CA =∠ACD =1
2×(180∘−90∘)=45∘， 所以∠BCD =90∘+45∘=135∘.
所以sin ∠BDC =sin ∠ABD =(√6
3)=√33
， 在△ABC 中，BC =AC =√3， 在△BCD 中，由正弦定理得， BD =
BC⋅sin ∠BCD sin ∠BDC
=
√3×√2
2
√3
3
=
3√22
．
(2)在△BCD 中，由正弦定理可得，
CD=BC⋅sin(45∘−∠ABD)
sin∠BDC
=√3×
√2
2×(
√6
3−
√3
3)
√3
3
=2√3−√6
2
．
所以S△ACD=1
2
AC⋅CD⋅sin∠ACD
=1
2
×√3×
2√3−√6
2
×
√2
2
=3(√2−1)
4
．
试卷第11页，总11页。