《高等数学》（工科类专业适用）习题册习题解答-作业4.2.2

作业4.2.2
1.求解下列微分方程 (1) ()3d 21d 1y y x x x -=++；(2) 22e cos x y xy x '-=；(3) ()
22d 124d y x xy x x
++=. 解 （1）因为()21p x x =-+，()()521Q x x =+，所以 22d -d 31x+1e [(x+1)e
d ]x x x y x C --+⎰⎰=+⎰ =2ln(1)32ln(1)
e [(x+1)e d ]x x x C +-++⎰
=2(1)[(x+1)d ]x x C ++⎰
=221(1)[]2x x x C +++.
所以原方程的通解是 221(1)[]2y x x x C =+++.
（2）因为，()2P x x =，2()cos x Q x e x =
由公式，得 222[cos ]xdx xdx x y e e xe dx C -⎰⎰=+⎰， 222[c o s ]x x x e e x e
d x C -=+⎰ 2[c o s ]x
e x d x
C =+⎰=2[sin ]x e x C =+. 所求微分方程的通解 2[s i n ]
x y e x C =+. （3）将原方程变形为 1
41222
2+=++x x y x x dx dy ． 于是 22()1x P x x =+，1
4)(22+=x x x Q ． 代入公式得 222221124[]1x x dx dx x x x y e
e dx C x -++⎰⎰=++⎰222ln(1)ln(1)24[]1x x x e e dx C x -++=++⎰ ⎰++=]4[1122c dx x x 3214[]3
1x C x =++. 所求微分方程的通解为3214[]3
1y x C x =
++． 2.求下列微分方程满足给定初始条件的特解.
(1) 23y y '+=，0|10x y ==；(2) 2d 2,d x y y x y x x =+=-；(3) 3d 2e d x y x y x x -=，1|0x y ==. 解 （1）将原方程变形为 2321=+
'y y ． 于是 1()2P x =，2
3)(=x Q ． 代入公式，得 11223[]2dx dx y e e dx C -⎰⎰=
+⎰11223[]2x x e e dx C -=+⎰
1122[3]x x e e C -=+123x Ce -=+． 代入初始条件100==x y ，得7C =.
所求微分方程的特解为 x e
y 2173-+=. (2)因为,2()P x x
=，()Q x x =-. 代入公式得， 22[]dx dx x x y
e x e dx C -⎰⎰=-⋅+⎰
=2ln 2ln []x x e x e dx C --⋅+⎰ =
321[]x dx C x -+⎰
=4211[]4
x C x -+ 代入初始条件20x y -=， 4C =. 所求微分方程的特解为 2244x y x
-=+. (3)将原方程变形为x e x y x
dx dy 22=-． 于是 2()P x x
=-，x e x x Q 2)(=． 代入公式，得 222[]dx dx x x x y
e x e e dx C -⎰⎰=⋅+⎰2[]x x e dx C =+⎰2[]x x e C =+． 代入初始条件01==x y ，得C e =-.
所求微分方程的特解为)(2e e x y x -=.。