一元二次压轴题(含答案详解)

2016 年09 月04 日wujun 的初中数学组卷（一）
一．解答题（共10 小题）
1．（2016?濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是
Rt△ ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x 的形如的一
元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若x=﹣1 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ ABC面积．
2．（2015?黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ ABC的三边a、b、c 满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣
8b=0．
求：（1）m的值；（2）△ ABC的面积．
3．（2014?江西模拟）等腰△ ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ
与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t ，△ PCQ的面积为S．
（1）求出S 关于t 的函数关系式；
（2）当点P 运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？
（3）作PE⊥ AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
4．（2013?成都模拟）已知关于x 的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）m取何值时，方程有两个正实数根；
（2）当矩形的对角线长为时，求m的值．
5．（2012?湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式x2﹣4>0
2
解：∵ x2﹣4=（x+2）（x﹣2）
2
∴x2﹣4>0 可化为
（x+2）（x﹣2）> 0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
解不等式组① ，得x> 2，
解不等式组② ，得x<﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）> 0的解集为x>2 或x<﹣2，即一元二次不等式x2﹣4>0 的解集为x>2或x<﹣2．
（1）一元二次不等式x2﹣16>0 的解集为；
（2）分式不等式的解集为；
（3）解一元二次不等式2x2﹣3x<0．
6．（2012?重庆模拟）已知：如图，在△ ABC中，∠ B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点 A 开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以
2cm/s 的速度移动．
2
（1）如果P，Q分别从A，B 同时出发，那么几秒后，△ PBQ的面积等于6cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B 同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
2
（3）在（1）中，△ PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
7．（2009?淄博）如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点
2
时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠ 0），则AP=2xcm，CM=3xcm，
DN=x2cm．
（1）当x 为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（2）当x 为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．
8．（2009?南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180 米，
上下底相距80 米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．
（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；
（2）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的
宽度成正比例关系，比例系数是 5.7 ，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用为239 万元？
2 9．（2016?荆州）已知在关于x的分式方程① 和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3
﹣k）n=0② 中，k、m、n 均为实数，方程① 的根为非负数．
（1）求k 的取值范围；
（2）当方程② 有两个整数根x1、x2，k 为整数，且k=m+2，n=1 时，求方程② 的整数根；（3）当方程② 有两个实数根x 1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k 为负整数时，试判断|m| ≤2 是否成立？请说明理由．
10．（2014?杭州模拟）阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成x 的一元二次方程，得．
∵x 为实数，∴△= =﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y 的最大值为4．
根据材料给你的启示，求函数的最小值．
2016年09 月04日wujun 的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共10 小题）
1．（2016?濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是Rt△ ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x 的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若x=﹣1 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形ACDE的周长是
6 ，求△ ABC面积．
【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得 c 的值，根据完全平方公式求得ab 的值，从而可求得面积．
【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5 时
勾系一元二次方程为3x2+5 x+4=0；
（2）证明：根据题意，得
△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab
2 2 2
∵ a +b =c
2 2 2 2 ∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0 即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1 时，有a﹣c+b=0，即a+b= c
∵2a+2b+ c=6 ，即2（a+b）+ c=6
∴ 3 c=6
∴c=2
∴ a +b =c =4，a+b=2
222
∵（a+b）2=a2+b2+2ab
∴ab=2
∴S△ABC= ab=1 ．
△
【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．
