空间直角坐标系
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提示：适用．空间两点间的距离公式适用于空间任意两 点，对同在某一坐标平面内的两点也适用．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)怎样建立空间直角坐标系？如何确定空间一点的 坐标？
(2)空间两点间的距离公式是什么？怎样用？
(1)如图数轴上 A 点、B 点．
(2)如图在平面直角坐标系中，P、Q 点的位置．
提示：如图所示，设点 M 是空间的一个定点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴的平面，依次交 x 轴，y 轴 和 z 轴于点 P、Q 和 R.设点 P、Q 和 R 在 x 轴、y 轴和 z 轴 上的坐标分别是 x，y 和 z，那么点 M 就对应唯一确定的有 序实数组(x，y，z)．
(3)设点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在 xOy 平面上的射 影分别为 M、N. ①M、N 的坐标是什么？点 M、N 之间的距离如何？ ②若直线 P1P2 是 xOy 平面的一条斜线，点 P1，P2 间的 距离如何？
空间中点 P 坐标的确定方法 (1)由 P 点分别作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交 x 轴、 y 轴、z 轴于点 Px、Py、Pz，这三个点在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分 别为 x、y、z，那么点 P 的坐标就是(x，y，z)． (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 P 在坐标轴 或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
标，记作 M(x,y,z) ．其中 x 叫点 M 的横坐标， y 叫点 M 的纵坐标， z 叫点 M 的竖坐标．
(4)空间两点间的距离公式 ① 点 P(x ， y ， z) 到 坐 标 原 点 O(0,0,0) 的 距 离 ， |OP| ＝ x2＋y2＋z2. ②任意两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离， |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
2．归纳总结，核心必记 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直， 且有相同单位长度的数轴： 立了
x轴、y轴、z轴
，这样就建
空间直角坐标系Oxyz.
②相关概念： 点O 叫做坐标原点， x轴、y轴、z轴 叫 做坐标轴．通过 每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分 别称为 xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面．
(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中， 让右手拇指指向
x轴 的正方向，
食指指向 y轴 的正方向，如果中指指向 z轴 的正方向， 则称这个坐标系为右手直角坐标系． (3)空间一点的坐标 空间一点 M 的坐标可以用 有序实数组(x,y,z) 来表示，
有序实数组(x,y,z) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐
讲一讲
2．在空间直角坐标系中，点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴的对称点的坐标； (2)求点 P 关于 xOy 平面的对称点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2， P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不
变，在 y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P1(－2， －1，－4)． (2)由于点 P 关于 xOy 平面对称后， 它在 x 轴、 y 轴的分量不变， 在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点，由中 点坐标公式，可得 x＝2× 2－(－2)＝6， y＝2× (－1)－1＝－3，z＝2× (－4)－4＝－12， 所以 P3(6，－3，－12)．
全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）
[核心必知]
1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P134～P137，回答下列问题． (1)平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想空间直角坐 标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？
提示：三条交于一点且两两互相垂直的数轴．
(2)建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点 M 对应 的三个有序实数如何找到呢？
[问题思考]
(1)给定的空间直角坐标系下， 空间任意一点是否与有序 实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？
提示：是．给定空间直角坐标系下，空间给定一点其 坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序 实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．
(2)空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？
提示：①M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)； |MN|＝ x1－x22＋y1－y22. ②如图，在 Rt△ P1HP2 中， |P1H|＝|MN| ＝ x1－x22＋y1－y22，根据勾股定理，得 |P1P2|＝ |P1H|2＋|HP2|2 ＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
练一练
1．如图所示，VABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E，F 分别为 BC，CD 的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示 空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．
解：∵底面是边长为 2 的正方形， ∴|CE|＝|CF|＝1. ∵O 点是坐标原点， ∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定 B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－ 1,1,0)． ∵V 在 z 轴上，∴V(0,0,3)．
(3)下图是一个房间的示意图， 我们如何表示板凳和气球的 位置？
[思考 1]
上述(1)中如何确定 A、B 两点的位置？
提示：利用 A、B 两点的坐标 2 和－2.
