2020-2021学年中考数学经典题型训练卷：新定义阅读问题

2020-2021学年中考数学经典题型训练卷：新定义阅读问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y =[x ]的图象如图所示，则方程[]212
x x =的解为（ ）
A ．0
B ．0或2
C ．1或
D 或 2．设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2，则下列结论： ①若a@b=0，则a=0或b=0
②a@（b+c ）=a@b+a@c
③不存在实数a ，b ，满足a@b=a 2+5b 2
④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b 时，a@b 最大． 其中正确的是（ ）
A ．②③④
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③ 3．（2016湖南省永州市）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216=4，②log 525=5，③log 2
12
=﹣1．其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③ 4．定义符号min{a ，b}的含义为：当a≥b 时min{a ，b}=b ；当a ＜b 时min{a ，b}=a ．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x 2+1，﹣x}的最大值是（ ）
A B ．12 C ．1 D ．0
5．给出一种运算：对于函数y=x n ，规定y '=nx n-1．例如：若函数y 1=x 4，则有34y x '=．函
数y=x 3，则方程12y '=的解是（ ）
A ．x 1=4，x 2=-4
B ．x 1x 2
C ．x 1=x 2=0
D ．x 1=2，x 2=-2 6．在平面直角坐标系中，任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），规定运算：①A ⊕B=（x 1+x 2，y 1+y 2）；②A ⊗B=x 1x 2+y 1y 2；③当x 1=x 2且y 1=y 2时，A=B ，有下列四个命题：（1）若A （1，2），B （2，﹣1），则A ⊕B=（3，1），A ⊗B=0；
（2）若A ⊕B=B ⊕C ，则A=C ；
（3）若A ⊗
B=B ⊗C ，则A=C ； （4）对任意点A 、B 、C ，均有（A ⊕B ）⊕C=A ⊕（B ⊕C ）成立，其中正确命题的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
7．我们规定：一个正n 边形（n 为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为λn ，那么λ6=____． 8．对于函数n m y x x =+，我们定义11n m y nx mx --'=+（m
n 、为常数）. 例如42y x x =+，则342y x x '=+. 已知：()322113
y x m x m x =+-+. （1）若方程0y '=有两个相等实数根，则m 的值为___________；
（2）若方程14
y m '=-有两个正数根，则m 的取值范围为__________. 9．阅读理解：如图1，⊙O 与直线a 、b 都相切，不论⊙O 如何转动，直线a 、b 之间的距离始终保持不变（等于⊙O 的直径），我们把具有这一特性的图形成为“等宽曲线”，图2是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力既可以推动物体前进，据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的．
拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”，如图4，夹在平行线c ，d 之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线c ，d
之间的距离等于2cm ，则莱洛三角形的周长为________cm ．
10．高斯函数[]x ，也称为取整函数，即[]x 表示不超过x 的最大整数.
例如：[]2.32=，[]1.52-=-.
则下列结论：
①[][]2.112-+=-；
②[][]
0x x +-=； ③若[]13x +=，则x 的取值范围是23x ≤<；
④当11x -≤<时，[][]11x x ++-+的值为0、1、2.
其中正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号）.
11．已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC 的费马点（Fermat point ），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当
∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P 就是△ABC 的费马点，若P 就是△ABC 的费马点，
若点P 的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD+PE+PF= ．
12．平面直角坐标系中有两点M （a ，b ），N （c ，d ），规定（a ，b ）⊕（c ，d ）=（a +c ，b +d ），则称点Q （a +c ，b +d ）为M ，N 的“和点”．若以坐标原点O 与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A （2，5），B （﹣1，3），若以O ，A ，B ，C 四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C 的坐标是___________．
13．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点
A 、
B 、
C 、
D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x ﹣1）2﹣4，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长为_____．
14．如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M、N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是
_______________________和_________________________
三、解答题