22 2．（2015?黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0 有两个正
整数根（m是正整数）．△ ABC的三边a、b、c 满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣
8b=0．
求：（1）m的值；（2）△ ABC的面积．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的定义；一元二次方程的解；解一元二次方程- 因
式分解法；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】应用题；压轴题；分类讨论；方程思想．
【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0 的两个根，然后根据这两
个根都是正整数求出m的值．
（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b 的值，进而得出三角形的面积．
22
【解答】解：（1）∵关于x 的方程（m﹣1）x ﹣3（3m﹣1）x+18=0 有两个正整数根（m 是整数）．
2 ∵a=m﹣1，b=﹣9m+3，c=18，
2 2 2 2 ∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2 是此方程的两个根，
∴x1?x2= = ，
∴ 也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，
又m 为正整数，
∴m=2；
（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0
当a=b 时，
2
当a≠b 时，a、b 是方程x2﹣4x+2=0 的两根，而△> 0，由韦达定理得a+b=4> 0，ab=2> 0，则a> 0、b>0．
①a≠ b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2
故△ ABC为直角三角形，且∠ C=90° ，S△ABC= ．
②a=b=2﹣，c=2 时，因 < ，故不能构成三角形，不合题意，舍去．
③a=b=2+ ，c=2 时，因 > ，故能构成三角形．
S△ ABC= ×（ 2 ）× =
综上，△ ABC的面积为 1 或．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a， b 的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．
3．（2014?江西模拟）等腰△ ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ
与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t ，△ PCQ的面积为S．
（1）求出S 关于t 的函数关系式；
（2）当点P 运动几秒时，S△ PCQ=S△ABC？
（3）作PE⊥ AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
【考点】一元二次方程的应用；全等三角形的应用．
【专题】几何动点问题；压轴题．
【分析】由题可以看出P 沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S= QC×
PB，所以求出QC、PB与t 的关系式就可得出S与t 的关系，另外应注意P 点的运动轨迹，它不仅在 B 点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．
【解答】解：（1）当t < 10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t
∴
当t >10 秒时，P 在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10
∴（4 分）
（2）∵ S△ABC= （5 分）
∴当t < 10 秒时，S△PCQ=
整理得t 2﹣10t+100=0 无解（ 6 分）
当t>10 秒时，S△PCQ=
整理得t 2﹣10t﹣100=0 解得t=5±5 （舍去负值）（7分）
∴当点P 运动秒时，S△PCQ=S△ABC（8 分）
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥ AC，交直线AC于点M
易证△ APE≌△ QCM，
∴AE=PE=CM=QM= t ，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵ EM=AC=10 ∴ DE=5
∴当点P、Q 运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P 在点B右侧时，DE=5 综上所述，当点P、Q 运动时，线段DE的长度不会改变．
【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．
4．（2013?成都模拟）已知关于x 的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）m取何值时，方程有两个正实数根；
（2）当矩形的对角线长为时，求m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；勾股定理；矩形的性质．
【专题】计算题；压轴题．
22 【分析】（1）设矩形两邻边的长为a，b，根据△的意义得到△≥0，即（m+1）2﹣4
（m2+1）
≥0，解得m≥，而a、 b 都是正数，利用一元二次方程根与系数的关系有a+b=m+1> 0，2
ab= m2+1> 0，可解得m>﹣1，综合可得到m的取值范围；
（2）根据矩形的性质和勾股定理得到a2+b2=（）2，变形有（a+b）2﹣2ab=5，把
a+b=m+1，
ab= m2+1 代入得（m+1）2﹣2（m2+1）=5，整理得到m2+4m﹣12=0，解方程得到m1=2，m2=
﹣6，然后即可得到符合条件的m的值．
【解答】解：（1）设矩形两邻边的长为a，b，
∵关于x 的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长，
∴△≥0，即（m+1）2﹣4（m2+1）≥0，解得m≥，
∴m≥时，方程有两个正实数根；
2）∵矩形的对角线长为，
2
即m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，
∵m≥，∴m=2，
所以当矩形的对角线长为时，m的值为2．
22
【点评】本题考查了一元二次方程ax +bx+c=0（a≠ 0）的根的判别式△ =b ﹣4ac：当△> 0，方程有两个不相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△> 0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系、勾股定理以及矩形的性质．
5．（2012?湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
2
例题：解一元二次不等式x2﹣4>0
2
解：∵ x2﹣4=（x+2）（x﹣2）
2
∴x2﹣4>0 可化为
（x+2）（x﹣2）> 0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
解不等式组① ，得x> 2，
解不等式组② ，得x<﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）> 0的解集为x>2或x<﹣2，即一元二次不等式x2﹣4> 0的解集为x>2或x<﹣2．
2
（1）一元二次不等式x2﹣16>0 的解集为x>4 或x<﹣4；
a+b=m+1> 0，2
ab= m2+1> 0，解得m>﹣1，
a +
b =（）
2
a+b）﹣2ab=5，
22
