北京四中 上学期初中九年级期中考试数学试卷
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（1）求反比例函数y= 的表达式；
（2）点C（n，1）在反比例函数y= 的图象上，求△AOC的面积.
20.已知抛物线 ．
（1）求证：此抛物线与 轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线 的一个交点在 轴上，求 的值．
21.青青书店购进了一批进价为每本20元的中华传统文化丛书.在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=-3x+108（20<x<36）.如果销售这种图书每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大?最大利润是多少?
（2）如图2，当 （a>0）时，请求出 的值（用含a的代数式表示）
思考片刻后，同学们纷纷表达了自己的想法：
甲：过点F作FG∥AB交AC于点G，构造相似三角形解决问题；
乙：过点F作FG∥AC交AB于点G，构造相似三角形解决问题；
丙：过点D作DG∥BC交CA延长线于点G，构造相似三角形解决问题；
老师说：“这三位同学的想法都可以”.
北京四中上学期初中九年级期中考试数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1.函数y=(x+1)2－2的最小值是（）
A.1B.－1C.2D.－2
2.如果4x=5y（y≠0），那么下列比例式成立的是（）.
A B. C. D.
3.抛物线y=(x-2)2+1是由抛物线影响y=x2平移得到的，下列对于抛物线y=x2的平移过程叙述正确的是（）
5.如图，D，E为△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，若AD：DB=1：3，AE=2，则AC的长是（）.
A 10B.8C.6D.4
6.如图，若点P在反比例函数y= （k≠0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，若矩形PMON的面积为6，则k的值是（）
A. -3B. 3C. -6D. 6
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
-4
-4
0
8
…
（1）根据上表填空：
①抛物线与x轴的交点坐标是_________和_________；
②抛物线经过点（-3，_________）；
（2）试确定抛物线y=ax2+bx+c 解析式.
18.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
A.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
C.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
4.若A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y= 图象上，则y1与y2的大小关系是（）.
A.y1< y2B.y1= y2C.y1> y2D. 无法确定
（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并直接写出它们的长度.（要求：图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）
23.在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：
已知：如图，在△ABC中，点D是BA边延长线上一动点，点F在BC上，且 ，连接DF交AC于点E.
（1）如图1，当点E恰为DF的中点时，请求出 的值；
②当线段BC的长不小于8时，直接写出a的取值范围.
25.在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点.定义图形W的测度面积：若|x1-x2|的最大值为m，|y1-y2|的最大值为n，则S=mn为图形W的测度面积.例如，若图形W是半径为l的⊙O.当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1-x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1-y2|取得最大值，且最大值n=2.则图形W的测度而积S=mn=4.
15.若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，1）和（1，﹣2）两点，求此二次函数的表达式．
16.如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F.
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长.
17.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y，的对应值如下表：
（1）若图形W是抛物线y=-x2+2x+3和直线y=2x-1围成的封闭图形，则它的测度面积S=______A，B两点均在x轴上时，它的测度面积S=_________；
②此图形测度面积S的最大值为_________；
（3）若图形W是一个边长分别为3和6的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围.
（3）请参考上面某一种想法，完成第（1）问的求解过程，并直接写出第（2）问 的值.
24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+4ax+4a-4（a≠0）的顶点为A.
（1）求顶点A的坐标；
（2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y=ax2+4ax+4a-4（a≠0）交于B、C两点.
①当a=1时，求线段BC的长；
22.问题探究：
新定义：
将一个平面图形分为面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）
解决问题：
已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2 .
（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC 一条等积线段，直接写出AD的长；
（1）在图1中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，直接写出点C的对应点C1的坐标．
（2）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A2B2C2与△ABC的对应边的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点C的对应点C2的坐标．
19.已知：如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y= 的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）.
7.已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，若点A的坐标为（-2，1），则关于x的方程 =kx的两个实数根分别为（）.
A. x1=-1，x2=1B. x1=-1，x2=2C. x1=-2，x2=1D. x1=-2，x2=2
8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（）
12.我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3.
（1）如图l，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是________；
（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，那么第2个正方形DGHI的边长记为a2；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形……以此类推，则第n个内接正方形的边长an=____. （n为正整数）
A. a>0B. c<0C. b2-4ac<0D. a+b+c>0
二、填空题（本题共8分，每小题2分）
9.抛物线 的顶点坐标是______．
10.反比例函数y= 在第一象限的图象如图，请写出一个满足条件的k值，k=__________.
11.“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH=__里．
三、解答题（本题共68分，第13—22题每小题5分，第23—25题每小题6分）
13.已知二次函数y=x2-2x-3.
（1）求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标：
（2）求出这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标.
14.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且满足AB·AD=AE·AC，连接DE.求证：∠ABC=∠AED.
