《高数下》讲义笔记习题答案

22
111~2
x y x y +-课时一
多元函数（一）
考点
重要程度分值
常见题型1.重极限
★★
3~0选择、填空2.偏导数，全微分，隐函数求偏导必考
10
~6大题
一、重极限
题型1.有理化
(,)(0,0)(,)(0,0)24(24)(24)
lim lim
(24)x y x y xy xy xy xy xy xy →→-+-+++=++41
421lim )42(lim
)0,0(),()0,0(),(-
=++-=++-=
→→xy xy xy xy y x y x 题型2.重要极限公式
2lim sin lim sin lim )0,2(),()0,2(),()0,2(),(===→→→x x y
x xy y xy y x y x y x 题型3.无穷小替换
12
1lim 21lim 111lim
)0,2(),(2
)0,2(),(2
)
0,2(),(===--+→→→x xy y x e y x y x y x xy y x ☆重要极限公式
1）1
sin lim 0=→x
x
x 2）e
x
x x x x
x =+=+∞→→)1
1(lim )1(lim 1
0☆无穷小替换公式：当0→x 时
1)1~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~-+x
e x x x x x x 2)
x x 2
1~
11-+22
1~
cos 1x x -0sin lim
1
xy xy
xy →=这里的x 要当做是一个整体，比如若
0xy →，xy 作为一个
整体也满足这些公式。

1~xy e xy
-22
()()a b a b a b +-=-
x
xy x
z 863+=∂∂2292z
x y y ∂=-∂二、偏导数、全微分、隐函数求导（对某个变量求导的时候，其余变量均看作常数）
题型1.6243232+-+=y x y x z ，求：①x
z ∂∂，
y
z ∂∂②在（1,1）点偏导
解：①②题型2：2
2
4
4
4y x y x z -+=，求22x z ∂∂，y x z ∂∂∂2，22y z ∂∂，
x
y z
∂∂∂2解：
2384xy x x z -=∂∂，2384yx y y z
-=∂∂则2
22
2812y x x z -=∂∂，
xy y x z 162-=∂∂∂2
22
2812x y y
z -=∂∂，xy x y z 162-=∂∂∂题型3.设y x
z arcsin
=，)0(>y ，求dz 解：
22
2
1111()z
x
y
x y x y
∂==∂--222
2
(1()z x y
y x y y x y
∂=-
=∂--dy
x
y y x dx x
y dz 2
2
2
2
1--
-=
题型4.x
y
z arctan =，求(1,1)dz 解：
222
2(1,1)
11
(2
1()z y y y x x x y x ∂=⋅-=-=-
∂++2
2
2(1,1)
1112
1()z x y y x x y x
∂=⋅==
∂++1122
dz dx dy
=-+1()()1
(ln )()ln u x x
x x
x x e e x x a a a
μμ-'='='=
'=2
2(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc x x x x x x x x
'='=-'='=-2
2
(sec )sec tan 1(arctan )11(arcsin )1x x x x x x x
'='=+'=
-2
2
1(arccot )11(arccos )11(log )ln a x x x x x x a
'=-+'=--'=
注意：千万不要忘了写成全微分形式
注意：
y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2在区域D 内连续，则x
y z
y x z ∂∂∂=∂∂∂223(1,1)6814
z xy x x
∂=+=∂22(1,1)927
z
x y y
∂=-=∂
隐函数解题方法：
1）构造函数),,(z y x F ；2）求x
F y
F z
F 3）z
x
F F x z
-=∂∂z
y F F y z
-=∂∂题型5：63sin 3=--+z e z y x ，求x z ∂∂，y
z ∂∂解：令6
3sin 3
---+=z
e z y x F x F x cos =，3=y F ，23z
z F z e =--由公式法得
2cos 3x z
z F z x
x F z e ∂=-=∂+23
3y z z F z y F z e
∂=-=∂+题型6：设
ln x z
z y
=，求(0,1)dz 解：将(0,1)点带入方程得1z =，得这个点(0,1,1)
令ln ln ln x z x
F z y z y z
=
-=-+(0,1,1)11x F z =
=，(0,1,1)
1
1y F y
==，(0,1,1)
22
11
z x x z
F z z z +=-
-=-=-由公式法得
1x z
F z
x F ∂=-=∂1y z
F z
y F ∂=-=∂dz dx dy
=+练习1.1：2sin 2xy z x y e =-，求
x z ∂∂，y
z
∂∂练习1.2：求222z y x u ++=，求(1,1,1)
du -练习1.3：设ln x z
z y
=，求22
z x ∂∂练习1.4：设()y x z ,由方程()11
sin =--
xy
z xyz 所确定，求(0,1)dz 。

别忘了负号
课时二
多元函数（二）
考点
重要程度分值
常见题型1.复合函数求偏导必考6~10大题2.偏导，连续，可微关系
★★
0~3
选择、填空
一、复合函数求偏导（先画出关系链，同路相乘，不同相加）
题型1.2u v z e -=，u x y =+，v xy =，求z x ∂∂，z y
∂∂解：
z z u z v
x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅
∂∂∂∂∂222u v u v e e y --=-⋅2(12)
x y xy e y +-=-z z u z v
y u y v y ∂∂∂∂∂=⋅+⋅
∂∂∂∂∂222u v u v e e x --=-⋅2(12)
x y xy e x +-=-题型2.),(22xy e y x f z -=，求x z ∂∂，y
z ∂∂解：22,xy
u x y v e =-=122xy z f u f v
f x f ye x u x v x
∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂122xy xf ye f ''=+12(2)xy z f u f v f y f xe y u y v y
∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅-+⋅∂∂∂∂∂'
2'12f xe yf xy +-=题型3：设),(y
x
x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求
y x z ∂∂∂2解：f x
y
u
v
x
y 12f f f ''、、具有相同的关系链
z x
y
u
v
x
y f
21222(
)
11(z
f f z v v x f x y y v y y y v y
∂∂''∂∂∂∂∂∂'==⋅+-+⋅⋅
∂∂∂∂∂∂∂u
v
,x u x v y
==
122222231x x
f f f y y y
"'"
=---x
y
z f u f v
x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅
∂∂∂∂∂121f f y
''=+12222
222
11()()()x x f f f y y y y "'"=⋅-
+-⋅+⋅-
二、偏导，连续，可微的关系（背诵）
练习2.1：22v u z +=，22y x u +=，2
v x =，求
x z ∂∂，y
z ∂∂练习2.2：设),2(2x y x xf z =，其中f 具有二阶连续的偏导数，求
y
x z
∂∂∂2练习2.3：考虑二元函数的下面四条性质:(1)(,)f x y 在点00(,)x y 连续；(2)(,)(,)x y f x y f x y 、在点00(,)x y 连续；(3)(,)f x y 在点00(,)x y 可微分；
(4)0000(,)(,)x y f x y f x y 、存在.
若用""P Q ⇒表示可由性质P 推出性质Q ，则下列四个选项中正确的是（）（A）(2)(3)(1)⇒⇒(B)(3)(2)(1)⇒⇒(C)(3)(4)(1)
⇒⇒(D)(3)(1)(4)
⇒⇒偏导存在
偏导连续
连续
可微
20AC B -=课时三
多元函数(三)
一、梯度记作：00(x ,y )gradf 或00(x ,y )f ∇。

