大学高数第四章5节_二重积分

b Axdx
b
[
2(x)
f x, ydy]dx
a
a 1(x)
D
注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算;
注意： 驻点 不一定是极值点 极值点不一定都是驻点 (不一定可导)
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
6
又
f
' x
(x0
,
y0
)
0
,
令 fxx(x0, y0 ) A ，
f yy(x0, y0) C ，
f
' y
( x0 ,
a
a
二重积分： f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D
61
定积分性质：
若M max f (x),m min f (x)，
x[ a ,b ]
x[ a ,b ]
则m(b a)
b
f (x)dx M (b a).
a
性质６
设M 、m 分别是 f ( x, y) 在闭区域 D 上的 最大值和最小值， 为 D 的面积，则
y 2(x)
D
y 1( x)
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
a
b
［X－型］ X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区
域边界的交点不多于两个； b、 1(x) 2 (x). c、平 行于y轴的直线穿过区域时，穿入、穿出曲线是唯一的。
66
（2）Y-型域： c y d, 1( y) x 2(y).
y0 )
0，
fxy(x0, y0) B ，
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下：
（1） B2 AC 0时具有极值， 当 A 0时有极大值， 当 A 0时有极小值；
（2） B2 AC 0时没有极值； （3） B2 AC 0时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论．
z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
x u
z
x
y
y
z f u f , z f u f .
x u x x y u y y
2
3.复合函数的中间变量都是一元函数的情形
设 z = f (x , y ) 可微，且 x (t), y (t) 对t
可导,则复合函数 z f [(t), (t)] 对t 可导,且
m f ( x, y)d M
D
（估值定理）
62
定积分的性质7).
5）. (积分中值定理)若函数f (x)在区间[a,b]上连续
则在[a,b]上至少存在一点 ,使得下式成立 :
b
a f (x)dx f ( )(b a), (a b)
性质７ 设函数 f ( x, y) 在闭区域 D 上连续, 为 D
dz f
dx f
dy .
dt x dt y dt
全导数
x
z
t
y
3
复习
复合函数的求导法则（三种情形）
隐函数的求导法则
(1) F(x, y) 0
dy
F
' x
dx F'y
(2) F(x, y, z) 0
z Fx x Fz
z Fy y Fz
也可:应用复合函数求导法则对等式两端直接同时求4导
二元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）
设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )具有偏导数， 且在点( x0 , y0 )处有极值，则它在该点的偏导
数必然为零： f 'x (x0, y0 ) 0， f ' y (x0, y0 ) 0.
5
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的 点，均称为函数的驻点.
性质２ [ f (x, y) g(x, y)]d D
f (x, y)d g(x, y)d .
D
D
58
3.二重积分的性质
3）. 若把[a , b]分为两部分[a , c]和[c , b] , 则
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
注 : 若分点c在区间[a,b]之外 , 则f (x)在
A( x)
2 ( x)
1 ( x)
f
( x,
y)dy
z
z f (x, y) Z
z f (x, y)
A( x)
y
a
y 2(x)
b
x x dx
1 ( x)
y
2(x)
所以：y 1(x)
二次积分
f(x,y)d V
b Axdx
b
[
2(x) f x, ydy]dx
a
a 1(x)
71
D
f(x,y)d
定积分：函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)
在[a,b]上可积。
54
二重积分的几何意义 定积分几何意义“曲边梯形面积的代数和”
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体 积的负值。
若位于xoy面上方柱体的体积为正值； 位于xoy面下方柱体的体积为负值，
且在D 上连续，我们要求整个平面薄片的质量
将薄片分割成若干小块，
y
取典型小块，将其近似
看作均匀薄片，
•
(i ,i )
所有小块质量之和
近似等于薄片总质量
n
M
lim
0
i 1
(i
,i
) i
.
i
o
x
曲顶柱体体积：
n
V
lim
0 i1
f (ξ i ,η i )Δ i 51
2.二重积分的概念
定义1 设f (x, y)是有界闭域D上的有界函数，将
i 1
(4) 取极限
令
max
1 i n
i直径
x
n
V
lim
0 i1
f (ξ i ,η i )Δ i
z z =f (x, y)
•
y
i
D
(i ,i )
50
（2）求平面薄片的质量
设有一平面薄片占有xoy 面上的闭区域D ，它
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y)，这里 ( x, y)>0
D
定积分性4）质. 若在区间[a,b]上有f (x) g(x) , 则
b
b
a f (x)dx a g(x)dx
性质５ f ( x, y) g( x, y),
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
60
定积分性质：
若a b,则|
b
f (x)dx |
b
| f (x) | dx.
