【水印已去除】2019年广西桂林市、崇左市高考数学二模试卷(理科)

2019年广西桂林市、崇左市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合N＝{x|x2﹣x﹣2≤1}，M＝{﹣2，0，1}，则M∩N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．{﹣2，0，1}D．{0，1}
2．（5分）设z＝，则|z|＝（）
A．B．2C．1+i D．1﹣i
3．（5分）在数列{a n}中，a3＝5，a n+1﹣a n﹣2＝0（n∈N+），若S n＝25，则n＝（）A．3B．4C．5D．6
4．（5分）在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（0＜ξ＜2）＝（）
A．0.4B．0.8C．0.6D．0.2
5．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，18，则输出的a的值为（）
A．1B．2C．3D．6
6．（5分）已知a，b∈R，则“”是“a＜b”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5分）若函数f（x）＝x2ln2x，则f（x）在点（）处的切线方程为（）A．y＝0B．2x﹣4y﹣1＝0C．2x+4y﹣1＝0D．2x﹣8y﹣1＝0 8．（5分）已知sin（）＝2cos（），则sin2θ＝（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上单调递增．若实数m满足f（log3|m﹣1|）+f（﹣1）＜0，则m的取值范围是（）
A．（﹣2，1）∪（1，4）B．（﹣2，1）
C．（﹣2，4）D．（1，4）
10．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c cos B+b cos C＝，且b2+c2﹣a2＝bc，则＝（）
A．B．C．2D．
11．（5分）过双曲线x2﹣的右支上一点P分别向圆C1：（x+2）2+y2＝4和圆C2：（x
﹣2）2+y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）
A．5B．4C．3D．2
12．（5分）安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）
A．90种B．150种C．180种D．300种
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知向量＝（1，5），＝（2，﹣1），＝（m，3），若⊥（），则m＝．14．（5分）若x，y满足，则的最大值为．
15．（5分）以抛物线C：y2＝2px（p＞0）的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准
线于D，E两点．已知|AB|＝2，|DE|＝2，则p等于．
16．（5分）在大小为75°的二面角α﹣l﹣β内有一点M到两个半平面的距离分别为1和，则点M到棱l的距离等于．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17．已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2a n+1，（n∈N*）．
（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；
（2）求数列{a n}的前n项和．
18．某汽车公司为调查4S店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的A，B，C，D四座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如表：
（1）根据统计的数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；
（2）现要从A，B，D三座城市的10个4S店中选取3个做深入调查，求B城市中被选中的4S店个数X的分布列和期望．
附：回归方程＝中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
＝，＝﹣
19．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC＝，SA⊥底面ABCD，E是SC 上的任意一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA＝AB＝2，是否存在点E使平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°？
如果存在，求出点E的位置，如果不存在，请说明理由．
20．椭圆M：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，过点A（﹣a，0）和B（0，b）的直线与原点间的距离为．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点E（1，0）的直线l与椭圆M交于C、D两点，且点D位于第一象限，当＝3时，求直线l的方程．
