山西省太原市2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年山西省太原市高一第二学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝2，则a4＝（）
A．5B．7C．8D．16
2．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）
A．（﹣∞，0）B．（0，1）
C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
3．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1
4．在△ABC中，A＝30°，b＝，c＝1，则a＝（）
A．2B．C．D．1
5．已知a＜b，则下列结论正确的是（）
A．a2＜b2B．＜1C．＞D．2a＜2b
6．在等比数列{a n}中，若a1a3a5＝8，则a2a4＝（）
A．2B．4C．±2D．±4
7．cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（）
A．B．C．D．
8．若||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，则|+|的值（）
A．1B．C．D．2
9．在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），则a2020＝（）A．0B．C．﹣D．
10．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+的最小值是（）
A．+1B．3+2C．﹣1D．3﹣2
11．若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）12．已知等差数列{a n}满足a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0．其前n项和为S n，则使S n＞0成立时n最大值为（）
A．2020B．2019C．4040D．4038
二、填空题：本大题共4个小题，每个小题3分，共12分，把答案填在横线上．
13．已知扇形的半径为1，圆心角为45°，则该扇形的弧长为．
14．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为km．
15．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为．
16．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l（n∈N*），则该数列的前80项和为．三、解答题（共3小题，满分30分）
17．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a4＝7．等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a14．（1）求数列{a n}通项公式a n；
（2）求数列{b n}的前n项和S n．
18．已知sinα＝，α∈（，π）．
（1）求cosα，tanα；
（2）求的值．
19．已知△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．
（1）求b；
（2）求△ABC的面积．
（请同学们在甲，乙两题中任选一题作答）
20．已知向量＝（1，cos x），＝（1+sin x，1），x∈R，函数f（x）＝•﹣1，（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．
选做题
21．已知向量＝（1，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）若f（x）≤2，求x的取值范围．
（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）
22．已知数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．
（1）证明：{}为等差数列；
（2）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．
选做题
23．已知数列{a n}满足a1＝5，a n+1＝2a n+2n+1﹣1（n∈N*），b n＝（n∈N*）．（1）是否存在实数λ，使得{b n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
（2）利用（1）的结论，求数列{a n}的前n项和S n．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置.
1．在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝2，则a4＝（）
A．5B．7C．8D．16
【分析】由已知直接利用等差数列的通项公式求解．
解：在等差数列{a n}中，由a1＝1，d＝2，
得a4＝a1+3d＝1+3×2＝7．
故选：B．
2．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）
A．（﹣∞，0）B．（0，1）
C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【分析】可以先求出方程x（x﹣1）＝0的根，根据一元二次不等式的解法，进行求解；
解：x（x﹣1）＝0，可得x＝1或0，
不等式x（x﹣1）＞0，
解得{x|x＞1或x＜0}，
故选：D．
3．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1
【分析】根据条件便有，进行向量数量积的坐标运算便可得出k的值．解：∵；
∴；
∴k＝2．
故选：A．
4．在△ABC中，A＝30°，b＝，c＝1，则a＝（）
A．2B．C．D．1
【分析】利用余弦定理即可求出a的值．
解：因为A＝30°，b＝，c＝1，
∴a2＝b2+c2﹣2bc cos A
＝
＝1，
故a＝1．
故选：D．
5．已知a＜b，则下列结论正确的是（）