7
第5节
二重积分
(double integral)
目的与要求 理解二重积分的概念与性质； 熟练掌握在直角坐标系下计算二重积分. 二重积分在物理学中的应用不要求
8
一、重积分的概念与性质
1.问题的提出
（1） 曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积×高
特点：平顶
z f (x, y)
曲顶柱体体积=？
特点：曲顶
D
9
柱面
定义
平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
圆柱
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
播放
10
曲顶柱体： 以平面有界闭区域D为底，
z f (x, y)
以曲面∑：z=f(x,y)为顶， z=f(x,y)在D上连续。
D
侧面是柱面，该柱面以D的边 界线为准线，母线平行于z轴。 如何求其体积？
取积分变量为x ，
y
y f (x)
x [a,b]
在[a,b]上任取小区 o
x x dx
x
间[ x, x dx]，
取以dx为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素，dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
70
dV A( x)dx
闭区域D任意分成n个小区域
1, 2,, n
其中i表示第i个小区域，也表示它的面积。在每
个小区域中任取 (i , i) ，作积、作和，若极限
n
lim
0 i1
f (i ,i ) i
存在，则称其为f (x, y)在D上的二重积分，记为
n
定积分:
f ( x, y)d
D
ab f (x)dx
lim
0
i 1
24
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 作和、取极限”的方法，如下动画演示
播放
42
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 作和、取极限”的方法，如下动画演示
43
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 作和、取极限”的方法，如下动画演示
44
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 作和、取极限”的方法，如下动画演示
大区间内必须连续 , 否则积分可能不存在.
性质３ 对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D1
D2
59
定积分的性质3).如果在区间[a,b]上
f (x) 1
则：b1dx
b
dx b a
a
a
性质４ 若f (x, y) 1，则 d D的面积
1.复合函数的中间变量都是多元函数的情形
复 z f [ ( x, y), ( x, y)].
习
u
x 链式法则：
z
沿线相乘，
v
y 分线相加
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
1
2.复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函 数的情形
45
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 作和、取极限”的方法，如下动画演示
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 作和、取极限”的方法，如下动画演示
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求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 作和、取极限”的方法，如下动画演示
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步骤如下：
z f (i ,i )
先分割曲顶柱
体的底，并取
z
3.定积分的性质
1）.
b
kf (x)dx k
b
f (x)dx,
(k为常数)
a
a
性质１ kf (x, y)d k f (x, y)d.
D
D
（k为常数时）
57
3.二重积分的性质
定积分性质：
2）.
b
[ f (x) g(x)]dx
b
f (x)dx
b
g(x)dx
a
a
a
(可推广到有限个的情形.)
a
b
（4）一般区域：区域划分 68
１. X-型域下二重积分的计算: 由几何意义，若ƒ(x,y)≥0，则
z
z f (x, y)
f (x, y)d V y
D
(曲 顶 柱 体 的 体 积 ）
ax
y 2(x)
A( x)
bx
y 1(x)
69
一般地，如果旋转体是由连续曲线y f ( x) 、 直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
［Y－型］
Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直
线与区域边界的交点不多于两个。b、1( y) 2 ( y). c、
平行于x轴的直线穿过区域时，穿入、穿出曲线是唯一 的。
67
（3）矩型域：
a xb c yd
d
c
O
积被 积 面 分积 分 积 区函 变 元 域数 量 素
积 分 和
53
曲顶柱体体积 V f ( x, y)d
D
平面薄片的质量 M f ( x, y)d
D
对二重积分定义的说明：
(1) 二重积分的定义中，对闭区域的划分和 (i ,i )
点选取是任意的。
(2) 当 f(x , y )在闭区域上连续时，定义中和式的 极限必存在，即二重积分必存在。
那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍:
64Biblioteka 利用直角坐标计算二重积分二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此, 先介绍：
1.积分域 D:
65
利用直角坐标计算二重积分
（1）X-型域
用不等式表 示平面区域
如果积分区域为： a x b, 1(x) y 2(x).
二重积分的几何意义是柱体的体积的代数和。
55
二重积分的具体形式
在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，
则面积元素为 d dxdy
故二重积分可写为
f (x, y)d
D
y
dy
D
o
x
dx
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
积分变量
56
3.二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
f (i
n
lim f
0 i1
,i ) i
( i ) x
i
52
其中f (x, y)称为被积函数,D称为积分区域 , d
称为面积元素 , x与y称为积分变量 , f (x, y)d 称为
n
被积表达式 , f (i ,i )i称为积分和.
i 1
n
D
f (x, y)d
lim
0
i 1
f
(i ,i
) i
的面积，则在 D 上至少存在一点( ,) 使得
f ( x, y)d f ( ,)
D
（积分中值定理）
63
二重积分的计算法
问题的提出
按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限
n
D
f ( x , y )d
lim
0 i1
f ( i , i ) i.
然而，用定义来计算二重积分，一般情况 下是非常麻烦的。
z f (x, y)
典型小区域，
用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 x 顶柱体的体积，
o
y
D
•
(i ,i )
i
49
(1) 分割
任意分割D : i (i 1, 2,, n)
(2) 近似 任取(i ,i ) i
Vi f (i ,i ) i
(i 1, 2, ，n)
(3) 作和
n
V f (ξ i ,η i )Δ i