（2）点C（n，1）在反比例函数y= 的图象上，求△AOC的面积.
20.已知抛物线 ．
（1）求证：此抛物线与 轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线 的一个交点在 轴上，求 的值．
21.青青书店购进了一批进价为每本20元的中华传统文化丛书.在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=-3x+108（20<x<36）.如果销售这种图书每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大?最大利润是多少?
（2）如图2，当 （a>0）时，请求出 的值（用含a的代数式表示）
思考片刻后，同学们纷纷表达了自己的想法：
甲：过点F作FG∥AB交AC于点G，构造相似三角形解决问题；
乙：过点F作FG∥AC交AB于点G，构造相似三角形解决问题；
丙：过点D作DG∥BC交CA延长线于点G，构造相似三角形解决问题；
老师说：“这三位同学的想法都可以”.
北京四中上学期初中九年级期中考试数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1.函数y=(x+1)2－2的最小值是（）
A.1B.－1C.2D.－2
2.如果4x=5y（y≠0），那么下列比例式成立的是（）.
A B. C. D.
3.抛物线y=(x-2)2+1是由抛物线影响y=x2平移得到的，下列对于抛物线y=x2的平移过程叙述正确的是（）
5.如图，D，E为△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，若AD：DB=1：3，AE=2，则AC的长是（）.
A 10B.8C.6D.4
6.如图，若点P在反比例函数y= （k≠0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，若矩形PMON的面积为6，则k的值是（）
A. -3B. 3C. -6D. 6
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
-4
-4
0
8
…
（1）根据上表填空：
①抛物线与x轴的交点坐标是_________和_________；
②抛物线经过点（-3，_________）；
（2）试确定抛物线y=ax2+bx+c 解析式.
18.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
A.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
C.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
4.若A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y= 图象上，则y1与y2的大小关系是（）.
A.y1< y2B.y1= y2C.y1> y2D. 无法确定
（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并直接写出它们的长度.（要求：图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）
23.在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：
已知：如图，在△ABC中，点D是BA边延长线上一动点，点F在BC上，且 ，连接DF交AC于点E.
（1）如图1，当点E恰为DF的中点时，请求出 的值；
②当线段BC的长不小于8时，直接写出a的取值范围.
25.在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点.定义图形W的测度面积：若|x1-x2|的最大值为m，|y1-y2|的最大值为n，则S=mn为图形W的测度面积.例如，若图形W是半径为l的⊙O.当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1-x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1-y2|取得最大值，且最大值n=2.则图形W的测度而积S=mn=4.
15.若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，1）和（1，﹣2）两点，求此二次函数的表达式．
16.如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F.
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长.
17.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y，的对应值如下表：
（1）若图形W是抛物线y=-x2+2x+3和直线y=2x-1围成的封闭图形，则它的测度面积S=______A，B两点均在x轴上时，它的测度面积S=_________；
②此图形测度面积S的最大值为_________；
（3）若图形W是一个边长分别为3和6的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围.
（3）请参考上面某一种想法，完成第（1）问的求解过程，并直接写出第（2）问 的值.
24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+4ax+4a-4（a≠0）的顶点为A.
（1）求顶点A的坐标；
（2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y=ax2+4ax+4a-4（a≠0）交于B、C两点.
①当a=1时，求线段BC的长；
22.问题探究：
新定义：
将一个平面图形分为面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）
解决问题：
已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2 .
（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC 一条等积线段，直接写出AD的长；
（1）在图1中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，直接写出点C的对应点C1的坐标．
（2）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A2B2C2与△ABC的对应边的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点C的对应点C2的坐标．
19.已知：如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y= 的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）.
7.已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，若点A的坐标为（-2，1），则关于x的方程 =kx的两个实数根分别为（）.
A. x1=-1，x2=1B. x1=-1，x2=2C. x1=-2，x2=1D. x1=-2，x2=2
8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（）
12.我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3.
（1）如图l，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是________；
（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，那么第2个正方形DGHI的边长记为a2；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形……以此类推，则第n个内接正方形的边长an=____. （n为正整数）
A. a>0B. c<0C. b2-4ac<0D. a+b+c>0
二、填空题（本题共8分，每小题2分）
9.抛物线 的顶点坐标是______．
10.反比例函数y= 在第一象限的图象如图，请写出一个满足条件的k值，k=__________.
11.“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH=__里．
三、解答题（本题共68分，第13—22题每小题5分，第23—25题每小题6分）
13.已知二次函数y=x2-2x-3.
（1）求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标：
（2）求出这个函数图象与x轴、y轴的交点坐标.
14.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且满足AB·AD=AE·AC，连接DE.求证：∠ABC=∠AED.