《线性代数》同济大学第四版课后答案

《线性代数》同济⼤学第四版课后答案
线性代数同济⼤学第四版课后答案习题⼀
习题⼀1-5 SslO
(3)
1 1 1 a
b c a2 b2 c2
^c^+cc^+ab^-ac^-bc^-cb2 -(a-b)(b-c)(c-a).
(4)
X v X+ V
解v x+ V X
■
:v+v * V
⼆MvH") i+i:论+i ')+(.r+v) VX-1'34-C T+I)3-.T3
2
解逆序数为4: 4h 43, 42. 32，
3
解逆序数为5: 3 2.3 L 42. 4 1,2 L
4
L利⽤对⾓线法则计算下列三阶⾏列式:
2 0 1
-18 3
(1) 1
(1)
1
+
■
X
V
X
1
c
V
-
+
V
T
1
⽅
沪
=3.n (.Y+>)-i^3- 3.T2
=-2(.?+V^
⼯按⾃然数从⼩到⼤为标准次序.求下列各排列的逆序数：
(1)1 23 4
(2)4 13 2
(3)34 2 1
(4)24 1 3
(5)1 3 …(2沪1) 2 4 …O);
(6)1 3 ?… (⼒—1) (2?z) (2n-2)…* ⼯
（1）
解逆序数为0
解逆序数为3: 2 1.4 1.4 3-
(5)
解逆序数为观驴：
32(1 个)
5 2,5 4(2 个)
7 2, 7 4. 7 6(3 个)
(”1)2, 011)4, (”1)6,…为(”1)(”2) (n-1 个)
(6)
解逆序数为乃(『Li):
32(1 个)
5 2,5 4(2 ^t) (2n-1)2, (2n-l)4, (”1)6,…、(2/L1)(2/L2)(n-l
个)
42(1 个)
6 2,6 4(2 个)
(5)2, (2M)4, (2n)6,…,(2n)(2n-2) (n-1个)
3.写出四阶⾏列式中含有因⼦GU723的项.
解含因⼦①畑的项的⼀般形式为
(-])%的冰X町
其中帀是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因⼦a^a23的项分别是
(-1 )衍1似23他刃44⼆(⼀1 )^11^32^44=-^!凶曲的轴(⼀1 )%1攸曲琢也⼫(T )%1⼝滋34偽⼫&1也刃曲42?
4. 计算下列各⾏列式:
4 12 4
(i
ho 5 2 0; 0 117
2 14 1 (2) ? ￥ ? i ；
⼀ ab ac ae
(3) bd ⼀ cd de cf -ef *
9
4 -1 10
9 9 10
— 1 2 -2
0 0 —2 =0-
[0 3 14 勺+扭3 P 17 14
3
+ 4
O 4
2021
Ci
0 0
0 —
1 0 0 -i
1 c o -1 d
-1230
411100
上
q
42 07 2021
12 5 1
41100
解
\1
7
0200
-
1-21
02 02 4 9-36
1720
23 15
119-9-
O
--
00-0 0 4 23 0
11-12 0
「-310
—1
2 3 O 4 1210
■
1-12 O
解
\1
-ab ac ae
-bee 解
bd -cd de =acif b -c e
if 灯-叮
b c -e
hl 1 1 / =adfbce 1-11 = Aabcdef |1 1 -1 (4)
l+c/b a 00+此2〔1+甸 a
0)(—严才打⼀冷5
5.证明:
cP ab b 1
(1) 2a c/+b 2b 1 1 1
=(?
-/>)3, 证明
a ob
b \
c 2-c A ⼔2 ab —R ⼣—⼚F
2r/ a+b 勿 2z? b-a 2b-2a 1 1 1 | GT 11 0 0 cix+bv av+bz ciz+bx v v z
c/y+bz az+bx ax+by-(q 3+b 3
)y ⼆ x az+bx ay+bv av+bz z A V
A --
!
