2013年高考试题数学分类汇编：导数

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2013年高考试题数学分类汇编：导数
一、选择题
1、（2013年高考大纲卷（文））已知曲线()421-128=
y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，
（ ）
A ．9
B ．6
C ．-9
D ．-6
2、（2013年高考湖北卷（文））已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．(,0)-∞
B ．1
(0,)2
C ．(0,1)
D ．(0,)+∞
3、（2013年高考福建卷（文））设函数)(x f 的定义域为R ,)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点,以下结论
一定正确的是
（ ）
A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀
B ．0x -是)(x f -的极小值点
C ．0x -是)(x f -的极小值点
D ．0x -是)(x f --的极小值点
4、（2013年高考安徽（文））已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ,若112()f x x x =<,则关于x 的方程
23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为
（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
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5、（2013年高考浙江卷（文））已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f ’(x)的
图像如右图所示,则该函数的图像是
6、（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是 （ ）
A ．0x ∃∈R,0()0
f x =
B
．
函数()y f x =的图像是中心对称图形
C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减
D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =
二、填空题
7、（2013年高考广东卷（文））若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____________.
8、（2013年高考江西卷（文））若曲线1y x α=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α
=_________. A
D
C B
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三、解答题
9、（2013年高考大纲卷（文））已知函数()32=33 1.f x x ax x +++
(1)
求()f ;a x =的单调性;
(2)若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围
10、（2013年高考浙江卷（文））已知a ∈R,函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2+6ax
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
11、（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r 米,高为h 米,体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率). (1)将V 表示成r 的函数()V r ,并求该函数的定义域;zhangwlx
(2)讨论函数()V r 的单调性,并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.zhangwlx
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12、（2013年高考陕西卷（文））已知函数()e ,x f x x =∈R .
(1) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (2) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线211
2
y x x =++有唯一公共点.
(3 设a <b , 比较2a b f +⎛⎫
⎪⎝⎭
与
()()
f b f a b a
--的大小, 并说明理由.
13、（2013年高考山东卷（文））已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈
(1)设0a ≥,求)(x f 的单调区间
(2) 设0a >,且对于任意0x >,()(1)f x f ≥.试比较ln a 与2b -的大小
14、（2013年高考辽宁卷（文）） (1)证明:当[]0,1sin ;2
x x x x ∈≤≤时，
(2)若不等式()[]3
2
22cosx 40,12
x ax x x x a ++++≤∈对恒成立，求实数的取值范围.
15、（2013年高考四川卷（文））已知函数22,0
()ln ,0
x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数.设
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11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <.
(1)指出函数()f x 的单调区间;
(2)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,证明:211x x -≥;
(3若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围.
16、（2013年高考课标Ⅱ卷（文））己知函数f(X) = x 2e -x
(1)求f(x)的极小值和极大值;
(2)当曲线y = f(x)的切线l 的斜率为负数时,求l 在x 轴上截距的取值范围.
17、（2013年高考北京卷（文））已知函数2()sin cos f x x x x x =++.
(1)若曲线()y f x =在点(,())a f a )处与直线y b =相切,求a 与b 的值. (2)若曲线()y f x =与直线y b = 有两个不同的交点,求b 的取值范围.
18、（2013年高考课标Ⅰ卷（文））(本小题满分共12分)
已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+. (1)求,a b 的值;
(2)讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.
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19、（2013年高考天津卷（文））设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2
x f a x x a x x x x x a -+≤+-
+>⎧⎪
=⎨⎪⎩
(1) 证明()f x 在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(2) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明
1231
3
x x x ++>.
20、（2013年高考福建卷（文））已知函数()1x a
f x x e
=-+
(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值; (2)求函数()f x 的极值;
(3)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.
21、（2013年高考湖南（文））已知函数f(x)=
x
e x
2
1x 1+-.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:当f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)时,x 1+x 2<0.
22、（2013年高考广东卷（文））设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈.
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(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;
(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ,()'2321f x x kx =-+
23、（2013年高考湖北卷（文））设0a >,0b >,已知函数()1
ax b
f x x +=
+. (1)当a b ≠时,讨论函数()f x 的单调性;
(2)当0x >时,称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.
(i)判断(1)f
, f ,()b
f a
是否成等比数列,
并证明()b f f a ≤; (ii)a 、b 的几何平均数记为G . 称
2ab
a b
+为a 、b 的调和平均数,记为H . 若()H f x G ≤≤,求x 的取值范围.
.
以下是答案 一、选择题
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1、D
2、B
3、D
4、A
5、B
6、C
二、填空题 7、
12
8、2
三、解答题
9、(1)
当a =,(
)32=3 1.f x x x ++
'2()33f x x =-+.