方向导数记作：
00(x ,y )
f l
∂∂题1：332++=yz xy u 在点)1,1,2(-处的梯度。

解：
2(2,1,1)1
u
y x
-∂==∂3(2,1,1)(2)3
u
xy z y
-∂=+=-∂2(2,1,1)33
u
yz z
-∂==-∂(2,1,1)(1,3,3)
gradf -=--题2：y xe z 2=在)0,1(p 到)1,2(k 的方向导数解：1
)
0,1(2==∂∂y
e x
z 2
2)
0,1(2==∂∂y xe y
z
()
1,1Pk =
22l e = ，()
1,01132
(1,2)(222
l f gradf e l
∂=⋅=⋅=
∂ 二、多元函数的极值
一般极值求解方法：
1
求驻点：()()00,0
(,),0
x y f x y x y f x y '=⎧⎪⇒⎨
'=⎪⎩2求xx f A =xy f B =yy
f C =3
对每一个驻点00(,)x y 判定2
AC B -，有极值，且，无极值，不确定
考点
重要程度分值
常见题型1.梯度，方向导数★★★0~3选择、填空、大题
2.多元函数极值
必考
6~10
大题
方向导数解题方法：1.求在P 点梯度
2.求pk 的单位向量l
e
3.l f
gradf e l
∂=⋅∂ （梯度点乘l
的单位向量）
梯度解题方法：
梯度
),,(
z
u
y u x u gradf ∂∂∂∂∂∂=（注：梯度为各偏导组成的向量）
驻点：
满足一阶偏导
同时为0的点
)
2,1(=gradf 0, 0A >⎧⎨
<⎩有极小值
，有极大值
2
0AC B ->20AC B -<
题1：()x y x y x y x f 933,2233-++-=的极值(一般极值)
解：⎩⎨⎧=+-='=-+='0
6309632
2y y f x x f y x 得驻点：(1,0), (1,2), (3,0), (3,2)
--66xx A f x ''==+0xy B f ''==66yy
C f y ''==-+在（1,0）点，2126720AC B -=⨯=>，有极值，且012>=A ,有极小值5)0,1(-=f 在（1,2）点，02<-B AC ，无极值在（-3,0）点，02<-B AC ，无极值
在（-3,2）点，0722>=-B AC ，有极值，且012<-=A ,有极大值31)2,3(=-f 题2.：将正数a 分为三个非负数之和，使它们乘积最大。

（条件极值）
解：设三个数分别为z y x ,,目标函数：xyz f =条件函数：a z y x =++构造拉格朗日函数：
()
L xyz x y z a λ=+++-000
0x y z L yz L xz L xy L x y z a λ
λλλ=+=⎧⎪
=+=⎪⎨
=+=⎪⎪=++-=⎩为唯一极值点
故所求乘积最大：3
(x,y,z)33327
a a a a f =⋅⋅=
条件极值求法：
1确定目标函数()z y x f ,,2确定条件函数()z y x g ,,3
构造拉格朗日函数
()()
z y x g z y x f L ,,,,λ+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====0
000λ
L L L L z y x )
,,(000z y x 即为所求极值点。

选择题中常考知识点：1.驻点一定是极值点（×）（若02<-B AC ,则无极值）2.极值点一定是驻点（×）
（极值点存在：1.驻点
2.一阶导数不存在的点）
3.可导函数的极值点一定是驻点（√）
（去掉了一阶导数不存在的情况）
注意把a 移项
3
a x y z ⇒===
练习3.1:23(,,)f x y z x yz =,求在(1,1,1,)的梯度
练习3.2：2243y x xz z u ++-=在()111，，
M 沿()221，，的方向导数练习3.3：求函数122+-+++=y x y xy x z 的极值
练习3.4：求函数xy z =，在附加条件1=+y x 下的最大值。

练习3.5：周长为2P 矩形，绕一边旋转一周得到圆柱，求圆柱体积最大。

练习3.6：22333y x x z --=在16:22≤+y x D 上的最大值和最小值（提升）
a
c 课时四
空间几何向量
一、向量（点乘、叉乘）题型1：k
j i a
23--=k j i b -+=2求①a
b ②单位向量a e ③b a
⋅及θcos 解：()2
223(1)291414
a =+-+-++ ()2
221211416b =++-=++ ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--==142,141,143a a e a
()()3,1,21,2,13223
a b ⋅=--⋅-=-+=
cos 146221a b a b
θ⋅==⋅ 向量叉乘（向量积）（必考点）★
题型2：计算32a i j k
=--
2b i j k =+-
，求a b
⨯ 解：考点
重要程度分值
常见题型1.向量（点乘、叉乘）★★★
0~3选择、填空2.空间平面与直线
★★★★★0~7大题
3.空间曲线的切线与法平面★★★0~6选择、填空或大题
4.空间曲面的切平面与法线
★★★
0~6
向量点乘公式：
θ
cos ⋅⋅=⋅b a b a
()111,,z y x a =
()
222,,z y x b = 2
12121z z y y x x b a ++=⋅
21
2121z y x a ++= )
,,(111a
z a y a x e a
=熟练以后可省略
a c ⊥且b
c ⊥（即垂直于a 和b
所在的平面）
注：经常用于求平面的法向量
注：叉乘是个向量
注意第二项是负号
k j i k j i k
j i b a
752
113112312211
21213++=-+------=
---=⨯)
7,1,5(=⨯b a
a b ⨯
b
3680
x y z --+=二、空间平面与直线1)空间平面及其方程
()000,,z y x P ()
C B A n ,,=
化简得0000
Ax By +0Ax By Cz D +++=（一般式）
2）空间直线及其方程
1）对称式方程
()000,,z y x P ()
C B A s ,,=
2）一般式：⎩⎨⎧=+++=+++00
22221111
D z C y B x A D z C y B x A 3）参数方程⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=00
0z
Ct z y Bt y x At x 题型1:求过3个点()111，，A ()222，，--B 和()211，，-C 的平面方程
解：(3,3,1)AB =-- (0,2,1)
AC =-
故AC AB ⨯就是该平面的一个法向量。