21．设函数f（x）＝e x﹣（a﹣1）x2﹣x．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）已知函数f（x）在（0，+∞）上有极值，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）过点P（1，2）倾斜角为135°的直线l与曲线C交于M、N两点，求PM2+PN2的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+2x，其中a＞0．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．
2019年广西桂林市、崇左市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：集合N＝{x|x2﹣x﹣2≤1}＝{x|≤x≤}，
M＝{﹣2，0，1}，
∴M∩N＝{0，1}．
故选：D．
2．【解答】解：根据题意，z＝＝＝（﹣10+10i）＝﹣1+i，
则|Z|＝，
故选：A．
3．【解答】解：数列{a n}中，a3＝5，
由于：a n+1﹣a n﹣2＝0（n∈N+），
故：a n+1﹣a n＝2（常数），
所以：数列{a n}为等差数列，
故：a n＝5+2（n﹣3）＝2n﹣1，
所以：，
解得：n＝5．
故选：C．
4．【解答】解：随机变量X服从正态分布N（1，σ2），
∴曲线关于x＝1对称，
∵P（0＜ξ＜1）＝0.4，
∴P（1≤ξ＜2）＝0.4，
∴P（0＜ξ＜2）＝P（0＜ξ＜1）+P（1≤ξ＜2）＝0.4+0.4＝0.8，
故选：B．
5．【解答】解：根据程序框图：
a＝12，b＝18，
由于：a≠b，
所以：b＝b﹣a＝6，
由于a＝12，b＝6，
所以：a＝6，
由于a＝b，
所以输出a＝6．
故选：D．
6．【解答】解：当a＝﹣1，b＝1时，满足a＜b，但＞不成立．当a＝1，b＝﹣1时，满足＞，但a＜b不成立．
“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
7．【解答】解：函数f（x）＝x2ln2x的导数为f′（x）＝2xln2x+x2•＝2xln2x+x，可得f（x）在（）处的切线的斜率为k＝，
可得切线方程为y＝（x﹣），
即为2x﹣4y﹣1＝0．
故选：B．
8．【解答】解：由sin（）＝2cos（），
得tan（）＝2，即，
∴，则tan．
∴sin2θ＝．
故选：C．
9．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上单调递增．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．
∵f（log3|m﹣1|）+f（﹣1）＜0，
∴f（log3|m﹣1|）＜﹣f（﹣1）＝f（1），
∴log3|m﹣1|＜1，
∴0＜|m﹣1|＜3，
解可得﹣2＜m＜4且m≠1
故选：A．
10．【解答】解：根据题意，在△ABC中，c cos B+b cos C＝，
则有c×+b×＝a＝，
b2+c2﹣a2＝bc，则cos A＝＝，则sin A＝，
则＝＝2；
故选：C．
11．【解答】解：设P（x，y），由切线长定理可知|PM|2＝|PC1|2﹣|C1M|2＝（x+2）2+y2﹣4，|PN|2＝|PC2|2﹣|C2N|2＝（x﹣2）2+y2﹣1，
∴|PM|2﹣|PN|2＝（x+2）2﹣（x﹣2）2﹣3＝8x﹣3．
∵P在双曲线右支上，故x≥1，
∴当x＝1时，|PM|2﹣|PN|2取得最小值5．
故选：A．
12．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①、将5项工作分成3组，
若分成1、1、3的三组，有＝10种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有＝15种分组方法，
则将5项工作分成3组，有10+15＝25种分组方法；
②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A33＝6种情况，
则有25×6＝150种不同的分组方法；
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．【解答】解：∵＝（1，5），＝（2，﹣1），＝（m，3），
∴＝（1+m，8），
∵⊥（），
∵2（1+m）﹣8＝0，
∴m＝3，
故答案为：3．
14．【解答】解：满足约束条件的可行域：
如下图所示：
又∵的表示的是可行域内一点与原点连线的斜率
当x＝1，y＝5时，有最大值5．
给答案为：5．
15．【解答】解：由对称性可知y A＝±，代入抛物线方程可得x A＝＝，设圆的半径为R，则R2＝+6，又R2＝10+，
∴+6＝10+，解得p＝．
故答案为：．
16．【解答】解：如图所示，
经过点M，作ME⊥β，MF⊥α，垂足分别为E，F．
则ME⊥l，MF⊥l．
设平面MEF与棱l交于点O，则l⊥平面MEOF．
∴l⊥MO．
设OM＝x，∠EOM＝θ1，∠MOF＝θ2．
则θ1+θ2＝，sinθ1＝，sinθ2＝．
cosθ1＝，cosθ2＝．
∴＝sin＝sin（θ1+θ2）＝×+×，
解得x＝2．
故答案为：2．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17．【解答】解：（1）∵a n+1＝2a n+1，（n∈N*），
∴a n+1+1＝2（a n+1），
