广义Petersen图的最小点覆盖集

广义Petersen图的最小点覆盖集
郑文萍;郭炳;杨贵
【摘要】点覆盖问题是一个著名的NP完全问题.本文对广义Petersen图P(n,2)
的精确最小点覆盖数进行研究,讨论并证明了广义Petersen图P(n,2)的最小点覆盖数,给出了最小点覆盖集的构造方法.
【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2014(028)001
【总页数】6页(P1-6)
【关键词】最小点覆盖集;点覆盖数;广义Petersen图
【作者】郑文萍;郭炳;杨贵
【作者单位】山西大学计算机与信息技术学院山西太原030006;山西大学智能信
息处理研究所山西太原030006;山西大学计算机与信息技术学院山西太原030006;山西大学智能信息处理研究所山西太原030006;山西大学计算机与信息
技术学院山西太原030006;山西大学智能信息处理研究所山西太原030006
【正文语种】中文
【中图分类】TP301
点覆盖问题是最早几个NP完全问题之一[1]，是参数化算法中的核心问题[2，3]，在实际中有大量的现实应用，尤其是在生物学、计算科学和运筹学领域[4，5].另外，在定量特征分析[6]、微阵列数据分析[7]方面也有重要作用.
对无向图G=(V,E)，顶点集为V，边集为E，如果存在一个集合C ( C⊆V ) 和一个正整数k，使得|C|≤k并且E中的每一条边至少有一个端点属于C，则称集合C为图G的一个点覆盖集[8～10].元素个数最小的点覆盖集称为G的最小点覆盖集，
其元素个数称为最小点覆盖数，记作τ(G).
本文对广义Petersen图P(n,2)的点覆盖数问题进行研究，并得到以下结论：
1 预备知识
在图的基本知识基础上，本文约定：对于图G=(V,E)，v∈V，记G-v为图G删除
顶点v以及与v关联的所有边后剩余的点和边组成的图，N[v]表示顶点v的邻域，δv表示顶点v的度，G[X]表示由图G的点集或边集X生成的子图.本文仅讨论简
单图.
广义Petersen图P(n,k)[11]：对正整数n和k (2≤2k<n)，顶点集
V(P(n,k))={a0,a1,…,an-1,b0,b1,…,bn-1}
边集E(P(n,k))由外部边集Ω，弦边集Ψ和内部边集I组成，其中Ω、Ψ、I定义如下：
Ω={aiai+1|0≤i≤n-1}Ψ={aibi|0≤i≤n-1}I={bibi+k|0≤i≤n-1}
(除非特别指明，本文所有顶点下标均对n取模).
为方便，由Ω生成的n-圈称作外圈；由I生成的d个(n/d)-圈称作内圈，d为n
和k的最大公约数.
根据最小点覆盖集的定义，可以得到以下引理.
引理1 令Pn=(v0v1…vn-1)表示含有n个顶点的路径，则τ(Pn)=⎣n/2」.且当n
为奇数时，Pn的任意最小点覆盖集中不存在相邻顶点.
证明容易验证，顶点集合{v2j+1|0≤j≤⎣n/2」-1}是Pn的一个点覆盖集，因而最小点覆盖数τ(Pn)≤⎣n/2」；另一方面，观察到Pn上有⎣n/2」对两两互不相邻
的边{v0v1,v2v3,…,v2⎣n/2」-2,v2⎣n/2」-1}，故在其点覆盖集中至少包含
⎣n/2」个点，即τ(Pn)≥⎣n/2」.
因此可得，τ(Pn)=⎣n/2」.
设S为Pn的任意最小点覆盖集，即|S|=⎣n/2」.路径Pn中，每个顶点的度都不
大于2.假设n为奇数，若S中存在相邻顶点，则S中的⎣n/2」个顶点至多覆盖
2⎣n/2」-1=n-2条边,与S是点覆盖集矛盾.
故，当n为奇数时，Pn的任意最小点覆盖集中不存在相邻顶点.
引理2 令Cn=(v0v1…vn-1v0)表示一个含有n个点的圈，则τ(Cn)=「n/2⎣.且：(1)当n为偶数时，Cn的任意最小点覆盖集中不存在相邻顶点；(2)当n为奇数时，Cn的任意最小点覆盖集中有且仅有一对相邻顶点.
证明 Cn上有⎣n/2」对两两互不相邻的边{v0v1,v2v3,…,v2⎣n/2」-2,v2⎣n/2」-1}，故在其点覆盖集中至少包含⎣n/2」个点，即τ(Cn)≥⎣n/2」.