A-
oo 1<7 o
1 c - 1
Ty ⼀
o d -l oo
0 1+ab ci
oo 1
〃
15 B-lo
Too
ad \+cd 0
n 计呼
豐严⽫cdTL
ab-ci 1 b-a l^-a 2 2b-2a
⼆@-a)(b-氓件 J(⼚Tp
证明
ax+bv av+bz az+bx civ+bz az+bx cix+bv
■
6C +bx ay+by ay+ bz
x ciy+bz ciz+bx y ciy+bz az+bx
=a v1az+bx ca+bv / ■<+b z az+bx ca+bv
⼆ax+by ay+bz x ax+by ay+bz .x ay+bz z v⼆ciz+bx y az+bx x■JV g+by
⼆crx+bv v V v av+ bz
ilr-'
x y z y z x
=a3y⼆x+b3⼆Y y
z x y\x v z
X V⼆,v V z
-d y ⼆Y +⼣V S X
ar ⼆X V ■■<
⼆H ⼆x
\z x v
a2(“+1)2 (c+2)2 (n+3￥
⑶b2 (〃+l『0+2)2(b+3Y
=0；c2 (c+1)2 (c+2)3 (c+3)2 d2 (H+l￥ (d+2)2 (〃+3⼙—1
—i
u CM
⼨
*
-+s
cP
-￡
cl J
1+
冷￡
r +K
rl E + w S +U ;+-
+g
I
+吕C(E+P)
令+⼷)N+m
"
(
E ) c (cl
+9) 泾⼗ q)
+0 N+q)
(R ￡
1
b
z)2i4
7/2
(5)
1
0 0 b(b-ci)
0 b 2(b 2-a 2) c 2(c 1 d-a d(d - a) )d 2(d 2-a 2) 1 1 =(b - a)(c - a)(d-a) b _ c b-a
1 c-a c(c ⼀ a)
2-a 7
-(b ⼀ ci)(c ⼀ ci)(ci ⼀ ct)
5
b 2(b^ra)
c 2(c-\-ci)
d 2{d-Va\ R 1 1 6 c-b d-b 0 c(c-b)(c+b^d) d(d-b)(d+b+a)
-(b - a)(c ⼀ c)(" - a)(c — Z?)(rf
- b)
1 1 咚+b+a) d(d+b+ci)
o
o ⼆X“~h(7 [T 丫+ * … ⼗亿科
证明⽤数学归纳法证明.
当⼼2时"2⼆诊⼗g+%命题成⽴?
假设对于（7L1）阶⾏列式命题成⽴.即⼑
刑_1=* ?+⼗岛_2⼯+
馮_”
则及按第⼀列展开更有
—1 0 ■…
0 2-1 OO
2⼆也门乜（-1严上卫⼆
1 1 …
⼆xQ 起⼀1+。

幷⼆+ci^~}+ - * * +a n-\\+a n - 因此.
对于拜阶⾏列式命题成⽴.
6.设"阶⾏列式庆det（m汎把D上下翻转、或逆时针旋转
证明因为所以
% 佝 =（-1严（-1严％
⼆(⼀ ])1+2+ 乜-2)+|>1) D ⼆—l)^- D .
同理可证
n(n-l) M (M -1)
2=(-1)丁％⼆(_1)F (-1)— ?(-1)如)D=/L
⼆计算下列各⾏列式（ZV 为店阶⾏列式）：
a 1
（1）2⼆■,其中对⾓线上元素都是仏未写出的元素1 a
都是0;
n(n-l) 2
如…
弘…
呛7-1)
M （M-1）⼆（⼀1⼚⼚ ZX =（—⼚
4…為 —(—I)”" pil
■ * ^nn
2⼆（⼀1）
o
o
n
*
o
O V
O
n
o
-
o
O
d
O
（按第拜⾏展开）
⼆（-1
严:
o
a
o
h
:
Z
o
o
:
o
o
o
f
■
b
*
*
+(-1)%
0 0 0 …c 0
⼆(-1)叫(-1( +/⼆⼧⼚
更_0⼼
-1)
解将第⼀⾏乘（-1）分别加到其余各⾏，得
D
丁
P
O
d
o
o
-
-
X
4
~
4
<
*
*
*
*
"
再将各列都加到第⼀列上，得
X - ￡7 0 …
0 x-a …-［卞⼗0⼚1
（XF）
Z*
0000 x-a
解根据第6题结果-有
1 1 (1)
n(w+l)a a-\ a-n 2/(T) 3■■ W■■■■■■nun rf1-1（抚-…(a- ri)^
ci'-0-期…(a-tiy1此⾏列式为范德蒙德⾏列式.
D曲⼆(T)T ⼝⾎-+1)-0-⼃+1)］
y>l
呦+1)
= (-l)~ ⼖［［-?-⼒］
n+!S#> ；>1
”t>l)H+(n-』)+-+l
⼆(T)F(T) 2 ?⼖［QT)
=H(D?
(H) -
于是
所以
b n
（按第1⾏展
开）
+ (-1)叫
4
⼀
1
0 再按最后⼀⾏展开得递推公式
Q固加-2-加务⼑钏⼀￡即⼑钏-（?乩-b丸C$ ■公2⼬如⼚如必
\ A
1 rf i
n
2⼆1 ［窗-如）.