()
3311,3,60
21
i j k
n AB AC =⨯=--=--
所求平面方程为
()()()131610x y z --+-+-=题型2：已知平面05=++-z y x 和036485=++-z y x 求其交线对称式方程和参数方程
解⎩⎨⎧=++-=++-03648505z y x z y x 则⎩⎨⎧-=-=)4,8,5()1,1,1(n n
k j i k j i n n s 344
8511121-+=--=⨯=任意一点
点法式方程
n
求出方向向量平面的任意法向量
对称式方程
平行于直线的任何一个方向向量
直线上任意一点
两个平面的交线
()()()0000
A x x
B y y
C z z -+-+-=)
,,(000z y x p C
z z B y y A x x 0
00-=-=-⇒
)
,,(000z y x p s
(16,0,11)
⇒-令0=y ⎩⎨⎧=++=++⇒0364505z x z x 解方程得⎩
⎨⎧=-=1116
z x 则直线方程：
3
11
1416--==+z y x 令：
得参数方程为题型3：求直线
21
131
x y z -+==
-与平面30x y z ++=的交点坐标。

解：
21131
x y z t -+===-得231x t y t z t =+⎧⎪
=⎨⎪=--⎩
带入平面方程得()23310
t t t +++--=解得1
t =故交点为()
3,3,2-题型4：求点()1,2,1到平面01022=-++z y x 的距离解：由距离公式知
1
22110
1222112
22=++-⨯+⨯+⨯=
d 题型5：求曲线t t z t y t x +===223,2,在1=t 处的切线和法平面解：当1=t 时，得点()
4,2,1P ⎪⎩
⎪
⎨⎧=+='=='='716441t z t y x 则()
7,4,1==n s
故切线为
7
4
4211-=-=-z y x 法平面为()()()0
47241=-+-+-z y x 求出一点
s
n =空间曲线
法平面
切线
点到平面的距离公式：
000222
Ax By Cz D
d A B C +++=
++416
311x t y t
z t =-⎧⎪
=⎨⎪=-+⎩
t z y x =--==+3
111416
5.空间曲面的切平面与法线
题型6：求24z e z xy -+=在点()210，，处的切平面与法线解设24
z F e z xy =-+-则⎪⎩⎪⎨⎧=-=====1
1221z
z y x e F x F y F ()1,2,1==⇒n s 即切平面为()()2210
x y z -+-+=法线为
z y x =-=-2
1
12法向量和方向向量求法：1构造F
2求,,x y z
F F F 3
()
,,x y z s n F F F ==
M 点求出的切平面的法向量n 即是法线的方向向量s
练习4.1：已知(2,1,1)a =-
，(1,1,2)b =- ，求a b
⨯ 练习4.2：已知平面062
1
6=---
z y x 1平面的法向量2在平面上找一点
3
求过点()3,0,1-且与已知平面平行的平面
练习4.3：过点()2,1-1，且平行于直线⎩
⎨
⎧=+-+=--+0120
12z y x z y x 的直线练习4.4：求通过两平行直线
3232x y z ++==-和34132
x y z ++==+-的平面方程练习4.5：求出曲线23,,x t y t z t ===上的点，使在该点的切线平行于平面24x y z ++=练习4.6：求曲面2242z y x +=在点)6,1,1(处的切平面及法线方程
s
2
2
2111
1
231121192
28D
x
x
xydxdy
dx xydy xy dx x x dx ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰
x y
=左课时五
二重积分
一、直角坐标系下的计算
记作：()⎰⎰d y x f σ
,题1：计算⎰⎰D
xydxdy ，其中D 的1=y ，2=x ，x y =围成.
考点
重要程度
分值
常见题型
1.直角坐标下计算必考
10~15
大题
2.极坐标下计算
()y x f ,被积函数dxdy d =σ面积元系D 为积分区域
1.画出区域D 图形
2.写范围
x 型
21:→x x
y →1:y 型
:12
y →:2
x y → 3.代入计算
注：二重积分中，被积函数必须保留至第三步计算
x
y
1
2
2
x =右y
x
1
2
=1
y 下y x =上
(,)R
D
f x y dy
-题2.写区域范围专项练习：计算()⎰⎰D
d y x f σ
,(1)D 为x y =2，2-=x y 围成
(2)D 为222x y R +=
围成
(,)(,)R R
D
f x y dxdy dy f x y dx
-=⎰⎰⎰
⎰
2
221
(,)(,
)y y D
f x
y dxdy dy f x
y dx
+-=⎰⎰
⎰⎰
y 型：2:12
:2
y x y y -→→+R
(1,1)
-(4,2)
R
-R
R
-1
2
140
1
2
(,)(,)(,)(,)(,)D
D D x f x y dxdy
f x y dxdy f x y dxdy
dx f x y dy dx f x y dy
-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1
D (1,1)
-(4,2)
2D
补充知识点：极坐标
θ
ρ
解：22)D
dxdy
⎰⎰22D
D
dxdy dxdy
=+⎰⎰2D
dxdy =⎰⎰2D
dxdy
=⎰⎰2212ππ
=⋅⋅=1)若被积函数关于x 为奇函数，且积分区域D 关于y 轴对称，则积分为02)若被积函数关于y 为奇函数，且积分区域D 关于x 轴对称，则积分为03)若被积函数(x,y)1f =，则D
dxdy A =⎰⎰（区域D 的面积）
题4：31
1
(,)x dx f x y dy -⎰⎰
交换积分次序
1：根据范围，画出区域
2：把范围写成y 型
:13
:01
x y x →→-⇒
1,30,1x x y y x ====-3：代入原式
31
2
31
1
(,)(,)x y dx f x y dy dy f x y dx
-+=⎰⎰
⎰⎰
二.极坐标下的二重积分（大题中必考）
2.什么是极坐标
①用θ和ρ表示的函
数
②ρ是原点到函数上点的长度③θ是和x 轴夹角
1.直角坐标转化极坐标
方法：令⎩⎨
⎧==θ
ρθ
ρsin cos y x 例422=+y x →4sin cos 2222=+θρθρ得2=ρ（极坐标）
13
即把原来x 型转化成y 型，
或者把原来y 型转化成x 型。

