高中数学课件第一章-集合与函数

思考：1、比较这三个集合： A={x ∈Z|x<10}，B={x ∈R|x<10} ， C={x |x<10} ；
例题：求由方程x2-1=0的实数解构成的集合。 解：(1)列举法：{-1,1}或{1，-1}。 (2)描述法：{x|x2-1=0，x∈R}或{X|X为方程x2-1=0的实数解}
2、两个集合相等
讨论2：集合{a,b,c,d}与{b,c,d,a}是同一个集合吗？
三、数集的介绍和集合与元素的关系表示
1、常见数集的表示
N：自然数集（含0）即非负整数集
N+或N*：正整数集（不含0)
Z:
整数集
Q： 有理数集
R：
实数集
2、集合与元素的关系（属于∈或不属于 ）
若一个元素m在集合A中，则说 m∈A，读作“元素m属于集合A” 否则，称为mA,读作“元素m不属于集合A。
并集的运算性质：
(1) A A A (2) A A (3) A B B A (4) A A B, B A B, A B A B (5) A B则A B B
注意：计算并集和交集的时候尽可能的转化为图像，减少犯错的几率，常用 的图像有Venn图，数轴表示法，坐标表示法。尤其是涉及到不等式和坐标点 的时候。
4、已知A {x | x 2 px 2 0},B {x | x 2 qx r 0}且A B {2,1,5}, A B {2},求p,q,r的值. (解得 : p 1, q 3, r 10) 5、设A {4,2a 1,a2},B {a 5,1 a,9},已知A B {9},求a的值,并求出A B .
练习题
1、直线y=x上的点集如何表示？
x+y=2
2、方程组
的解集如何表示？
x-y=1
3、若{1，a}和{a,a2}表示同一个集合， 则a的值不能为多少？
集合间的基本关系
实数有相等关系、大小关系，如5＝5，5＜7，5＞3，等等，类比实数之间的关系， 你会想到集合之间的什么关系？ 观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？
解 : (1)直线l1,l2相交于一点P可表示为：L1 L2 {点P }; (2)直线l1,l2平行可表示为：L1 L2 ; (3)直线l1,l2重合可表示为：L1 L2 L1 L2.
2、并集
一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的所构成的集合，称为A与B的并集， 记作A∪B，即
A∪B = {x|x∈A，或x∈B}
如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。
例：集合A={x|x为小于5的素数}，集合A={x ∈ R|(x-1)(x-3)=0}，这两 个集合相等吗。
五、集合的分类
根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以下两大类： 1、有限集：含有有限个元素的集合称为有限集特别，不含任何元素的集 合称为空集,记为 ，注意：不能表示为{}。 2.无限集：若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集
如图，阴影部分即CSA.
S A
如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时集合S看作一个全集， 通常记作U。
{ 例题、不等式组
2x-1>0 3x-60
的解集为A，U＝R，试求A及CUA，并把它们
分别表示在数轴上。
思考:
1、CUA在U中的补集是什么？
2、U＝Z，A=｛x|x=2k,k∈Z}, B={x|x=2k+1,K∈Z},则CUA＝＿＿＿， CUB＝＿＿＿＿。
函数进行穿插出题。
2、不管是映射还是函数，都是唯一确定的对应，即对于A中的元素有且仅有一
个B中的元素与其相对应。深入的理解这句话就可以得到：可以多对一，而不能
一对多。
平方
√ 1
-1 1
24
-2
开方
×2
4 -2
9 -3
3
3、分母不能等于零，二次根号下不能为负数，分子分母的未知数不能随便约， 根号不能随便去掉，都是求定义域的典型考点。详见课本例题。
如何用数学的语言描述这些对象？？
二、集合的定义与表示
1、通常，我们把研究的对象称为元素，而某些拥有共同特征的元素所组 成的总体叫做集合。并用花括号{}括起来，用大写字母带表一个集合，其 中的元素用逗号分割。
2、集合有三个特征：确定性、互异性和无序性。就是根据这三个特征来 判断是否为一个集合。
讨论1：下列对象能构成集合吗？为什么？ 1、著名的科学家 2、1,2,2,3这四个数字 3、我们班上的高个子男生
练习题
1、下列命题： 重点考察对空集的理解！
(1)空集没有子集；
(2)任何集合至少有两个子集；
(3)空集是任何集合的真子集；
(4)若 A，则A .其中正确的有(
)
A.0个
B.1个 C.2个
D.3个
2.设x ,y
R，A
{(x,y)| y
-
3
x
-
2},B
{(x},
则A，B的关系是______.
因此，函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式。其准确定义如 下：
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集 合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y
？
二、映射
通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的 数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的 集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下：
设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合 A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之相对应，那么就称 对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射。
第一章：集合与函数
第一节：集合
集合的含义与表示
一、请关注我们的生活，会发现………
1、高一（9）班的全体学生：A={高一（9）班的学生} 2、中国的直辖市：B={中国的直辖市} 3、2，4，6，8，10，12，14：C={ 2，4，6，8，10，12，14} 4、我国古代的四大发明：D={火药，印刷术，指南针，造纸术} 5、2004年雅典奥运会的比赛项目：E={2008年奥运会的球类项目}
A∪B可用右图中的阴影部分来表示
U
A
B
其实，并集用通俗的语言来说，就是把两个集合的元素合并到一起。所以交 集是“求同”，并集是存异。 例题： 设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3} 求A∪B.