情形1 假设n为偶数，则有τ(Cn)≥n/2=「n/2⎣.
容易验证，{v2j|0≤j<n/2}是Cn的一个点覆盖集，所以有τ(Cn)≤n/2.因此，对偶
数n,有τ(C n)=「n/2⎣.
设S是Cn的任一最小点覆盖集，那么S中的n/2个点必须覆盖Cn的n条边.而Cn中每个顶点的度均为2，因此Cn中的每条边关联且仅关联S的一个顶点，即
S中不存在相邻顶点.
情形2 假设n为奇数，考虑到Cn中每个顶点的度均为2，任意顶点覆盖集中至少应有(n+1)/2个顶点才能确保覆盖Cn的所有n条边，即τ(Cn)≥「n/2⎣.容易验
证{v2j|0≤j≤(n-1)/2}是Cn的一个点覆盖集，故有τ(Cn)≤「n/2⎣.因此，当n为
奇数时，τ(Cn)=「n/2⎣.
设S是Cn的任一最小点覆盖集，则S=「n/2⎣=(n+1)/2.
若S中不存在相邻顶点，则S会覆盖n+1条不同的边，而Cn中仅有n条边，因
此，S中至少存在一对相邻顶点.若S中至少存在两对相邻的点，那么「n/2⎣个顶点至多可覆盖n-1条边，与S是点覆盖集的定义矛盾.因此，对奇数n，任意最小点覆盖集中有且仅有一对相邻顶点.
综合情形1和情形2，引理得证.
对于非负整数t(0<t≤n)和i(0≤i<n)，记Ft(i)为广义Petersen图P(n,k)中t个顶点对构成的集合：
Ft(i)={aj,bj|j=i+j0,j0∈Z且0≤j0≤t-1}
称之为t元组.
2 P(n,2)的最小覆盖集
对0≤i<n，考虑5元组
F5(i)={aj,bj|j=i+j0,j0∈Z,0≤j0≤4}
有以下引理成立.
引理3 设S是P(n,2)的任意点覆盖集，P(n,2)的任意五元组F5(i)中至少有6个顶点在S中.即对0≤i<n，|S∩F5(i)|≥6.
证明反证法.假设存在P(n,2)的一个点覆盖集S，在S中存在一个5元组
F5(i0)(0≤i0<n)使得|S∩F5(i0)|≤5.
考虑F5(i0)在P(n,2)中的导出子图G[F5(i0)]，要使S覆盖其中5条顶点不相交的弦{ajbj|j=i0+j0,j0∈Z,0≤j0≤4}，必有|S∩F5(i0)|≥5.故有|S∩F5(i0)|=5.
记A5(i0)={ai0+j|0≤j<5}和B5(i0)={bi0+j|0≤j<5}分别为F5(i0)在外圈Ω和内圈I 的顶点子集.因为G[A5(i0)]≌P5，由引理1，|S∩A5(i0)|≥2.又子图G[B5(i0)]中存在两条顶点互不相交的边({bi0bi0+2,bi0+1bi0+3}或{bi0+1bi0+3,bi0+2bi0+4})，因此|S∩B5(i0)|≥2.进而由|S∩F5(i0)|=5，可得
|S∩A5(i0)|=2或|S∩A5(i0)|=3
对此分两种情形讨论.
情形1 如果|S∩A5(i0)|=2，由引理1可得，S∩A5(i0={ai0+1,ai0+3}.要使S覆盖
G[F5(i0)]的5条弦，必有|S∩B5(i0)|=3且S∩B5(i0)={bi0,bi0+2,bi0+4}.但此时边bi0+1,bi0+3仍未被覆盖(图1)，矛盾，故|S∩A5(i0)|≠2.
Fig.1 |S∩F5(i0)|=5and |S∩A5(i0)|=2
情形2 如果|S∩A5(i0)|=3，那么|S∩B5(i0)|=2.要覆盖顶点不相交的路径
bi0bi0+2bi0+4和bi0+1bi0+3，必有bi0+2∈S、bi0∉S且bi0+4∉S，同时
bi0+1∈S或bi0+3∈S.
不失一般性，假设S∩B5(i0)={bi0+2,bi0+3}，要使S覆盖G[F5(i0)]的5条弦，
必有S∩A5(i0)={ai0,ai0+1,ai0+4}.但此时边ai0+2ai0+3仍未被覆盖(图2)，矛盾，故|S∩A5(i0)|≠3.