m+1）2﹣2（m2+1）=5，
（2）分式不等式的解集为x>3 或x< 1；
2
（3）解一元二次不等式2x2﹣3x<0．
【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】压轴题．
【分析】（1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；
（2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；
（3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；
2
【解答】解：（1）∵ x ﹣16=（x+4）（x﹣4）
2
∴x2﹣16> 0 可化为
（x+4 ）（x﹣4）> 0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
解不等式组① ，得x> 4，
解不等式组② ，得x<﹣4，
∴（x+4）（x﹣4）> 0的解集为x>4或x<﹣4，
2
即一元二次不等式x2﹣16>0的解集为x>4或x<﹣4．
（2）∵
∴或
解得：x>3 或x< 1
2
（3）∵ 2x2﹣3x=x（2x ﹣3）
2
∴2x2﹣3x<0 可化为x（2x﹣3）<0 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得或
解不等式组① ，得0< x< ，
解不等式组② ，无解，
2
∴不等式2x2﹣3x<0 的解集为0< x< ．
【点评】本题考查了一元一次不等式组及方程的应用的知识，
解题的关键是根据已知信息经
过加工得到解决此类问题的方法．
6．（2012?重庆模拟）已知：如图，在△ ABC中，∠ B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A 开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s 的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B 同时出发，那么几秒后，△ PBQ的面积等于6cm2？
2）如果P，Q分别从A，B 同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
3）在（1）中，△ PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何动点问题；压轴题．
【分析】（1）设经过x 秒钟，△ PBQ的面积等于 6 平方厘米，根据点P 从A点开始沿AB边向点 B 以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s 的速度移动，表示出BP 和BQ的长可列方程求解．
（2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；（3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．
【解答】解：（1）设经过x 秒以后△ PBQ面积为6
×（5﹣x ）× 2x=6
整理得：x2﹣5x+6=0 解得：x=2 或x=3 答： 2 或 3 秒后△ PBQ的面积等于6cm2
（2）当PQ=5时，在Rt△ PBQ中，∵ BP2+BQ2=PQ2，
2 2 2
∴（5﹣t ）+（2t ）=5 ，
2
5t 2﹣10t=0 ，t （5t ﹣10）=0，t 1=0，t 2=2 ，∴当t=0 或 2 时，PQ的长度等于
5cm．（3）设经过x 秒以后△ PBQ面积为8，
×（5﹣x ）× 2x=8
2
整理得：x2﹣5x+8=0 △=25﹣32=﹣7<0
2
∴△ PQB的面积不能等于8cm2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△ PBQ的面积等于
6cm2”，
得出等量关系是解决问题的关键．
7．（2009?淄博）如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端
点
2 时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm （x≠ 0），则AP=2xcm，CM=3xcm，
DN=x2cm．
（1）当x 为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（2）当x 为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；梯形．
【专题】几何动点问题；压轴题．
【分析】（1）以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形
2
的必须条件是点P、N 重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+M≠C BC 即
2
x+3x≠ 20cm；或者点Q、M重合且点P、N 不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，
BQ+MC=BC 即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x 的值．
（2）以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M
的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，
BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．
（3）如果以P，Q，M，N 为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠ 20cm，
2
BQ+M≠C BC即x+3x ≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．
【解答】解：（1）当点P 与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．
① 当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= ﹣1，x2=﹣﹣1（舍去）．
因为BQ+CM=x+3x=（4 ﹣1）< 20，此时点Q与点M不重合．
所以x= ﹣ 1 符合题意．
② 当点Q与点M重合时，由x+3x=20 ，得x=5 ．
2
此时DN=x=25>20 ，不符合题意．
故点Q 与点M不能重合．
所以所求x 的值为﹣1．
（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，
① 当点P 在点N 的左侧时，
2
由20﹣（x+3x）=20﹣（2x+x2），
解得x1=0（舍去），x2=2．
当x=2 时四边形PQMN是平行四边形．
② 当点P 在点N 的右侧时，
2
由20﹣（x+3x）=（2x+x ）﹣20，
解得x1=﹣10 （舍去），x2=4．
当x=4 时四边形NQMP是平行四边形．
所以当x=2或x=4 时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x> x，
所以点 E 一定在点P的左侧．
若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，
则点 F 一定在点N的右侧，且PE=NF，
2
即2x﹣x=x 2﹣3x．
解得x1=0（舍去），x2=4．
由于当x=4 时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．
【点评】本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．
8．（2009?南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120 米，下底长180 米，
