高等工程数学考试

解：①设 f(z ) e z f (z ) f (z ) f (z ) e z
e2 f (2) 2 (2) f (2) e f e2 (2) f f (2) f (2) 2 2! e2 f (2) f (2) f (2) f (2) 2! 3! 6 e 2t


k
PJ kP 1
(3)
f ( A) b0 E b1 A b2 A2 bm Am b0 E b1 PJP1 bm PJ m P 1 P b0 E b1 J b2 J 2 bm J m P 1 Pf ( J ) P 1


8、 设 A Cnn， f(λ)是 A 的任一零化多项式， m(λ)是 A 的最小多项式， 试证明： m(λ)| f(λ)。 证：用 m(λ)作除式，f(λ)作被除式，两多项式相除，设商式为 g(λ)，余式为 r(λ)， 则 f(λ)= m(λ)q(λ)+ r(λ) （这里 r(λ)≡0 或 r(λ)是一个次数比 m(λ)低的非零多项式） 下证：r(λ)≡0 反证，r(λ)是一个比 m(λ)次数低的非零多项式。 1 设 r(λ)的最高次项系数为 k(k≠0)，令 r1 ( ) r ( ) k 1 ∴r1(λ)是首一多项式，且 r1 ( A) r ( A) 0 k ∴r1(λ)是 A 的首一零化多项式，而且 r1(A)与 r(A)同次，均比 m(λ)次数低，这与 m(λ)为 A 的最小多项式矛盾！ ∴r(λ)≡0，m(λ)| f(λ)。
2 9、设 x 0 C 3 ，则 3 4i
x 1 2 0 3 4i 2 0 5 7 x 2 2 2 0 2 5 2 29 x

max 2 , 0 , 3 4i 5
10、设 x
(3)求 T2 在基 β1,β2 下的坐标。 思路：T1 在基 β1,β2 下的矩阵 B1
1 1 解：(1)∵ 1 1 (1 2 ) 3
2 2 11 0 2

1 1 ∴ 1 2 1 2 3 1 0 3 1 1 即从 1 , 2 到 1 , 2 的过渡矩阵为 C 3 1 0 3 -1 ∵B1=C A1C
3 ∴ T1 在基 1 , 2 下的坐标为 5 3 (3)∵ 3 31
∴ T2 3T2 1
3 3 又 T2 1T2 2 1 2 2 4
T2 1 31 2 2 ∴ T2 2 31 4 2
∴ T2 3T2 1 91 6 2
9 ∴ T2 在 β1,β2 下的坐标为 6
5、证明：Hermite 阵属于不同特征值的特征向量一定正交。
证：设 A C n n , AH A λ1,λ2 是 A 的两个互异的特征值，对应的特征向量分别取 x 和 y， 则 Ax=λ1x，Ay=λ2y( x, y C n , x , y ) ∵A 为 Hermite 阵 ∴ 1, 2 R ∴yHAx=yH(Ax)=yH(λ1x)= λ1yHx 另一方面，yHAx=yHAHx=(Ay)Hx=(λ2y)Hx= 2 y H x =λ2yHx ∵λ1yHx=λ2yHx ∴(λ1-λ2)yHx=0 ∵λ1-λ2≠0 ∴(x,y)=yHx=0 ∴x 与 y 正交。
a b a b b c 个基，则 。 V ，α 在 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标为 cd c d d
2、 设 α1=(1,1,-2,1),α2=(2,7,1,4), α3=(-3,2,11,-1), β1=(1,0,0,1), β2=(1,6,3,3)， 令 V1=L(α1,
1 1 0 6、设 A 6 2 0 ，求P 将A 相似化简为 Jordan 标准型 J。 0 1 1 1 0 0 1 解：分析，取 J 1 1 0 1 0 0 4 0 0
2
0
0 0 (λ1=λ2=-1, λ3=4 为 A 的1 2 ， 3
1 1 3 3 线性变换 T2 在基 1 1 , 2 2 下的矩阵为 2 4
(1)求 T1+T2 对基 β1,β2 下对应矩阵；
3 (2)设 3 ，求 T1 在基 α1,α2 下的坐标；
1 1 3 4i 1 2 , x 1 ，其中 i2=-1，求 A 11、设 A 1 4i i 4 1 i