:02:13
y x y →+→
题2.求dxdy
y x D
⎰⎰+22D 为122=+y x 和422=+y x 围成的第一象限的部分.
解：①画出区域D ②写出θ和ρ范围③代入公式计算
极坐标求二重积分方法：①画出区域D ②写出θ和ρ范围:
θ:21θθ→（常数）ρ：()()θρθρ21→（函数）③代入公式
()()()
()
2
21
1,cos ,sin D
f x y dxdy
d f d θρθθρθθρθρθρρ
=⎰⎰⎰⎰
题1：求dxdy y x D
⎰⎰+22其中D 为4
22≤+y x 解：①画出区域D
②写出θ和ρ范围
θ
ρ
4
22≤+y x π
θ20:→（覆盖整个圆区域）2
0:→ρ（任意角度θ，画出ρ）
③利用公式带入计算
222222220
02
22
22
30
cos sin 131162833
D
x y dxdy
d d d d d π
ππθρθρθρρ
θρρρθπ
π+=+⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦=⨯⨯=
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
1
1=ρ2
2=ρ6
7sin cos 2
1
22
2
1
22222
22πρρθρ
ρθρθρθππ
=
=+=+⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
d d d d dxdy y x D
⎪⎩⎪⎨⎧
→→2
120：：ρπθ
题3.求dxdy
y x D
⎰⎰+22D 为()1122
=+-y x 围成的区域.
解：①画出区域D ②写出θ和ρ范围③代入公式计算
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习题答案
练习5.1：计算二重积分()σd x D
⎰⎰-1区域D 由2x y =和x y =所围成的第一象限部分.
练习5.2：交换积分次序⎰⎰
20
22),( y
y dx
y x f dy 练习5.3：计算二重积分1
1
sin y x
dy dx x
⎰
⎰
练习5.4：求2
2
x
y D
e dxdy +⎰⎰D 为222x y a +≤围成的区域。

练习5.5：求dxdy
y x D
⎰⎰+22D 为22(1)1x y +-=围成的区域。

2202cos ππθρθ
⎧-→⎪⎪⎨⎪⎪→⎩：：ρθ
9
32cos 380cos 23
122322
3cos 20
2222===⋅=+⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
---π
πππθ
π
πθθθ
θρρ
ρρθd d d d dxdy
y x D
()1
1221
2x
dx
x x xy y y dy -=
--+-=
课时六
三重积分
一、直角坐标下计算方法
记作：dv z y x f ⎰⎰⎰Ω
),,(，
题型1：计算dv y x ⎰⎰⎰Ω
+)(，其中Ω为平面，0,0,0x y z ===1=++z y x 在第一象限部分。

1）画出立体图，确定z 的范围
dv y x ⎰⎰⎰Ω
+)(dz
y x dy dx ⎰
⎰
⎰
+=
()11100
x
x y
dx x y z dy
---=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰
考点
重要程度
分值
常见题型
1.直角坐标下计算必考
10~15
大题
2.柱坐标下计算
),,(z y x f 是被积函数，Ω为积分区域，dxdydz
dv =:01z x y
→--1z x y =--上面
二、柱面坐标系下计算三重积分（很重要，一定要学会）
题型1：计算⎰⎰⎰Ω
.zdxdydz 其中Ω是由曲面22y x z
+=与曲面4=z 围成.
1）画出立体图，确定z 的范围
2）投影到xoy 面，确定θ和ρ的范围
3）代入公式求解
zdxdydz
Ω
⎰⎰⎰2224
d d zdz
πρ
θρρ=⎰⎰⎰2
22
2400164
[]23
d z d π
ρθρρπ==⎰⎰
222:4
4
z x y ρ+→→范围:02:02
θπρ→→
题型2.计算⎰⎰⎰Ω
zdxdydz .其中Ω是由222z x y =--及22y x z +=围成
解：1）画出立体图，确定z 的范围
2）投影到xoy 面，确定θ和ρ的范围
3）代入公式
原式2
2
21
200zdxdydz d d zdz
π
ρρθρρ-Ω
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰()1
2401722212
d ππρρρρ=--=⎰
题型3.设Ω是由抛物面22y x z +=与平面1=z 所围成的立体.求Ω的体积解：
2211
1
2
2401112(1)202
42V dv d d dz
d πρ
θρρπ
πρρρπρρΩ
==⎛⎫=-=-=
⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰z 的范围：2
2
2
2
2x y x y
+→--22
:2z ρρ→-补充知识点：若被积函数(,,)1f x y z =，则dxdydz V Ω
=⎰⎰⎰（Ω的体积）
熟练之后
解题步骤的文字可以不用写
22
z x y =+下面练习6.1：计算三重积分⎰⎰⎰Ω
xdxdydz ，其中Ω为三个坐标面与23
z
x y ++
=围成。

练习6.2：计算三重积分2z dV Ω
⎰⎰⎰，其中Ω是由22z x y =+及2z =围成
练习6.3：计算⎰⎰⎰Ω
+dV y x )2(2，其中Ω是由平面4=z 及曲面22y x z +=所围成的区域
:02:01
θπρ→→221
x y +=22
2z x y =--上面1
2≤≤z ρ:02:01
θπ
ρ→→
课时七
第一类曲线积分
一、第一类曲线积记作()ds y x f L ,.
①画图.
确定L 的函数确定积分区间(,)
a b ②计算ds
③代入公式，计算(,)L
f x y ds ⎰.
()12:L y f x x x x ⎧=⎪⎨→⎪⎩：()dx
x y ds 2
1'+=()()2
1
2,1x x f x f x y x dx '=+⎡⎤⎣⎦
⎰)
(21x x <()12:L x f y y y y ⎧=⎪⎨→⎪⎩：()dy
y x ds 2
1'+=()()21
2,1y y f f y y x y dy '=+⎡⎤⎣⎦
⎰
)
(21y y <()()2
1:t t t t y y t x x L →⎩⎨
⎧==：()()dt
t y t x ds 2
2
'+'=()()()()2
1
22,t t f x t y t x t y t dt ''=+⎡⎤⎣⎦⎰)(21t t <题型1.ds y x L
⎰+)(其中L 为连接)0,1(A 与)1,0(B 两点的线段。