A．a2＜b2B．＜1C．＞D．2a＜2b
【分析】通过举例利用排除法可得ABC不正确，即可得出结论．
解：由a＜b，取a＝﹣2，b＝﹣1，可知A，B不正确；
取a＝﹣1，b＝1，可得C不正确．
故选：D．
6．在等比数列{a n}中，若a1a3a5＝8，则a2a4＝（）
A．2B．4C．±2D．±4
【分析】根据等比数列的性质知：a1a3a5＝（a2q）3＝8，a2q＝a3＝2，a2a4＝a32＝4．解：设等比数列{a n}的公比为q，则a1a3a5＝•a2q•a2q3＝（a2q）3＝8，则a2q＝a3＝2．
又a2a4＝•a3q＝a32＝22＝4．
故选：B．
7．cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（）
A．B．C．D．
【分析】直接利用两角差的余弦公式，求得所给式子的值．
解：cos45°cos15°+sin15°sin45°＝（cos45°﹣15°）＝cos30°＝，
故选：B．
8．若||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，则|+|的值（）
A．1B．C．D．2
【分析】根据向量的平方等于模的平方，利用数量积定义和数量积的性质即可得出．
解：∵||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，
∴＝1，＝4，•＝﹣1，
∴|+|2＝（+）2＝+﹣2•＝1+4﹣2＝3，
故|+|＝，
故选：B．
9．在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），则a2020＝（）A．0B．C．﹣D．
【分析】利用数列{a n}的通项公式求出数列{a n}的前4项，得到{a n}是周期为3的周期数列，从而a2020＝a1，由此能求出结果．
解：在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），
∴＝，
＝﹣，
＝0，
∴{a n}是周期为3的周期数列，
∵2020＝673×3+1，
∴a2020＝a1＝0．
故选：A．
10．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+的最小值是（）
A．+1B．3+2C．﹣1D．3﹣2
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
解：因为x＞0，y＞0，且x+2y＝1，
则+＝（+）（x+2y）＝3+，
当且仅当且x+2y＝1即y＝＝，x＝时取等号，
故选：B．
11．若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）
【分析】由已知对a进行分类讨论，然后结合二次不等式的性质可求．
解：当a＝0时，﹣1＜0恒成立，
当a≠0时，可得，
解可得，﹣1＜a＜0，
综上可得，﹣1＜a≤0，
故选：C．
12．已知等差数列{a n}满足a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0．其前n项和为S n，则使S n＞0成立时n最大值为（）
A．2020B．2019C．4040D．4038
【分析】差数列{a n}的首项a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0，可得a2019＞0，a2020＜0．再利用求和公式及其性质即可得出．．
解：∵等差数列{a n}的首项a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0，
∴a2019＞0，a2020＜0．
于是S4038＝＝＞0，
S4039＝＝4039•a2020＜0．
∴使S n＞0成立的最大正整数n是4038．
故选：D．
二、填空题：本大题共4个小题，每个小题3分，共12分，把答案填在横线上．
13．已知扇形的半径为1，圆心角为45°，则该扇形的弧长为．【分析】根据弧长公式进行计算即可．
解：由题意得，扇形的半径为8cm，圆心角为45°，
故此扇形的弧长为：＝．
故答案为：．
14．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为30 km．
【分析】根据题意画出相应的图形，求出∠B与∠BAC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长．
解：根据题意画出图形，如图所示，可得出∠B＝75°﹣30°＝45°，
在△ABC中，根据正弦定理得：＝，即＝，
∴BC＝30km，
则这时船与灯塔的距离为30km．
故答案为：30
15．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为2．
【分析】由题意可得b2＝ac，2x＝a+b，2y＝b+c，代入要求的式子+，化简求得结果．
解：∵已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，
可得b2＝ac，2x＝a+b，2y＝b+c，
∴+＝+＝＝＝2，
故答案为2．
16．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l（n∈N*），则该数列的前80项和为3240．【分析】由数列递推式判断数列的特征，4项一组，求和后得到一个等差数列，然后求和即可．
解：设a1＝a，由a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l，得
a2＝a+1，a3＝2﹣a，a4＝7﹣a，
a5＝a，a6＝a+9，a7＝2﹣a，a8＝15﹣a，
a9＝a，a10＝a+17，a11＝2﹣a，a12＝23﹣a．
可知：a1+a2+a3+a4＝10，a5+a6+a7+a8＝26，a9+a10+a11+a12＝42，
…
10，26，42，…是等差数列，公差为16，
∴数列{a n}的前80项和为：20×10+×16＝3240．
故答案为：3240．
三、解答题（共3小题，满分30分）
17．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a4＝7．等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a14．（1）求数列{a n}通项公式a n；