上下底相距80 米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．
（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；
（2）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的
宽度成正比例关系，比例系数是 5.7 ，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用为239 万元？
【考点】一元二次方程的应用；等腰梯形的性质．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】（1）根据题意得出横向甬道的面积为（120+180）?x 整理即可；
（2）花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用：239=5.7x+ （12，000﹣S）×0.02 ，即可求出．【解答】解：（1）中间横道的面积= （120+180）?x=150x，
22
（2）甬道总面积为150x+160x ﹣2x2=310x﹣2x2，绿化总面积为12000﹣S 花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用：239=5.7x+ （12000﹣S）× 0.02 ，
239=5.7x ﹣0.02S+240 ，
2
239=5.7x ﹣0.02 （310x﹣2x2）+240，
2
239=0.04x 2﹣0.5x+240 ，
2
0.04x 2﹣0.5x+1=0 ，
2
4x2﹣50x+100=0，x1=2.5 ，
∵甬道的宽不能超过 6 米，即x≤6，
∴x2=10，不合题意舍去，
解得：x=2.5 ，
当x=2.5 时，所建花坛的总费用为239 万元．
2【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得出239=5.7x ﹣0.02（310x﹣
2x2）+240，是解决问题的关键．
2 9．（2016?荆州）已知在关于x的分式方程① 和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（
3 ﹣k）
n=0② 中，k、m、n 均为实数，方程① 的根为非负数．
（1）求k 的取值范围；
（2）当方程② 有两个整数根x1、x2，k 为整数，且k=m+2，n=1 时，求方程② 的整数根；（3）当方程② 有两个实数根x 1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k 为负整数时，试判断|m| ≤2 是否成立？请说明理由．
【考点】根与系数的关系；根的判别式；分式方程的解．
【分析】（1）先解出分式方程① 的解，根据分式的意义和方程① 的根为非负数得出k 的取值；
（2）先把k=m+2，n=1 代入方程② 化简，由方程② 有两个整数实根得△是完全平方数，列
等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，再根据方
程有两个整数根得△> 0，得出m>0或m<﹣，符合题意，分别把m=1和﹣1代入方程后解出即可．
（3）根据（1）中k 的取值和k 为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可做出判断．
【解答】解：（1）∵关于x 的分式方程的根为非负数，
∴x≥0 且x≠ 1，
又∵ x= ≥0，且≠ 1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
2
又∵一元二次方程（2﹣k ）x 2+3mx+（3﹣k）n=0 中2﹣k≠0，∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
2
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x +3mx+（3﹣k ）n=0 有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1
时，22
∴把k=m+2，n=1 代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
2
∴△> 0，即△ =（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
2
∴△ =9m﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）> 0，
则m> 0 或m<﹣；
∵x1、x2 是整数，k 、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1?x2= =1﹣，
∴ 1﹣为整数，
∴ m=1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠ 1，m≠﹣1
22
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
2
x ﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3 ；
（3）|m| ≤2 成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k 是负整数，
∴k=﹣1，
2
（2﹣k ）x2+3mx+（3﹣k）n=0 且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣= =﹣m，x1x2= = n，
1 2 1 2 x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
2 2 2
x1 ﹣x1k+x2 ﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k ，
2 2 2
x1 +x2 ═ x1x2+k ，22
（x1+x2）﹣2x1x2﹣x1x2=k ，
22
（x1+x2）﹣3x 1x2=k ，
22
（﹣m）2﹣3× n=（﹣1）2，
m﹣4n=1，n= ① ，
22
△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0② ，
2
把① 代入② 得：9m2﹣48×≥0，
2
m≤4，
则|m| ≤2，
∴|m| ≤2 成立．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；
注意：① 解分式方程时分母不能为0；② 一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．
10．（2014?杭州模拟）阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成x 的一元二次方程，得．
∵x 为实数，∴△= =﹣y+4≥0，∴ y ≤4．因此，y的最大值为
4．
根据材料给你的启示，求函数的最小值．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】压轴题．
【分析】根据材料内容，可将原函数转换为（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y ﹣2=0，继而根据△≥0，可得出y 的最小值．
2
【解答】解：将原函数转化成x 的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2=0，∵x 为实数，
∴△ =（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）=16y﹣23≥0，
∴y ≥，
因此y 的最小值为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，这样的信息题，一定要熟读材料，套用材料的解题模式进行解答．。