①画图，确定L 和(,)a b ②计算ds
③代入公式计算
1
()[(1)]
22
L
x y ds x x dx +=+-+=⎰⎰考点
重要程度
分值
常见题型1.第一类曲线积分★★★★8~3选择填空或大题
2.第二类曲线积分★★★★★10~6大题
3.格林公式
★★★★★
10
~6注1：积分区间（下限小于上限），不论起点和终点
1
1
y
O
A B x
:1
:01
L y x x =-+⎧⎨
→⎩1
y '=-221(1)2ds dx dx
=+-=注2：
被积函数利用L 的函数进行替换，把所有变量变成统一
区分：
1.二、三重积分的被积函数不能动
2.曲线积分的被积函数一定化成统一（因为曲线积分，所有点都在L 的函数上，但是二、三重积分的点是在区域内）
()
1
20
1
145112
y dy =+=
⎰题型2.L
xds ⎰
其中L 为抛物线2x y =所从()0,0到()1,1的一段弧
①画图，确定L 和(,)a b ②计算ds
③代入公式计算
题型3：设L 为椭圆22
143
x y +
=的周长，则求ds y x L ⎰+)43(22解：22
2212()1213412
43
x y x y ⨯+=⨯⇒+=22(34)1212L
L
x y ds ds L
+==⎰
⎰题型4：设L 为221x y +=的周长，则求()L
x y ds
+⎰解：()0
L
L
L
x y ds xds yds +=+=⎰⎰⎰练习7.1：计算ds e
L
y x ⎰+2
2.其中L 为222a y x =+.x y =及x 轴在第一象限内所围成边界
练习7.2:设L 为221x y +=下半圆圆周，求ds
y x L
⎰+)(22练习7.3：设平面曲线22
:1916x y L +=，则2(43)________________L
x y ds +=⎰ （设曲线长为)a 若被积函数(,)1f x y =，L
ds L =⎰（积分弧段的长度）
2
:L x y =y :01
→1.若被积函数(,)f x y 关于x 为奇函数，积分曲线L 关于y 轴对称，则(,)0
L
f x y ds =⎰2.若被积函数(,)f x y 关于y 为奇函数，积分曲线L 关于x 轴对称，则(,)0
L
f x y ds =⎰221(2)L xds y y dy
=+⎰
⎰
:2L x y '=21(2)ds y dy
=+()
1,1
}{[(),()]()[(),()]()t t P x t x t x t Q x t y t y t dt
''=⋅+⎰
终
起
课时八
第二类曲线积分
二、第二类曲线积分，记作(,)Q(,)L P x y dx x y dy
+⎰①画图确定L 的函数确定起点和终点
②将所有变量化为统一，计算(x,y)dx Q(x,y)dy
L
P +⎰:():L y f x x x x =⎧⎨
→⎩起终将所有y 换成x（(),dy ()d y f x f x x '==）
:():L x f y y y y =⎧⎨
→⎩起终
将所有x 换成y（'(),d ()d x f y x f y y ==）
(t):(t)t :t x x L y y t
=⎧⎪
=⎨⎪→⎩起
终将所有x,y 换成t（(),().....(),()x x t dx x t dt y y t dy y t dt ''====）
题型1：计算()()L
x y dx x y dy -++⎰其中L 从(0,0)沿2y x =到(1,1)
解：①画图，确定L 和(,)
a b ②统一变量，代入公式计算
考点
重要程度
分值
常见题型1.第一类曲线积分★★★★8~3选择填空或大题
2.第二类曲线积分★★★★★10~6大题
3.格林公式
★★★★★
10
~6注1：只论起点和终点，不论大小
注2：变量代换2y x ↔2dy xdx
=[][]{}=,(),()()x x P x f x Q x f x f x dx
'+⎰
终
起
()()()1
22
12302423x x x x x dx x x x dx ⎡⎤=-++⎣⎦=++=⎰⎰()()L
x y dx x y dy
-++⎰}{[(),]()[(),]y y P f y y f y Q f y y dy
'=⋅+⎰
终起
2
::01
L y x x ⎧=⎨
→⎩(2,4)
A
B
1
1
2
41
1
4225
L
xydx y y ydy y dy --=⋅⋅==
⎰
⎰⎰2::11
L x y y ⎧=⎨
-→⎩题型2.计算L
xydx ⎰，其中L 是抛物线x y =2上从(1,1)A -到(1,1)B 上的一段弧
解：①画图，确定L 和(,)
a b ②统一变量，代入公式计算
注：没有(,)Q x y dy 项，默认为0，不用管
练习8.1：计算
2()L
x y dy -⎰
,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；
练习8.2：计算()()L
x y dx y x dy ++-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧。

课时九格林公式
格林公式（可以看做第二类曲线积分的简便算法）
题型1：常规型
例：计算曲线积分()()dy x x dx y xy L
4222-+-⎰，其中L 为222R y x =+.L 为逆时针
解：L 为封闭圆周曲线，故运用格林公式
题型2：缺线补线型
例：计算()()dy y e dx y y e x L
x 2cos 2sin -+-⎰.其中L 为逆时针上半圆周()222
a y a x =+-.0≥y .
解：半圆周不是封闭曲线，补齐有向线段1L ，构成封闭曲线。