（2）求数列{b n}的前n项和S n．
【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）设等比数列{b n}的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求和．
解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，a4＝7，
可得a1+d＝3，a1+3d＝7，解得a1＝1，d＝2，
则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；
（2）设等比数列{b n}的公比为q，由b1＝a1＝1，b4＝a14＝q3＝27，解得q＝3，
数列{b n}的前n项和S n＝＝（3n﹣1）．
18．已知sinα＝，α∈（，π）．
（1）求cosα，tanα；
（2）求的值．
【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果．
（2）由题意利用诱导公式，求得结果．
解：（1）∴已知sinα＝，α∈（，π），∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝﹣．
（2）＝＝﹣cos2α＝﹣．
19．已知△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．
（1）求b；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）由已知利用正弦定理可得b的值．
（2）由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
解：（1）∵△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．
∴由正弦定理，可得b＝＝＝2．
（2）∵A+B+C＝180°，A＝60°，B＝45°．
∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝+＝，
∴S△ABC＝ab sin C＝×＝9+3．
（请同学们在甲，乙两题中任选一题作答）
20．已知向量＝（1，cos x），＝（1+sin x，1），x∈R，函数f（x）＝•﹣1，（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．
【分析】（1）写出f（x）解析式，根据正弦函数的周期及对称中心可得答案；
（2）条件等价于sin（x+）≥，解之即可
解：由题可得f（x）＝＝1+sin x+cos x﹣1＝sin（x+），
（1）由f（x）解析式可得其最小正周期T＝2π，
令x+＝kπ，则x＝kπ﹣，k∈Z，
即f（x）的对称中心为（kπ﹣，0），k∈Z；
（2）由f（x）≥1得sin（x+）≥，
解得2kπ+≤x+≤2kπ+π，k∈Z，
则2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，
所以x的取值范围为[2kπ，2kπ+]（k∈Z）．
选做题
21．已知向量＝（1，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）若f（x）≤2，求x的取值范围．
【分析】（1）根据平面向量数量积的运算得到f（x）解析式，结合正弦函数性质即可得到答案；
（2）由f（x）≤2得到sin（2x+）≤，解之即可
解：由题得f（x）＝＝1+sin2x+cos2x＝1+sin（2x+）
（1）则函数f（x）的最小正周期为T＝＝π，
令2x+＝kπ，解得x＝（k∈Z），即函数的对称中心为（，1）（k∈Z）；
（2）当f（x）≤2时，即1+sin（2x+）≤2，所以sin（2x+）≤，
则﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤kπ（k∈Z），
即x的取值范围是[﹣+kπ，kπ]（k∈Z）
（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）
22．已知数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．（1）证明：{}为等差数列；
（2）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．
【分析】（1）直接利用定义的应用求出结果．
（2）利用（1）的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．
【解答】证明：（1）数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．整理得：（常数），
所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．
解：（2）由（1）得：，
解得：a n＝n（n+2）．
所以．
所以：＝＝
选做题
23．已知数列{a n}满足a1＝5，a n+1＝2a n+2n+1﹣1（n∈N*），b n＝（n∈N*）．（1）是否存在实数λ，使得{b n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
（2）利用（1）的结论，求数列{a n}的前n项和S n．
【分析】（1）由a n+1＝2a n+2n+1﹣1，得，然后利用累加法求得数列{a n}的通项公式，再由等差数列的定义求使{b n}为等差数列的λ值；
（2）由（1）知，，令{（n+1）•2n}的前n项和为T n，利用错位相减法求得T n，进一步求得数列{a n}的前n项和S n．
解：由a n+1＝2a n+2n+1﹣1，得，
∴，得
，
，
，
…
（n≥2）．
累加得：＝＝．
∴（n≥2）．
a1＝5适合上式，
∴．
则b n＝＝．
＝．
若{b n}为等差数列，则λ﹣1＝0，即λ＝1．
故存在实数λ＝1，使得{b n}为等差数列；
（2）由（1）知，．
令{（n+1）•2n}的前n项和为T n，
则，
．
∴＝，得．
∴数列{a n}的前n项和S n＝n•2n+1+n．。