, A 1 , Ax
2
解： A max1 1 3 4i , 1 4i 2 , i 4 i max7,7,6 7
P=(x1,x2,x3)——可逆阵，
Ax 1 1x 1 x 2 P 1AP J AP PJ Ax 2 1x 2 x 2是A对应1的特征向量 x 3是A对应3的特征向量 Ax 3 3x 3 A 1E x 1 x 2 A 1E x 2 A 3E x 3 ，x 3是 A 3E x 的一个非零解 A E 2 x 1 1 A 1E x 1 x 2 A 3E x 3
1
1 1 1 2 或设 1 2 1 2 C ，即 1 2 C ，求出 C 2 1
a b 1 * 1 d b 1 C c d C c C ad bc c a
(k )
2k 1 3k (1) ( k ) k k 1 k sin 2i k 1 k
i 2 3i C 3 (k=1,2,3…)，则 lim x ( k ) 1 2i x* 。 k 0
A 1 max3,9,8 9
3 4i Ax 3 4i , 4
Ax
2

52 52 42
66 。
2 1 2 12、已知 A ，求①eA, ②eAt, ③sinA 1 2 1 2
∴r(A)=3 ∴r(α1, α2, α3, β1, β2)=3 ∴dim(V1+V2)=3 可选{α1, α2, β1}为 V1+V2 的基 (2)∵dim V1=r{α1, α2, α3}=2,dimV2=r{β1, β2}=2 ∴dim(V1∩V2)=dimV1+dimV2-dim(V1+V2)=2+2-3=1 。 3、设 V 是数域 F 上的 n 维线性空间，T 是 V 的一个线性变换，证明 （ 1 ） dimT(V)+dimker(T)=n 。 （ 2 ） 若 T 在 1 , 2 , , n 下 对 应 矩 阵 为 A ， 则
rankT=dimT(V)=r(A)。
证：令 t=dimker(T) 取 1,2 , ,t 是 ker(T)的一个基， 扩充得 1,2 , ,t ,t 1 ,n 是 V 的一个基。 下证T t 1 T n 是 T(V)的一个基 （略）
4、设 V=R 中线性变换 T1 在基 1 2 , 2 1 下的矩阵为 2
即可求P。
1 1 1 1 1 J1 ，求 A100 7、已知 A J2 1 1 1 1 1 100 100 解：设 f(λ)= λ ，则 A =f(A)= f(1) f (1) f(1) f (1) f (1) f ( 1) f (J 1 ) 2! f ( J ) f (1) 2 f (1) f(1) f (1) f (1) f(1) 2! 1 1 100 100 99 100 1 2 1 100 1 100 99 100 1 2
α2, α3)，V2=L(β1, β2)， (1)求 dim(V1+V2)及 V1+V2 的一个基； (2)求 dim(V 1 V2 ) 。 解：(1)对下列矩阵施行如下初等行变换
1 2 1 7 T T T T T A (1 2 3 1 2 ) 2 1 1 4 1 2 3 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 5 5 2 5 0 0 5 5 1 5 0 3 1 1 1 2 2 0 6 0 5 11 0 3 0 5 1 1 3 0 2 2 3 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 3 5 5 2 2 1 0 0 1 1 5 ' 2 5 0 2 3 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1
《高等工程数学》训练题
I、矩阵论部分
1、 在线性空间 V=R2
×2
中， 1 0
1 0 1 1 1 1 1 1 , 2 , 3 , 4 1 1 是 V 的一 0 0 0 1 0
注：当 A C
nn
为一个普通方阵时，计算 f(A)的步骤
J1 (1)求 A 的 Jordan 标准形 J
(2)求一个可逆阵 P，使得
J2
JS
P 1 AP J A PJP1 A 2 PJP1 PJP1 PJ 2P 1 A k PJP1
3 (2) ∵ 3 1 2
∴ T1 T11 T1 2
T11 1 2 2 1 2 ∵(T11 ,T1 2 ) (1 , 2 ) 2 3 T1 2 21 3 2
∴ T1 1 2 2 21 3 2 31 5 2