若积分弧段L 为封闭的曲线
L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ⎛⎫
∂∂⇒+=- ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰1)D 是L 围成的区域
2)格林公式是把第二类曲线积分
转化成了二重积分计算其结果3)注意P 和Q 对应的位置
注：如图，人沿L 方向走，D 左手边，为正，反之则为负
L
D Pdx Qdy
Q P dxdy
x y +⎛⎫
∂∂=-- ⎪∂∂⎝
⎭⎰
⎰⎰★为负的情况一般不考
222
x y R +=1
L D
L
y xy p 22-=()()2
224L D
Q P xy y dx x x dy dxdy x y ⎛⎫
∂∂-+-==-
⎪∂∂⎝⎭
⎰⎰⎰ sin 2cos 2x
x P e y y P
e y y
=-∂=-∂x x Q 42
-=()()22422222D
D
x x dxdy dxdy A R π=---=-=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰42-=∂∂x x
Q
22-=∂∂x y
P
cos 2,cos x x Q e y Q
e y x
=-∂=∂
由格林公式得
1
221
(e siny 2y)(e cos 2)(
222x x L L D
D
Q P dx y dy dxdy dxdy a a x y ππ+∂∂-+-=-==⋅=∂∂⎰
⎰⎰⎰⎰题型3：积分与路径无关型:（若
Q P
x y
∂∂=
∂∂,则L Pdx Qdy +⎰与积分路径无关，只与起点和终点有关）例：设L 为圆周24y x x =-从（0,0）到（2,2）的一段弧，求2(x y)(x siny)dy L
dx --+⎰，（解析：若按照第二类曲线积分公式计算，由于被积函数和积分弧段函数复杂，太麻烦）解：
取O A B →→路径在OA 上积分
0::02
y OA x =⎧⎨
→⎩2
220
8(x y)dx (x siny)dy 3
OA
x dx ⇒--+==
⎰⎰在AB 上积分
2:02
:x y AB =⎧⎨
→⎩2
20
()(siny)dy (2siny)dy cos 25
AB
x y dx x ⇒--+=-+=-⎰⎰则87
=++cos 25cos233
AB OA AB =-=-
⎰⎰⎰然后计算在1L 上的计算积分值
1:0
:02L y x a
=⎧⎨
→⎩代入()()1
sin 2cos 20
x
x L e
y y dx e y dy -+-=⎰1
1
20L
L L L a a ππ+∴=-=-=⎰
⎰
⎰
代入0y =，被积函数为0
代入0y =为常数，故0dy =，含dy 的项为0
A
B
2p x y
=-(x siny)
Q =-+1Q p
x
y
∂∂=
=-∂∂故积分与路径无关
练习9.1:计算22
(2)()L
xy x dx x y dy -++⎰
，其中L 由22y x x y ==和围成逆时针方向练习9.2：计算22()(sin )L
x y dx x y dy -++⎰，其中L 沿22y x x =-由(0,0)到)0,2(的弧段
练习9.3：计算2322(6)(6x y 3xy )dy L
xy y dx -+-⎰，其中L 为(1,2)到(3,4)的直线
课时十
第一类曲面积分
1.第一类曲面积分，记作：()⎰⎰∑
ds
z y x f ,,题型1.⎰⎰∑
zds .其中∑为22z x y =+上对应10≤≤z 的部分
解：
2)计算
2
2y x x
z x +=
2
2
y
x y z y +=
22
2
2
2222112x y ds z z dxdy
x
y
dxdy dxdy
x y x y =++⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭3)画出投影图
4)将22z x y =+和2ds dxdy =代入公式计算
21
22
022223
xy
D zds x y
dxdy d d π
π
θρρρ∑
=+=⋅=⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰考点
重要程度
分值
常见题型1.第一类曲面积分★★★8
~3选择填空或大题
2.第二类曲面积分★★★
6~15
大题
3.高斯公式
★★★★★
第一类曲面积分解题步骤：
1)确定积分曲面∑：()
,z z x y =2)计算22
1x y ds z z dxdy
=++3)将∑投影，确定区域xy
D 4)代入(),1x y z z x y ds z z dxdy
⎧=⎪⎨=++⎪⎩，
()()22
,,,,,1xy
x y D f x y z ds f x y z x y z z dxdy ∑=
++⎡⎤⎣⎦
⎰⎰⎰⎰
221
x y +=投影区域xy D ：:02:01
θπ
ρ→⎧⎨
→⎩1)积分面函数Σ：2
2
z x y
=+d s
题型2.设∑：()02222≥=++z a z y x 则求()222x y z ds
∑
++⎰⎰解：
若被积函数(,,)1f x y z =，则ds A ∑
=⎰⎰（积分曲面∑的面积）
练习10.1.计算()22x y ds ∑
+⎰⎰其中∑为锥面22z x y =+介于z=0和z=1的部分
练习10.2.计算2x ds
∑
⎰⎰其中∑为球面2222
x y z a ++= ()
02222≥=++z a z y x ()22222224
1
422
x y z ds a ds
a A a a a ππ∑
∑
∴++==⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰
课时十一第二类曲面积分
第二类曲面积分（一般不会单独考，在高斯公式中涉及）
记作：()()(),,,,,,P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy
∑
++⎰⎰题1：计算曲面积分zdxdy ∑
⎰⎰，其中∑是球面1222=++z y x 上侧在0,0,0≥≥≥z y x 部分
解：
3)代入计算
要在积分曲面上对以上三部分分别计算，三部分解题思路和步骤是一样的，因为过程太过麻烦，所以基本不考，即使考到，也考其中一部分，
解题思路
例：(,,)R x y z dxdy ∑
⎰⎰（最常考的一部分）
1）确认积分曲面),(y x z z =∑：2）投影，将xoy →∑面，确定xy D 3）代入公式计算
(),,R x y z d x d y
∑
⎰⎰(),,,xy
D R x y z x y dxdy =
⎡
⎤⎣⎦⎰⎰（若沿Σ的上、前、右方积分，为正反之则要加一个负号）
口诀：计算哪部分，投影到哪个面
1)
积分曲面Σ：22
1z x y =--2)投影，确定xy
D :02:01
πθρ⎧
→
⎪⎨
⎪→⎩22
220
116
xy
D zdxdy x y dxdy d d ππθρρρ∑
=--=-=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
题2：计算曲面积分zdxdy ∑
⎰⎰，其中∑是沿曲面221
4x y z ⎧+=⎨=⎩上侧
3）代入计算
2
4414D
zdxdy dxdy ππ∑
==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰2）将曲面∑投影到xoy 面，确定xy D 1）积分曲面∑：4
z =
若积分曲面∑为封闭曲面的外侧
Pdydz Qdzdx Rdxdy
P Q R dxdydz
x y z ∑
Ω++⎛⎫
∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰⎰⎰课时十二高斯公式
高斯公式（可以看做第二类曲面积分的简单算法，非常常考）
题型一：常规性
例：计算zdxdy ydzdx dydz x ++⎰⎰∑
，其中∑是2222a z y x =++的外侧
解：积分曲面∑为封闭的，故可以使用用高斯公式
P x =Q y =R z =1P x
∂=∂1Q
y
∂=∂1R z
∂=∂则()111xdydz ydzdx zdxdy dxdydz
∑
Ω
++=++⎰⎰⎰⎰⎰33
4
33343dxdydz V a a ππΩ
===⨯=⎰⎰⎰题型二：缺面补面型
例：设∑是锥面22z x y =+被平面0=z 和1=z 所截得部分的下侧，利用高斯公式计算曲面积分()dxdy
z z ydzdx dzdy x 22-++⎰⎰∑
1)Ω是封闭曲面∑围成的空间区域
2)高斯公式是把第二类曲面积分转化成了三
重积分计算其结果
3)注意P 、Q 、R 对应的位置
4)沿曲面外侧为正，内侧为负（一般都是外侧）
一定注意P 、Q 和R 的位置，以及分别对哪个变量求偏导
球的体积公式：3
4
3
V R π=解：补齐1∑面，则对闭曲面利用高斯公式
x P =y Q =z z R 22-=1=∂∂x
P 1Q
y
∂=∂22R
z z
∂=-∂∑=1
1
:z ∑
利用高斯公式，先求在整个曲面1+∑∑上积分结果
()1
2
2(1122)2xdzdy ydzdx z
z dxdy z dxdydz zdxdydz
∑+∑Ω
Ω
++-=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 21
1
21
2
1
22
d d zdz d z d π
π
ρ
π
θρρθρρρ
===
⎰⎰⎰⎰⎰求在1∑上的积分结果
对于1∑：1z =代入原式（0dz =，下式中带有dz 的项全为0）
()1
1
1
2
2(12)xdzdy ydzdx z z dxdy dxdy dxdy ∑∑∑++-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰将1∑投影到xoy 面上
根据第二类曲面积分公式计算：
用11
()+-∑∑∑1
1
322
ππ
π∑
∑+∑∑=
-=
+=⎰⎰
⎰⎰⎰⎰练习12.1:计算曲面积分32223x dydz xz dzdx y zdxdy ∑
++⎰⎰.其中∑为()2201z x y z =+≤≤取
下侧.
练习12.2：计算()()()dxdy z x dzdx y z dydz x y -+-+-⎰⎰∑
222，其中∑是抛物面222y x z --=位
于0≥z 部分的上侧。