解: A∪B={x|-1<x<2} ∪ {x|1<x<3} ={x|-1<x<3}
-1 1 2 3
A
CB
2,3
-1,1
-2
交集的运算性质：
(1) A A A (2)A (3)A B B A (4)A B A, A B B (5)A B 则 A B A
思考题：如何用集合语言描述？
设平面内直线l1上的点的集合为L1,直线l2 上点的集合为L2,试用集合 的运算表示l1 ,l2的位置关系.
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5}; ⑵设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合,
B为这个班学生的全体组成的集合; ⑶ 设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}.
一、子集和真子集的概念
1、子集：一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任意一个元素都是 集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子 集.
6、已知A {x | x 2 3x 2 0},B {x | x 2 ax a 1 0}若A B A,求实数a的值.
7、设集合A {x | 2 x 1} {x | x 1},B {x | a x b}若A B {x | x 2}, A B {x | 1 x 3},求a,b的值. (解得a 1,b 3)
读作：A包含于B，或者B包含A 可以联系数与数之间的“≤”
BA
2、真子集：
3、空集：
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，并规定：空集是任何集合 的子集，空集是任何非空集合的真子集。
4、补集与全集
设AS，由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集， 记作CSA ，即CSA ＝｛x|x∈S,且xA}
练习题
1、判断正误 （1）若U={四边形}，A={梯形}， 则CUA={平行四边形} （2）若U是全集，且AB，则CUACUB （3）若U={1，2，3}，A=U，则CUA=
2. 设集合A={|2a-1|，2}，B={2，3，a2+2a-3}，且CBA={5}，求实数a的值。 3. 已知全集U={1，2，3，4，5}，非空集A={xU|x2-5x+q=0}，求CUA及q的 值。
国家
首都
中国北京 美国 韩国 日本
华盛顿 首尔 东京
因此，函数是映射的一 种特殊形式
三、函数的三种表示方法
解析法，图像法，列表法。详见课本P19页。
四、开区间、闭区间和半开半闭区间
实数R的区间可以表示为（- ∞ ,+ ∞ ）
★深入理解函数表示方法的解析法
五、着重强调的几个问题及考试陷阱
1、函数是高中数学乃至大学数学中最为重要的组成部分，大部分的章节都会与
第一章：集合与函数
第二节：函数
函数及其表示
一、函数的概念
小明从出生开始，每年过生日的时候都会测量一下自己的身高，其测量数据 如下：
年龄（岁） 身高（cm）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
从以上两个例子，我们可以把年龄当做一个集合A，身高当做一个集合B；把 时间当做一个集合C，把下降高度当做一个集D。那么对于集合A、C中的每一个 元素，集合B、D中都有唯一的一个元素与其相对应。比如，对于A的每一个元素 “乘以10再加20”，就得到了集合B中的元素。对于集合C中的元素“平方后乘 以4.9”就得到集合D中的元素。
例如：1∈N， -5 ∈ Z, Q 1.5 N
四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。
例如：book中的字母组成的集合表示为｛：ｂ，ｏ，o，ｋ｝｛ｂ，ｏ，ｋ｝
一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集 ｛1,4｛｝（1,4
值叫做函数值（因变量），函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域。而对应
的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20” 和“平方后乘以4.9”
乘以10再加20
1
30
2
40
3
50
4
60
5
70
6
80
7
90
8
100
平方后乘以4.9
1
4.9
1.5
？
2
？
3
？
5
？
6
？
7
？
8
6、设集合A {x | x2 4x 0},B {x | x2 2(a 1)x a2 - 1 0,a R}, 若B A，求实数a的值.
7、判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1}{-1,0,1}
(5)0;
合。
）｝
2、描述法
就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。其一般形式
为：{ x | p(x) }
例如：book中的字母的集合表示为：A=｛x|x是 book中的字母｝ 所有奇数组成的集合：A={x∈R|x=2k+1, k∈Z} 所有偶数组成的集合：A={x∈R|x=2k, k∈Z}
注意：1、中间的“|”不能缺失； 2、不要忘记标明x∈R或者k∈Z，除非上下文明确表示 。
3.已知A {x | 2 x 5},B {x | a 1 x 2a 1},B A, 求实数a的取值范围.
4、补集与全集
4、设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x-a≥0}，若A是B的真子集，求实数 a的取值范围。
5、设A={1，2}，B={x|xA}，问A与B有什么关系？并用列举法写出B？
(6) {-1,1}.
集合与集合的运算
1、交集
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集， 记作A∩B，即
A∩B={x|x∈A，且x∈B} A∩B可用右图中的阴影部分来表示。
U A A∩B B
其实，交集用通俗的语言来说，就是找两个集中中共同存在的元素。
例题： 1、A={-1,1,2,3},B={-1,-2,1},C={-1,1};