Fig.2 |S∩F5(i0)|=5and |S∩A5(i0)|=3
综合情形1与情形2，假设有误，命题得证.
引理4 对n>5，设S是P(n,2)的任意点覆盖集，则必存在一条弦aibi(0≤i≤n-1)，其两个端点都在S中.即对n>5，必存在一个一元组F1(i)使得|S∩F1(i)|=2.
证明用反证法.假设不存在一元组F1(i)，使得{ai,bi}⊆S，则必有|S|≤n.而要覆盖
P(n,2)的n条弦，又必有|S|≥n.因此，|S|=n.
根据n的奇偶性分情形讨论：
情形1 当n为奇数时，外部边集Ω和内部边集I都分别构成一个包含n个顶点的圈，由引理2得，|S∩V([Ω])|≥「n/2⎣和|S∩V([I])|≥「n/2⎣，所以有
|S|=|S∩V([Ω])|+|S∩V([I])|≥2「n/2⎣=n+1
与|S|=n相矛盾，即对奇数n假设不成立.
情形2 当n为偶数时，外部边集Ω构成一个n-顶点的圈，而内部边集I则由两个
(n/2)顶点的圈组成，令m=n/2.由引理2可得，|S∩V([Ω])|≥m和|S∩V([I])|≥2「m/2⎣.
如果m是奇数
|S| =|S∩V([Ω])|+|S∩V([I])|
≥m+2×(m+1)/2=n+1
与|S|=n相矛盾.
如果m是偶数，因为有|S|=n，所以可以得出|S∩V([Ω])|=n/2和|S∩V([I])|=n/2.由引理2，S∩V([Ω])是导出子图G[Ω]的最小点覆盖集,且S∩V([Ω])中不存在相邻顶点，因此必有
S∩V([Ω])={ai|i=0,2,4,…,n-2}
或
S∩V([Ω])={ai|i=1,3,5,…,n-1}
若S∩V([Ω])={ai|i=0,2,4,…,n-2}，则
S∩V([I])={bi|i=1,3,5,…,n-1}
此时，边b0b2仍未被覆盖，矛盾.若S∩V([Ω])={ai|i=1,3,5,…,n-1}，则
S∩V([I])={bi|i=0,2,4,…,n-2}，此时，边b1b3仍未被覆盖，矛盾.
综合情形1与情形2，假设有误，命题得证.
引理5 设S是P(n,2)的任意点覆盖集，则必存在t(0<t≤n)元组Ft(i)，满足
|S∩Ft(i)|≥t+1(0≤i≤n-1)
证明由引理4，必存在一个一元组F1(i0)(0≤i0<n)满足|S∩F1(i0)|≥2，即
{ai0,bi0}⊆S.要使S覆盖Ft(i0)的弦{ai0+jbi0+j|1≤j<t}，至少还需Ft(i0)的t-1个端点在S中，故有
|S∩Ft(i0)|=|S∩F1(i0)|+t-1≥t+1
证毕.
定理
证明设n=5m+t，m=⎣n/5」，t=n-5⎣n/5」.对0≤j<m，令
(1)
则有
由引理3，当0≤j≤m-1有|S∩Vj|≥6.因此有
⎣n/5」
(2)
对t=0, 根据公式(1)和公式(2),可得
⎣n/5」
(3)
对t≠0，由引理5，存在一个i(0≤i≤n-1),使得t元组Ft(i)满足|S∩Ft(i)|≥t+1，不失一般性，可令i=5m.因此，对t≠0有
⎣n/5」+t+1
(4)
由公式(3)～(4)，可得
证毕.
定理
证明令n=5m+t，m=⎣n/5」，t=n-5⎣n/5」.
对0≤j<m，令顶点集
Sj={a5j,b5j,b5j+1,a5j+2,a5j+3,b5j+4}
对j=m，令顶点集
令容易验证S是P(n,2)的一个点覆盖集且
因此，τ(P(n,2))≤|S|.又由定理1有，τ(P(n,2))≥|S|.进而得τ(P(n,2))=|S|.定理得证.
图3～图7给出了P(n,2)(10≤n≤14)的一种最小点覆盖集.
Fig.3 τ(P(10,2))=12
Fig.4 τ(P(11,2))=14
Fi g.5 τ(P(12,2))=15
Fig.6 τ(P(13,2))=16
Fig.7 τ(P(14,2))=17
3 结语
本文对广义Petersen图P(n,2)的最小点覆盖问题进行研究，并得到其最小点覆盖数为
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