221
x y +=1
xy
D dxdy dxdy π
∑-=-=-⎰⎰⎰⎰
3）性质（常在选择题中考）
∑∞
=1
n n
U
∑∞
=1
n n
V
()
∑∞
=+1
n n n
V U
收收收收发发
课时十三常数项级数
知识点
重要程度
分值题型1.概念★
略不单独出题2.审敛法★★★★★基础（必考）
基础知识3.交错级数★★★0~3
选择、填空、大题
4.绝对条件收敛
★★★0-6
1.1认识级数
记作：1n
n u ∞
=∑展开式1231
n n n u u u u u ∞
==+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∑例1：∑∞
=⎪
⎭
⎫
⎝⎛121n n
()211111222211122111212
n n
n n
n S n ∞
=⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==++⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-
∑()1211lim lim =⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∞
→∞→n
n n n S 有极限，故级数n
n ∑∞
=⎪⎭
⎫
⎝⎛121收敛
1.2无穷级数的性质
1）若级数1n n u ∞
=∑收敛，则lim 0
n n u →∞
=2）∑∑∞
=∞==1
1
n n
n n U k kU 令()∑∞
==1
n n u n s .
若n n s ∞
→lim 有极限，则级数收敛。

反之，级数发散例2：
∑∞
=1
1
n ()n
n S n =+⋯⋯++==∑∞
=111111
()+∞
==∞
→∞
→n n S n n lim lim 无极限，故级数∑∞
=1
1n 发散
1.3．两个常用的参照级数
1)几何级数∑∞
=0n n
aq （也就是等比数列）2)调和级数11
n n
∞
=∑是发散。

扩展：
2．审敛法（判别级数收敛与否的方法）
题型1.判断正项级数2
212n n n n
∞
=+∑敛散性
解：2
2
2n n u n n
=+2222
lim lim lim 2101
n n n n n u n n n →∞→∞→∞===+≠+故级数发散
题型2.判断正项级数213n
n n
∞
=∑的敛散性
解：2
3n
n u n
=()12
123lim lim 31n n n n n n
u n u n ++→∞→∞
=⋅+()2
2lim3311n n n →∞==>+所以级数发散
题型3.判断正项级数1(
)21
n
n n n ∞
=+∑的敛散性解：(
21n
n n u n =+()1
lim 1212
n n n n n u n →∞==<+故级数收敛
若1q <，则级数∑∞
=0n n aq 收敛
若1q ≥，则级数∑∞
=0
n n aq 发散
以上两种参照级数，经常用到，可以作为结论，直接使用
必要条件：
1
n
n u
∞
=∑若收敛，则lim 0n n u →∞
=；
若lim 0n n u →∞
≠则级数发散
1 1 lim 1 =1 n n n u u ρρρρ+→∞<⎧⎪=>⎨⎪⎩
收敛
发散不确定
1lim 11n n n u ρρρρ→∞
<⎧⎪=>⎨⎪=⎩
收敛
发散
不确定11,11p n p n
p ∞
=>⎧⎨
≤⎩∑则级数收敛，则级数发散
⎧⎨
⎩
题型4..判断正项级数1
1
ln(1)n n ∞
=+∑的敛散性
解：n →∞时，11ln(1)~n n
+（等价无穷小）
故11ln(1n n ∞
=+∑和11
n n ∞
=∑有相同的敛散性
11
n n
∞=∑是调和级数，发散故1
1
ln(1)n n ∞
=+∑也是发散的
3．交错级数
记作：()()012011n
n
n n n u u u u u ∞
=-=-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅∑（正负项交错）
例：判断()
∑∞
=--1
1
1
1n n n
敛散性解：n u n 1
=
则01lim =∞→n
n 且n
n u n
n u =≤+=
+1111故交错级数是收敛的
4．绝对收敛和条件收敛
1)若∑∞
=1n n u 收敛，则∑∞
=1n n u 也收敛
绝对收敛
2)若∑∞
=1
n n u 发散，而∑∞
=1
n n u 收敛
条件收敛
例：()
∑∞
=--1
1
1
1n n n
解:()
∑∑∞
=∞
=-=-11
1
1
11n n n n
n 发散而()∑∞=--1111n n n 为交错级数。