15．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，▱ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则▱ABCD为1阶准菱形．
(1)猜想与计算：
邻边长分别为3和5的平行四边形是______阶准菱形；已知▱ABCD的邻边长分别为a，b(a＞b)，满足a＝8b+r，b＝5r，请写出，▱ABCD是_____阶准菱形．
(2)操作与推理：
小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠(点E在AD 上)，使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．
16．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是
n的最佳分解．并规定：F（n）=p
q
．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最
佳分解，所以F（12）=3
4
．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t
为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
参考答案
1．A
【分析】
根据新定义和函数图象讨论：当1≤x ＜2时，则
12x 2=1；当0≤x<1时，则12x 2=0，当-2≤x ＜-1时，则12
x 2=-2，然后分别解关于x 的一元二次方程即可． 【详解】
解：当1≤x ＜2时，
12x 2=1，解得x 1，x 2； 当x=0，时，12
x 2=0，x=0； 当-1≤x ＜0时，12
x 2=-1，方程没有实数解； 当-2≤x＜-1时，12
x 2=-2，方程没有实数解；
所以方程[x]=12
x 2的解为0． 故项：A
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的大小比较． 2．C
【分析】
根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】
①根据题意得：a@b=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2 ∴（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2=0，
整理得：（a+b+a ﹣b ）（a+b ﹣a+b ）=0，即4ab=0， 解得：a=0或b=0，正确； ②∵a@（b+c ）=（a+b+c ）2﹣（a ﹣b ﹣c ）2=4ab+4ac
a@b+a@c=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2+（a+c ）2﹣（a ﹣c ）2=4ab+4ac ， ∴a@（b+c ）=a@b+a@c 正确；
③a@b=a 2+5b 2，a@b=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2， 令a 2+5b 2=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2， 解得，a=0，b=0，故错误；
④∵a@b=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2=4ab ， （a ﹣b ）2≥0，则a 2﹣2ab+b 2≥0，即a 2+b 2≥2ab ，
∴a 2+b 2+2ab≥4ab ， ∴4ab 的最大值是a 2+b 2+2ab ，此时a 2+b 2+2ab=4ab ， 解得，a=b ， ∴a@b 最大时，a=b ，故④正确，
考点：(1)、因式分解的应用；(2)、整式的混合运算；(3)、二次函数的最值
3．B
【解析】①因为24=16，所以①正确；②因为55=3125≠25，所以②错误；③因为2﹣1=12，所以③正确，
故选B ．
4．A
【分析】
理解min{a ，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．
【详解】
在同一坐标系xOy 中,画出函数二次函数y =−x 2+1与正比例函数y =−x 的图象，如图所示，设它们交于点A. B.
令21x x -+=- ,即210,x x --= 解得：x =
∴1111,.2222A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
观察图象可知：
①当x ≤,{}
2min 1,x x -+-=21x -+,函数值随x 的增大而增大,其最大值为
1,2
x <<时,{}
2min 1,x x -+-=−x ,函数值随x 的增大而减小,其最大值为
1,2
③当12x +≥时,{}
2min 1,x x -+-=21x -+,函数值随x 的增大而减小,最大值为
综上所示,{}2min 1,x x -+- 故选A.
【点睛】
考查二次函数，正比例函数的图象与性质，理解运算定义的内涵，结合图象求解，注意数形结合思想在解题中的应用.
5．D
【解析】
由题意可知：若函数y =x 3，则y'=3x 2，
故方程y'=12可以改写为3x 2=12，
解这个一元二次方程，得x 1=2，x 2=-2，即原方程y'=12的解为x 1=2，x 2=-2.
故本题应选D.
6．C
【解析】
试题分析：（1）A ⊕B=（1+2，2﹣1）=（3，1），A ⊗B=1×2+2×（﹣1）=0，所以（1）正确；
（2）设C （x 3，y 3），A ⊕B=（x 1+x 2，y 1+y 2），B ⊕C=（x 2+x 3，y 2+y 3），而A ⊕B=B ⊕C ，所以x 1+x 2=x 2+x 3，y 1+y 2=y 2+y 3，则x 1=x 3，y 1=y 3，所以A=C ，所以（2）正确；
（3）A ⊗B=x 1x 2+y 1y 2，B ⊗C=x 2x 3+y 2y 3，而A ⊗B=B ⊗C ，则x 1x 2+y 1y 2=x 2x 3+y 2y 3，不能得到x 1=x 3，y 1=y 3，所以A≠C ，所以（3）不正确；
（4）因为（A ⊕B ）⊕C=（x 1+x 2+x 3，y 1+y 2+y 3），A ⊕（B ⊕C ）=（x 1+x 2+x 3，y 1+y 2+y 3），所以（A ⊕B ）⊕C=A ⊕（B ⊕C ），所以（4）正确．
故选C ．
考点：1．命题与定理；2．点的坐标．
7．
【解析】
【详解】
解：如图，正六边形ABCDEF 中，对角线BE 、CF 交于点O ，连接EC ．
易知BE 是正六边形最长的对角线，EC 的正六边形的最短的对角线， ∵△OBC 是等边三角形
∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，
∵OE=OC
∴∠OEC=∠OCE ，
∵∠BOC=∠OEC+∠OCE
∴∠OEC=∠OCE=30°
∴∠BCE=90°，
∴△BEC 是直角三角形
∴=cos30°=，
∴λ6=.