（5）D=det（砒,其中醬M
!=
1
⼆嗣-加1,
1 2 3 … n-Y
0 1 r (2)
D H = det(^)
=
1 … 0 … 7Z-3 卑⼀4
* * * * * *
n-l n-2
III
n-3
￥￥￥ 9 9 9
n-4 (III)
Lb -1
1 1 1 -1
-1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 !? W W
77-1 * *. * + + + +
+ +
1 1 1 1
+
C 2+C
l -1 ⼀
1 -1 ⼀1
ff-1
022
2
O O -2
-2
2
o o o -
0 0 0 0
/7-1
l+a 1 (1)
&⽤克莱姆法则解下列⽅程组:
“⼗ A
2 + A
3 +?习=5 (打v 遐+2屯⼀屯+4芯⼆_2 * 3円+x 2 + 2勺⼗ 1 Lq ⼆ 0
q
-a 2 0 0
0 1 0 a 包 0
0 1
0 0
⼀务⼇1 1
J 1 0 0 0 0
% 1⼗务
1 0 0 …0 0 环'
-1 1 0 …0 0
A 〔
） -1 1 …0 0
0 0 0 —1 1 駅1
0 0 0 …0 -1 1+切
1 0 0 …0 0
-1 1 0 …0 0
* fl
1) -1 1 …0 0
0 0 0 ——1 1
〔
）
0 0 …0 0 】+￡⽍ …1+亿
⼆
昭… ⼆q
隔…
勺⼀匂
1+^ 1 … 1 1 1+他… 1 ? H ?
事
1 1 乂4=—2
⼆他他…镐）（1+
5哥⼗ 6/V? =1 “+5E + 6屯⼆ 0 (2) < +5 屯+6卞⽃⼆ 0 ”屯+5兀+ 6占⼆0
. ⼗5也=1
解因为
T
-1
2
A
2
⾢12
3 -
A
⼀⼀
1-1-1
2
42
所以
510 0 0 65100
亦⑴ _1507 _ 1145 _703 _ —395 _212
所以习—⾎■'死―⼀⽽'旳—⽽'如—后⼨，^-665'
［⼩1+.*+.“ ⼆ 0 9*问⼊“取何值时.齐次线性⽅程
组⽿+空+七⼆0有⾮
|.* + ⼆仪+.仏⼆
0 零解？
= E
解系数⾏列式为
|A 1 1 D- 1 // 1 ⼆“⼀ “⼏. 1 2“ 1 令40,得⽜0或⽸1?
于是，当严0或bl 时该齐次线性⽅程组有⾮零解.
| （1 ⼀ A ）.\ - 2* + 4.^ = 0
10-问Z 取何值时，齐次线性⽅程组2半+（3-刃⼬召=0 托+ E 卡（1 —久）卞3 = 0 有⾮零解？
5 6 6 --
006
5
%?
1
o o o --
A
0006
5
0065 1
06510
65 1= -395, 0
6 5
■ -I
11 06 510
65 10 0 510 0 0 =703, D A — 00 6 5
0065 1 -65 10 0■ l o g o
--
A
I X
0 06
51
0 6
510
6 51
0 ⽓?1 o
解系数⾏列式为1-/1 -?
— 4 4-2 -3+2 4 D= 7 3—1
1 0 I —
A =(1—2『+仏—3) - 4(1-2)—2(1
—2)(—3—易⼆(1—咼⼸+2(1—2)'+⼏—3.
令D=d 得 /U2 或 2=3.
于是，当⽸0, &2或⽸3时，该齐次线性⽅程组有⾮零解.习题⼆
b 已知线性变换：卞i =
⼆H + 2＞》+出⽞⼆ 3 ⽃ +T
J +5— *
z ?1 ?』 ?
J 求从变量-Yl ，g 2到变量
.VI. .5
门的线性变换? 解由已知:
V 】⼆_7西_4花+9七
｛站⼆6.*+3花—7七.
必=3.壬+ 2勺_4七
(° 5 8) /1 1 1)(
-_9 12
=3 0—5 6_2 1 1 -1 ⼆--2 -17 20
9 0J \1 j 1⼃14 29 -? 2⼃
(11(1 2 3、(0 58)
知= 1 1-1 -1 -2 40-5 6?
11-1 ［
⼃1°5 1 ⼃ b 9 oj
丄计算下列乘积:
<4 3 1丫7) (1)1—232
O3
1>
2
*
2
1
2
5
7
2
5
O
31O
1
1
3
1
±
O
—
1
-
⽃—⼀6⼆］+⼆2 + 3⼆3 所以有怙=1乃1-4习+9巧?屯=—10 ⼆］⼀ 6
+16 ⼆了
解
a
348 —24⼆3
1
Y 1 2 3)(11 1)
-1 -2 4_2 1 1 -1
⼃1°5J -1 1 ⼃
1。