满足1lim 0111n n n n
→∞⎧=⎪⎪⇒⎨⎪<⎪+⎩收敛，故级数为条件收敛注意：一般项n u 不包括（-1）项
如果可以用等价无穷小替换
则他们有相同的敛散性
交错级数判定方法：
1lim 0n n n n u u u →∞
+=⎫⎪⇒⎬≤⎪⎭
收敛
练习13.1：判断下列正项级数敛散性
1）∑∞
=+12
1n n
n 2）∑∞
=1!2n n
n n
n 3）n
n n 3sin
21
π∑∞
=练习13.2：判断级数()
∑∞
=---1
1
ln 1
1n n n
n 敛散性
课时十四
幂级数
知识点
重要程度分值
题型1.收敛半径、收敛域★★★★★6~10基础知识2.和函数★★★★★选择填空大题
3.幂级数展开
★★★★★
0~8
记作
∑∞
=1
n n n x a 展开式2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅（含x 项.且敛散性随x 的取值不同而不同）1.收敛半径，收敛区间，收敛域
若1
lim
n n n
a a ρ+→∞
=题型1：求()
1
1
1n
n n x n
∞
-=-∑的收敛半径和收敛域解：()n
a n n
11--=
则1lim
lim 11
n n n n a n
a n ρ+→∞
→∞===+则收敛半径为11
R ρ
=
=收敛区间：(1,1)
x ∈-当1=x 时，级数()1111n n n ∞-=-∑为交错级数，满足1lim 0111x n
n n
→∞⎧
=⎪⎪⎨⎪<⎪+⎩，故收敛。

当1-=x 时，级数()
21
1
111
1n n n n n
∞
∞
-==-=-∑∑发散的，则收敛域(]1,1x ∈-收敛半径R 1
ρ⎧⎪⎪⎪
=⎨
+∞⎪⎪⎪⎩0ρ≠0ρ=ρ=+∞
收敛区间(,)
x R R ∈-(,)x ∈-∞+∞0
x =收敛域验证：x R
=±(,)x ∈-∞+∞0
x =
当0x =时，级数
1
(1)
n
n ∞
=-∑是发散的
当4x =时，级数1
1n ∞
=∑是发散的，则收敛域为(0,4)
x ∈题型3：求n
n n x n 20
212∑
∞
=-的收敛半径R 解：21
2n
n
n a -=112121
lim lim 2212n n n n n n
a n a n ρ++→∞→∞+===
- 则收敛半径1
2R ρ
=
=，收敛区间(2,2)
x ∈-当2x =-时，级数
1
21n n ∞
=-∑是发散的
当2x =时，级数
1
21n n ∞
=-∑是发散的，则收敛域为(2,2)
x ∈2.和函数，记作：()∑∞
==
n n
n
x
a x S （对幂级数求和）
kn l
x
+型
这种类型下，忽略l ，收敛半径1
k
R ρ
=
性质1：可导并逐项可导()()∑∑∞
=-∞
=='
='0
1
n n n
n n
n
nx
a x a x S 性质2：可积并逐项可积()1
1
1+∞
=∞
=+⋅
==
∑∑⎰⎰
n n n n n
n x n a dx x a x S 练习14.1：求1
2(1)n n
n
n x n ∞
=-∑收敛域
练习14.2：∑∞
=-+1
1
212n n n x n
1题型1：求级数1
1
n n nx
∞
-=∑的和函数
1）求收敛域：
11,lim
lim 1n n n n n a n a n a n
ρ+→∞
→∞+====，收敛半径11
==ρ
R ，收敛区间为()
1,1-当1-=x 时，()∑∞
=11-n n
n 发散，
1=x 时，∑∞
=1
n n 发散，故收敛域为()1,1-。

2）本题先积后导：设()∑∞
=-=11
n n nx
x S 幂级数1
n n n a x ∞
=∑和函数()s x 求法
1)求出收敛域
2)先积后导或者先导后积3)利用麦克劳林公式一定注意要先求出收敛域
20
1
11n n
n x x x x x ∞
===+++⋯⋯+-∑()1
20
1
1
111x
x
n n n n n S x dx nx dx x x x x x
∞
∞
-=====++⋯+=
--∑∑⎰
⎰()()()2
011111x
S x S x dx x x ''
⎡⎤
⎡⎤==-=
⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦-⎰
题型2：求∑∞
=+1
1
22n n n x 的和函数
解：1）求收敛域
1
2n a n =
12lim
lim 122n n n n
a n
a n ρ+→∞
→∞===+1R ρ
∴=
=，收敛区间为)1,1(-，
当1-=x 时，∑∞
=+-1
1
22)1(n n n 发散，
当1=x 时，∑
∞
=1
21
n n 发散，则收敛域为)1,1(-2）令21211()22n n
n n x x s x x n n
+∞
∞====∑∑
，两边同除以x 得21()2n
n s x x x n
∞
==∑，先导后积()1
21222111
2422
()(1())(1)
1n n n n n n n
s x x x x x x x x x x x x x x ∞∞∞---==='⎡⎤===⎢⎥⎣⎦=++++=<-∑∑∑ 积分得220()1
ln(1)12
x s x x dx x x x ==---⎰可得)1ln(2
)(2x x
x s --=，)
11(<<-x 注：为方便求导或者积分，进行相应调整要把2x 看做整体，对应麦克劳林公式
练习14.3：求∑∞
=++1
1
1n n n x 和函数
练习14.4：求∑∞
=--11)1(n n x n 和函数
练习14.5：求021
2n
n n ∞
=+∑
的和（提示：()00
121
()21()22n
n
n n n s x n x s ∞
∞
==+=+⇒=∑∑）。