令'()0f x =,得
,11x =
,21x =.
当(1)x ∈-∞时,'()0f x >,()f x
在(1)-∞是增函数;
当1)x ∈时,'()0f x <,()f x
在1)是减函数;
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当1,)x ∈+∞时,'()0f x >,()f x
在1,)+∞是增函数; (2)由(2)0f ≥得,54
a ≥-. 当5
4
a ≥-
,(2,)x ∈+∞时, '2251
()3(21)3(1)3()(2)022
f x x ax x x x x =++≥-+=-->,
所以()f x 在(2,)+∞是增函数,于是当[2,)x ∈+∞时,()(2)0f x f ≥≥. 综上,a 的取值范围是5[,)4
-+∞.
10、解:(1)当
1
a =时,
32()266(2)1624124
f x x x x f =-+∴=-+=,所以
2()6126(2)242466f x x x f ''=-+∴=-+=,所以()y f x =在(2,(2))f 处的切线方程
是:46(2)680y
x x y -=-⇒--=;
(2)因为
22()66(1)66[(1)]6(1)()f x x a x a x a x a x x a '=-++=-++=--
①当1a >时,(,1]
[,)x a ∈-∞+∞时,()y f x =递增,(1,)x a ∈时,()y f x =递减,所以当
[0,2||]x a ∈时,且2||2a >,[0,1][,2||]x a a ∈时,()y f x =递增,(1,)x a ∈时,()
y f x =递减,所以最小值是
32223()23(1)63f a a a a a a a =-++=-;
②当1a <-时,且2||2a >,在[0,2||]x a ∈时,(0,1)x ∈时,()y f x =递减,[1,2||]
x a ∈时,()y
f x =递增,所以最小值是(1)31f a =-;
综上所述:当1a >时,函数
()y f x =最小值是233a a -;当1a <-时,函数()y f x =最小值是
31a -;
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11、
12、解:(1) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'.
1(1)g'x
1
(x)g'==⇒=
k .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 (2) 证明曲线y=f(x)与曲线12
12
++=
x x y 有唯一公共点,过程如下. 则令,,12
1
121)()(22R x x x e x x x f x h x ∈---=---=
0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数
因
此,单调递增
时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0x h y x h x x h y x h x =⇒>>=⇒<<
实用文档 0)(,0)0(')('===≥=⇒x R x h y h x h y 个零点上单调递增，最多有一在所以 所以,曲线y=f(x)与曲线121
2++=x x y 只有唯一公共点(0,1).(证毕)
(3) 设)(2)
()2()()2()()(2)()(a b b f
a b a f a b a b a f b f b f a f -⋅⋅--+⋅+-=---+
a a
b b a e a b e a b a b a b e a b e a b ⋅-⋅⋅--++-=-⋅⋅--+⋅+-=-)(2)2()2()(2)2()2(
令x x x e x e x x g x e x x x g ⋅-+=⋅-++=>⋅-++=)1(1)21(1)(',0,)2(2)(则.
）上单调递增，在（的导函数∞+>⋅=⋅-+=0)('所以,0)11()('')('x g e x e x x g x g x x ,且
,0)0(,),0()(0)('.0)0('=+∞>=g x g x g g 而上单调递增在，因此
0)(),0(>+∞x g 上所以在.
,0)2(2)(0b a e x x x g x x <>⋅-++=>且时，当
0)(2)2()2(>⋅-⋅⋅--++-∴-a a
b e a b e a b a b 所以a b a f b f b f a f -->+)
()(2)
()(,b <a 时当
13、
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当0a 时函数()f x 的单调递减区间是
14、实用文档
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15、解:(1)函数()f x 的单调减区间为)1,(--∞,单调增区间为)0,1(-,),0(+∞
(2)由导数的几何意义知,点A 处的切线斜率为)(1x f ',点B 处的切线斜率为)(2x f ',
故当点,A B 处的切线互相垂直时,有)(1x f '1)(2-='⋅x f ,
当x <0时,22)(+=x x f
因为021<<x x ,所以 1)22()22(21-=+⋅+x x ,所以0221<+x ,0222>+x , 因此1)22()22()]22()22([2
1212112=+⋅+-≥+++-=-x x x x x x , (当且仅当122)22(21=+=+-x x ,即231-=x 且2
12-=x 时等号成立) 所以函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直时有211x x -≥.
(3)当021<<x x 或012>>x x 时,)(1x f ')(2x f '≠,故210x x <<.
当01<x 时,()f x 的图象在点))(,(11x f x 处的切线方程为
)()22()2(11121x x x a x x y -⋅+=++- 即 a x x x y +-+=2
11)22(.