考点：1.正多边形与圆；2.等边三角形的性质；3.锐角三角函数 8．（1）12m =
； （2）34m ≤且12m ≠. 【解析】
解：根据题意得y ′=2221x m x m +-+（），（1）∵方程2221x m x m +-+（）有两个相等实
数根，∴△=[2（m ﹣1）]2﹣4m 2=0，解得：m =
12，故答案为12
； （2）14y m '=-，即2221x m x m +-+（）=14m -，化简得：2212104x m x m m （）+-+-+=，∵方程有两个正数根，∴2222101041[404m m m m m ⎧⎪--⎪⎪-+⎨⎪⎪--+≥⎪⎩
（）＞＞（），解得：m ≤
34且m ≠12
． 故答案为m ≤34且m ≠12． 9．2π
【解析】
试题分析：由等宽曲线的定义知AB=BC=AC=2cm ，即可得∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，因此可知在以点C 为圆心、2为半径的圆上，根据弧长公式可求得的长为
，则
莱洛三角形的周长为
×3=2π， 故答案为2π．
考点：新定义下弧长的计算
10．①③.
【分析】
根据[x]表示不超过x 的最大整数，即可解答．
【详解】
由题意可知[-2.1]=-3,[1]=1,-3+1=-2，故①正确；
②中，当x 取小数时，显然不成立，例如x 取2.6，[x]+[-x]=2-3=-1,故②错误； ③中，若[x+1]=3,则x+1要满足x+1≥3,且x+1<4,解得x≥2,且x<3,故③正确；
④中，当-1≤x<1时，在取值范围内验证此式的值为1,2.故④错误；
所以正确的结论是①③.
11
1+．
【详解】
如图：等腰Rt △DEF 中，，过点D 作DM ⊥EF 于点M ，过E 、F 分别作
∠MEP=∠MFP=30°，则EM=DM=1，故cos30°=EM
EP ，解得：，则PM=
DP=111．
12．（1，8）.
【解析】
试题分析：已知以O ，A ，B ，C 四点为顶点的四边形是“和点四边形”，根据题意可得点C 的坐标为（2﹣1，5+3），即C （1，8）
考点：阅读理解题.
13．
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 、D 的坐标，进而可得出OD 、OA 、OB ，根据圆的性质可得出OM 的长度，在Rt △COM 中，利用勾股定理可求出CO 的长度，再根据CD =CO +OD 即可求出结论．
【详解】
当x =0时，y =（x ﹣1）2﹣4=﹣3，
∴点D 的坐标为（0，﹣3），
∴OD =3；
当y =0时，有（x ﹣1）2﹣4=0，
解得：x 1=﹣1，x 2=3，
∴点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（0，3），
∴AB =4，OA =1，OB =3．
连接CM ，则CM =12
AB =2，OM =1，如图所示．
在Rt△COM中，CO==3，
∴CD=CO+OD=3
故答案为3
【点睛】
先根据二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键.
14．y=−√3x2+2√3x,y=√3x2+2√3x（答案不唯一，只要符合条件即可）．
【解析】
试题分析：因点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，所以把抛物线C2看成抛物线C1以点O为旋转中心旋转180°得到的，由此即可知a1，a2互为相反数，抛物线C1和C2的对称轴直线关于y轴对称，由此可得出b1=b2．抛物线C1和C2都经过原点，可得c1=c2，设点A（m，n），由题意可知B（-m，-n），由勾股定理可得AB=√4m2+4n2．由图象可知MN=︱4m︱，又因四边形ANBM是矩形，所以AB=MN,即√4m2+4n2=|4m|，解得n2=
3m2,即m
n =±√3
3
，设抛物线的表达式为y=a(x−m)2+n，任意确定m的一个值，根据m
n
=
±√3
3
确定n的值，抛物线过原点代入即可求得表达式，然后在确定另一个表达式即可．l例如，当m=1时，n=√3，抛物线的表达式为y=a(x−1)2+√3，把x=0，y=0代入解得a=−√3，即y=−√3x2+2√3x，所以另一条抛物线的表达式为y=√3x2+2√3x．
考点：旋转、矩形、二次函数综合题．
15．（1）3，12；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论；
（2）先判断出∠AEB=∠ABE，进而判断出AE=BF，即可得出结论．
试题解析：解：（1）如图1，利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形：
如图2，∵b=5r，∴a=8b+r=40r+r=8×5r+r，利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行8+4=12次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为41r和5r的平行四边形是12阶准菱形：
故答案为3，12．
（2）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形．
16．（1）证明见解析；（2）15，26，37，48，59；（3）3
4
．
【解析】
试题分析：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，由“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
试题解析：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m 的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
考点：因式分解的应用；新定义；因式分解；阅读型．。