∴＝2，
∴数列{a n+1}是以2为公比的等比数列，
（2）由（1）知，数列{a n+1}是等比数列，且q＝2，首项为a1+1＝2，
∴a n+1＝2•2n﹣1＝2n，
∴a n＝2n﹣1，
∴数列{a n}的前n项和s n＝（2+22+…+2n）﹣n＝﹣n＝2n+1﹣n﹣2．18．【解答】解：（1），，
＝＝2.9，
．
∴回归直线方程为；
（2）X的可能取值为：0，1，2，3．
P（X＝0）＝；P（X＝1）＝；
P（X＝2）＝；P（X＝3）＝．
X的分布列为
∴X的期望为E（X）＝0×．
19．【解答】证明：（1）∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
∵AC∩AS＝A，∴BD⊥平面SAC．
∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC．
解：（2）设AC与BD的交点为O，以OC、OD所在直线分别为x、y轴，
以过O垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系（如图），
则A（﹣1，0，0），C（1，0，0），S（﹣1，0，2），B（0，﹣，0），D（0，，0）．设E（x，0，z），则＝（x+1，0，z﹣2），＝（1﹣x，0，﹣z），
设＝，∴，∴E（，0，），
∴＝（，﹣，）．＝（0，，0），
设平面BDE的法向量＝（x，y，z），
∵．解得＝（2，0，1﹣λ）为平面BDE的一个法向量．
同理可得平面SAD的一个法向量为＝（），
∵平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°，
∴cos30°＝＝＝，解得λ＝1．
∴E为SC的中点．
20．【解答】解（1）据题知，直线AB的方程为bx﹣ay+ab＝0．
依题意得．
解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆M的方程为+y2＝1．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），（x2＞0，y2＞0，），
设直线l的方程为x＝my+1（m∈R）．
代入椭圆方程整理得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0．△＝8m2+8＞0
∴y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣．①
由＝3，依题意可得：y1＝﹣3y2，②
结合①②得，消去y2解得m＝1，m＝﹣1（不合题意）．
所以直线l的方程为y＝x﹣1．
21．【解答】解：（1）f'（x）＝e x﹣2（a﹣1）x﹣1．当a＝1时f'（x）＝e x﹣1．由f'（x）≥0有e x﹣1≥0，解得x≥0；f'（x）≤0，∴x≤0．
∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0]上单调递减．
（2）设g（x）＝f'（x）＝e x﹣2（a﹣1）x﹣1，则g'（x）＝e x﹣2（a﹣1），
∵函数f（x）在（0，+∞）上有极值点，∴函数g（x）在（0，+∞）上有零点．
①当时，x＞0，∴e x＞1，∴g'（x）＝e x﹣2（a﹣1）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵g（0）＝0，∴当x＞0时g（x）＞g（0）＝0恒成立，
即函数g（x）在（0，+∞）上没有零点．
②当时，2（a﹣1）＞1，ln2（a﹣1）＞0，
g'（x）＝e x﹣2（a﹣1）＞0时，x＞ln2（a﹣1），g'（x）＝e x﹣2（a﹣1）＜0时，x＜ln2（a﹣1），
∴g（x）在（0，ln2（a﹣1））上单调递减，在[ln2（a﹣1），+∞）上单调递增
∵g（0）＝0，且g（x）在（0，ln2（a﹣1））上单调递减，∴g（ln2（a﹣1））＜0．
对于a＞0，当x→+∞时，g（x）→+∞，
∴存在x0∈[ln2（a﹣1），+∞）使g（x0）＞0．
∴函数g（x）在（ln2（a﹣1），+∞）上有零点．
∴函数f（x）在（0，+∞）上有极值点时，实数a的取值范围是（，+∞）．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．【解答】解（1）依题意，曲线C的普通方程为x2+（y﹣2）2＝4，
即x2+y2﹣4y＝0，故x2+y2＝4y，故ρ＝4sinθ，
故所求极坐标方程为ρ＝4sinθ；
（2）设直线l的参数方程为（t为参数），
将此参数方程代入x2+y2﹣4y＝0中，
化简可得t2﹣t﹣3＝0，
显然△＞0．设M，N所对应的参数分别为t1，t2，则．
∴PM2+PN2＝t12+t22＝（t1+t2）2﹣2t1t2＝8．
[选修4-5：不等式选讲]
23．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝．
当x≥1时，由f（x）≥2可得3x﹣1≥2，解得x≥1；
当x＜1时，由f（x）≥2可得x+1≥2，解得x≥1；不成立；
综上所述，当a＝1时，不等式f（x）≥2的解集为[1，+∞）．
（2）记h（x）＝|f（2x+a）﹣2f（x）|＝2||x|﹣|x﹣a|+a|＝．
∴|f（2x+a）﹣2f（x）|max＝4a．
依题意得4a≤2，
∴a≤．
所以实数a的取值范围为（0，]．。