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当02>x 时,()f x 的图象在点))(,(22x f x 处的切线方程为
)(1ln 222x x x x y -⋅=- 即 1ln 122
-+⋅=x x x y . 两切线重合的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=②①a x x x x 212
121ln 221,
由①及210x x <<知,2102
<<x , 由①、②得 1)21(411ln 1)121(
ln 222222--+-=--+=x x x x a , 令21x t =,则20<<t ,且t t t a ln 4
12--= 设)20(ln 4
1)(2<<--=t t t t t h ,则023)1(1121)(2<--=--='t t t t t h 所以)20()(<<t t h 为减函数,则2ln 1)2()(--=>h t h ,
所以2ln 1-->a ,
而当)2,0(∈t 且t 趋向于0时,)(t h 无限增大,
所以a 的取值范围是),2ln 1(+∞--.
故当函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合时,a 的取值范围是),2ln 1(+∞--.
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16、
17、解:由2()sin cos f x x x x x =++,得()(2cos )f x x x '=+.
(1)因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切,所以()(2cos )0f a a a '=+= ()b f a =,解得0a =,(0)1b f ==.
(2)令()0f x '=,得0x =.
()f x 与()f x '的情况如下:
(,0)0(0,)
()0()1
x f x f x -∞+∞'-+
所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减,在区间(0,)+∞上单调递增,(0)1f =是()f x 的最小值.
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当1b ≤时,曲线()y f x =与直线y b =最多只有一个交点;
当1b >时,2(2)(2)421f b f b b b -=≥-->421b b b -->, (0)1f b =<,
所以存在1(2,0)x b ∈-,2(0,2)x b ∈,使得12()()f x f x b ==.
由于函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞上均单调,所以当1b >时曲线()y f x =与直线y b =有且只有两个不同交点.
综上可知,如果曲线()y f x =与直线y b =有且只有两个不同交点,那么b 的取值范围是(1,)+∞.
18、121()()2 4.(0)4,(0)4,4,8,
4;f x e ax a b x f f b a b a b =++--===+===（I ）由已知得故从而
(II) 由(I)知,2)4(1)4,x f x e x x x =+--（
11()4(2)244(2)().2
x x f x e x x x e =+--=+- 令1()0=-1n2x=-2.f x x =得，或
从而当11(,2)(10;(22,),12))()x n f x x n f x >∈--+∞-∈-∞-当时，（时，<0.
故()--2-12+-2-12f x n n ∞∞在（，），（
，）单调递增，在（，）单调递减. 当2=-2-2=41-)x f x f e -时，函数（
）取得极大值，极大值为（）（.
实用文档 19、
20、解:(1)由()1x a f x x e =-+,得()1x a f x e '=-. 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴, 得()10f '=,即10a e -
=,解得a e =. (2)()1x a f x e '=-,
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①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值. ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.
(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.
所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,
故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值. 综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值;
当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值. (3)当1a =时,()11x f x x e
=-+
令()()()()111x g x f x kx k x e
=--=-+
, 则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解. 假设1k >,此时()010g =>,1
1
11101k g k e -⎛⎫
=-+<
⎪-⎝⎭
, 又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解,与“方程
()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤.
又1k =时,()1
0x
g x e =
>,知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1. 解法二:
(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.
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(Ⅲ)当1a =时,()11x
f x x e =-+
. 直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于关于x 的方程1
11x kx x e
-=-+
在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11x
k x e -=
(*)
在R 上没有实数解. ①当1k =时,方程(*)可化为1
0x e
=,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为
1
1
x xe k =-. 令()x
g x xe =,则有()()1x
g x x e '=+. 令()0g x '=,得1x =-,
当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:
当1x =-时,()min 1g x e
=-,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
. 所以当
11,1k e ⎛
⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭
时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -. 综上,得k 的最大值为1.
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21、解: (1) .)
123)12)1()1)11()('2
22
222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--⋅=+⋅--+⋅-+-=（（（ ;)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴<⋅-=∆
单调递减）时，，当)(,0)('0[x f y x f x =≤∞+∈.
所以,）上单调递减，上单调递增；在，在（∞+∈∞=0[]0-)(x x f y . (2)由(Ⅰ)知,只需要证明:当x>0时f(x) < f(-x)即可.
]1)1[(11111)()(22
22x e x x
e e x x e x x x
f x f x
x x x ---+=++-+-=----. 1)21()('0,1)1()(22--=⇒>---=x x e x x g x x e x x g 令.