[思考 2] 上述(2)中如何确定 P、Q 两点的位置？
提示：利用 P、Q 两点的坐标(a，b)和(m，n)．
[思考 3] 对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？
提示：可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系， 如图示．
讲一讲
1．建立适当的坐标系，写出底边长为 2，高为 3 的正三棱 柱的各顶点的坐标．(链接教材 P135—例 1)
[尝试解答] 以 BC 的中点为原点，BC 所 在的直线为 y 轴，以射线 OA 所在的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系，如图． 3 由题意知，AO＝ × 2＝ 3，从而可知各顶点的坐标分别为 2 A( 3， 0,0) ， B(0,1,0) ， C(0 ，－ 1,0) ， A1( 3， 0,3) ， B1(0,1,3) ， C1(0，－1,3)．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)怎样建立空间直角坐标系？如何确定空间一点的 坐标？
(2)空间两点间的距离公式是什么？怎样用？
(1)如图数轴上 A 点、B 点．
(2)如图在平面直角坐标系中，P、Q 点的位置．
提示：如图所示，设点 M 是空间的一个定点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴的平面，依次交 x 轴，y 轴 和 z 轴于点 P、Q 和 R.设点 P、Q 和 R 在 x 轴、y 轴和 z 轴 上的坐标分别是 x，y 和 z，那么点 M 就对应唯一确定的有 序实数组(x，y，z)．
(3)设点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在 xOy 平面上的射 影分别为 M、N. ①M、N 的坐标是什么？点 M、N 之间的距离如何？ ②若直线 P1P2 是 xOy 平面的一条斜线，点 P1，P2 间的 距离如何？
空间中点 P 坐标的确定方法 (1)由 P 点分别作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交 x 轴、 y 轴、z 轴于点 Px、Py、Pz，这三个点在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分 别为 x、y、z，那么点 P 的坐标就是(x，y，z)． (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 P 在坐标轴 或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
标，记作 M(x,y,z) ．其中 x 叫点 M 的横坐标， y 叫点 M 的纵坐标， z 叫点 M 的竖坐标．
(4)空间两点间的距离公式 ① 点 P(x ， y ， z) 到 坐 标 原 点 O(0,0,0) 的 距 离 ， |OP| ＝ x2＋y2＋z2. ②任意两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离， |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
2．归纳总结，核心必记 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直， 且有相同单位长度的数轴： 立了
x轴、y轴、z轴
，这样就建
空间直角坐标系Oxyz.
②相关概念： 点O 叫做坐标原点， x轴、y轴、z轴 叫 做坐标轴．通过 每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分 别称为 xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面．
(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中， 让右手拇指指向
x轴 的正方向，
食指指向 y轴 的正方向，如果中指指向 z轴 的正方向， 则称这个坐标系为右手直角坐标系． (3)空间一点的坐标 空间一点 M 的坐标可以用 有序实数组(x,y,z) 来表示，
有序实数组(x,y,z) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐
讲一讲
2．在空间直角坐标系中，点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴的对称点的坐标； (2)求点 P 关于 xOy 平面的对称点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2， P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不
变，在 y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P1(－2， －1，－4)． (2)由于点 P 关于 xOy 平面对称后， 它在 x 轴、 y 轴的分量不变， 在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为 P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点，由中 点坐标公式，可得 x＝2× 2－(－2)＝6， y＝2× (－1)－1＝－3，z＝2× (－4)－4＝－12， 所以 P3(6，－3，－12)．
全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）
[核心必知]
1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P134～P137，回答下列问题． (1)平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想空间直角坐 标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？
提示：三条交于一点且两两互相垂直的数轴．
(2)建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点 M 对应 的三个有序实数如何找到呢？
[问题思考]
(1)给定的空间直角坐标系下， 空间任意一点是否与有序 实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？
提示：是．给定空间直角坐标系下，空间给定一点其 坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序 实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．
(2)空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？
提示：①M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)； |MN|＝ x1－x22＋y1－y22. ②如图，在 Rt△ P1HP2 中， |P1H|＝|MN| ＝ x1－x22＋y1－y22，根据勾股定理，得 |P1P2|＝ |P1H|2＋|HP2|2 ＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
练一练
1．如图所示，VABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E，F 分别为 BC，CD 的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示 空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．
解：∵底面是边长为 2 的正方形， ∴|CE|＝|CF|＝1. ∵O 点是坐标原点， ∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定 B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－ 1,1,0)． ∵V 在 z 轴上，∴V(0,0,3)．
(3)下图是一个房间的示意图， 我们如何表示板凳和气球的 位置？
[思考 1]
上述(1)中如何确定 A、B 两点的位置？
提示：利用 A、B 两点的坐标 2 和－2.
[思考 2] 上述(2)中如何确定 P、Q 两点的位置？
提示：利用 P、Q 两点的坐标(a，b)和(m，n)．
[思考 3] 对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？
提示：可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系， 如图示．
讲一讲
1．建立适当的坐标系，写出底边长为 2，高为 3 的正三棱 柱的各顶点的坐标．(链接教材 P135—例 1)
[尝试解答] 以 BC 的中点为原点，BC 所 在的直线为 y 轴，以射线 OA 所在的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系，如图． 3 由题意知，AO＝ × 2＝ 3，从而可知各顶点的坐标分别为 2 A( 3， 0,0) ， B(0,1,0) ， C(0 ，－ 1,0) ， A1( 3， 0,3) ， B1(0,1,3) ， C1(0，－1,3)．