,04)21()('1)21()(222<-=-=⇒--=x x x xe e x x h e x x h 令
0)0()(0)(=<⇒∞+=⇒h x h x h y ）上单调递减，在（ 0)0()(0)(=<⇒∞+=⇒g x g x g y ）上单调递减，在（
.000]1)1[(122
==∞+---+=⇒-y x x e x x
e y x
x 时）上单调递减，但，在（ )()(0)()(x f x f x f x f -<⇒<--⇒
.0)()(212121<+≠=x x x x x f x f 时，且所以，当
22、(1)当1k =时()'2321,41280f x x x =-+∆=-=-<
()'0f x ∴>,
()
f x 在R 上单调递增.
(2)当0k <时,
()'
2
321
f
x x
kx =-+,其开口向上,对称轴
3k
x =
,且过()01，
(i)
当
(
241240
k k k ∆=-=≤,即
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0k ≤<时,()'
0f x ≥,()f x 在[],k k -上单调递增,
从而当x k =时,()
f x 取得最小值
()m f k k
== ,
当x k =-时,()
f x 取得最大值
()3332M f k k k k k k
=-=---=--.
(ii)
当
(
241240
k k k ∆=-=>,
即k <,令
()'23210
f x x kx =-+=
解得
:1233k k x x +==
,注意到210k x x <<<,
(注:可用韦达定理判断
1213x x ⋅=
,1223k
x x k +=>,从而210k x x <<<;或者由对称结合图像判断)
()(){}()(){}
12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==- ()()()()3
2211111110
f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>
()
f x ∴的最小值
()m f k k
==,
()()()()()2
32322222222=[1]0
f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<
()
f x ∴的最大值
()32M f k k k
=-=--
综上所述,当0k <时,()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--
解
法
2(2)
当
k <时,对
[]
,x k k ∀∈-,都有
32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥,故()()f x f k ≥
32332222()()()(221)()[()1]0
f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-,而 ()0f k k =<,3()20f k k k -=--> 所以 3max ()()2f x f k k k =-=--,min ()()f x f k k ==
(1) 解法3:因为2()321f x x kx '=-+,22(2)4314(3)k k ∆=--⨯⨯=-;
① 当0∆≤时,
即0k ≤<时,()0f x '≥,()f x 在R 上单调递增,此时无最小值和最大值;
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② 当0∆>时,
即k <时,令()0f x '=,解
得x ==
或
x ==;令()0f x '>,解
得x <
或x >;令
()0
f x '<,
解
得
x <<;因
为
033k k k ++<=<-
,2333
k k k
k >=>
作()f x 的最值表如下:
则min (),
m f k f ⎧⎫⎪
⎪=⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭,max (),M f k f ⎧⎫⎪
⎪
=-⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭
; 因为2
13333k k k k f k ⎡⎤
⎛⎫⎛⎛⎛++⎢⎥=-⨯+
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ 322(2927
k k k ---=;
322(26)18()27k k k k
f f k -----=>⎝⎭
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2480279k k -==->,
所以min (),()3k m f k f f k k ⎧⎫⎛⎫⎪
⎪
=== ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭
;
因为2
1f k ⎡⎤
⎢⎥=-⨯+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
322(2927
k k k -+-=;
()f f k --=⎝⎭
32
352(26)36504202727
k k k k k k +-++=<=<;
所以3max (),
()2M f k f f k k k ⎧⎫⎪
⎪
=-=-=--⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭
; 综上所述,所以m k =,32M k k =--.
23、
(1)()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞,
22
(1)()()(1)(1)a x ax b a b
f x x x +-+-'=
=
++. 当a b >时,()0f x '>,函数()f x 在(,1)-∞-,(1,)-+∞上单调递增; 当a b <时,()0f x '<,函数()f x 在(,1)-∞-,(1,)-+∞上单调递减. (2)(i)计算得(1)02a b f +=>,2()0b ab
f a a b
=>+
,0f =.
故22(1)()[2b a b ab f f ab f a
a b +=
⋅==+, 即
2(1)()[b f f f a =. ①
所以(1),()b
f f f a
成等比数列.
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因
2a b +≥
即(1)f f ≥.
由①得()b f f a ≤. (ii)由(i)知()b
f H a
=
,f G =.故由()H f x G ≤≤,得
()()b f f x f a ≤≤. ② 当a b =时
,()()b
f f x f a a ===. 这时,x 的取值范围为(0,)+∞; 当a b >时,01b
a
<<,
从而b a <
,由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式,
得
b x a ≤≤
即x
的取值范围为,b a ⎡⎢⎣; 当a b <时,1b
a
>,
从而b a >
由()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式,
b
x a ≤≤,即x
的取值范围为b a ⎤⎥⎦。