概率论与数理统计试题期中考试-答案

概率论与数理统计课程期中考试
考试时间：90分钟
姓名：班级：学号：
一、单项选择题（本大题共有5个小题，每小题4分，共20分）
1,设..~(100,0.1)
R V X B，
1
..~()
2
R V Yπ，且X和Y相互独立，令
7
2+
-
=Y
X
Z，则D(Z)=（D ）。

A:7 B:8 C:10 D:11 2,若P(A)=1/2,P(B|A)=1/3,则P(AB)=（ B ）A:1/2 B: 1/3 C: 5/6 D:1/6
3,设X的概率密度函数为
30
()
x
ke x
f x
-
⎧>
=⎨
⎩其它
，则=
k( C )
A:1/3 B:1/9 C: 3 D: 9
4, 如果X,Y为两个随机变量，满足COV(X,Y)=0,下列命题中正确的是( A )。

A：X,Y不相关B：X,Y相互独立
C：D(XY) =D(X)+D(Y) D：D(X-Y) =D(X)-D(Y)
5，在8片药中有4片是安慰剂，从中任取3片，则取到2片是安慰剂的概率为（ B ）
A：1/4 B ：3/7 C：1/2 D：6/7
二、填空题（本大题共有6个小题，每空2分，共20分）
4 A,B为两个随机事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.6，P(B A)=0.2.则P(AB)= 0.4 ,P(AB)= 0.2
5 甲乙两人独立射击，击中目标的概率分别为0.8,0.7，现在两人同时射击同一目标，则目标被击中的概率为 0.94
6．若某产品平均数量为73，均方差为7，利用切比雪夫不等式估计数量在52~94之间的概率为 8/9
7.在8件产品中有2件次品。

从中随机抽取2次，每次抽取一件，做不放回抽取。

则两次都是正品的概率为 15/28 抽取的产品分别有一正品和一件次品的概率为 3/7 ，第二次取出的产品为次品的概率为 1/4
8若X~N(2,1)，Y~U[1,4]，X,Y互相独立，则E(X+2Y-XY+2)= 4 ，D(X-2Y+3)=
4
9 设D(X)=D(Y)=2，0.3XY ρ=,则D(X-Y)= 2.8
三、解答题（本大题共有3个小题，共32分）
10（7分）病树主人外出，委托邻居浇水。

设若不浇水，树死去的概率为0.7，
如果浇水，树死去的概率为0.2.有0.8的把握确定邻居会记得浇水。

a, 求主人回来数还活着的概率（4分）
b ，若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率？（3分）
解：设A:树活着。

:B 邻居记得浇水。

则由题意可知：
1,(|)=0.7(|)=0.2(|)=0.3(|)=0.8,()()()=(|)()(|)()
=0.8*0.80.3*0.20.7(4)
()(|)()0.7*0.27(|)==(3)0.30.315()P A B P A B P A B P A B P A P AB P AB P A B P B P A B P B P AB P A B P B P B A P A =+++===，，P(B)=0.8
则，P(B)=0.2
分由于分
11（10分）一工厂生产的设备寿命X 服从指数分布，其概率密度为
1
210()20x e x f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其它工厂规定：如果出售的设备在出售的一年内损坏可换。

若工厂出售一台设备盈利200元，调换一台需花费350元.
a,求设备寿命的期望和方差E(X),D(X)（4分）
b,求设备寿命大于一年的概率。

（3分）
c ，求厂方出售一台设备净盈利的数学期望。

（3分）
解：
a ，由于变量X 服从参数为1/2的指数分布，故E(X)=2，D(X)=4 （4分）
b ，1122111(1)()(3)2x P X f x dx e dx e +∞
+∞
-->===⎰⎰分 吃，设厂方售出一台的盈利为Y,则Y 的分布为
表格 1
所以E(Y)=2001
2e --150(1-1
2e -)=3501
2e --150 （3分）
12（15分），设二维随机变量X,Y 的概率密度为
(),02,02(,)0,c x y x y f x y +≤≤≤≤⎧=⎨⎩
其他 求： 1，确定常数c(3分) 2，概率P(X+Y<2) (4分). 3，E(X X Y
+).(2分) 4,边缘概率密度(),()X Y f x f y ,并判断X,Y 是否互相独立。

(6分)
解：2220001(,)dxdy ()12(1)81,8f x y dx c x y dy c x dx c c =+=⇒+===⎰⎰
⎰⎰⎰（3分） 222200011412,(2)()8823
x x P X Y dx x y dy dx --+<=+==⎰⎰⎰（4分） 22002020113,()()82
11()(1),02()840,11()(1),02()840,()()(,),,X Y X Y X x E dx x y dy X Y x y x y dy x x f x x y dx y y f y f x f y f x y X Y =+=++⎧+=+≤≤⎪=⎨⎪⎩
⎧+=+≤≤⎪=⎨⎪⎩≠⎰⎰⎰⎰（4分），其他（4分）其他故不互相独立。

（2分）
111200114()88(1)4x E dx xydy x dx XY
xy ==-=⎰⎰⎰，（2分）
四、计算题（本大题共有3小题，共28分）
13（10分）两家商店联营，其每周出售的商品数量为
1212,.~(200,240),~(180,160)X X X N X N 已知。

已知两家的销售量是互相独立的。

a,求两家商店总销量X=12+X X 的期望和方差（4分）
b ，求总销量在360~410之间的概率（3分）
c,两商店每周共进货一次，若使商店不脱销的概率大于0.99，问至少该储存多
少该物品？（3分）
（注：(1)0.8413,(1.5)0.9332,(=Φ=Φ=Φ2.325)0.99，）
解：12121212,()()()380,()()()400,
360380*********(360410)()202020
(1 1.5)(1.5)(1)10.7745(3)X X X X E X E X E X D X D X D X X P X P P U +=+==+=---≤≤=≤≤=-≤≤=Φ+Φ-=互相独立,X=，
故分
0.99380380380()()()0.99202020
38020
X A A P X A P A ---≤=≤=Φ≥-≥≥若存货A 时不脱销的概率大于，则
，2.325，A 426.5（3分）
2，求X,Y 的边缘分布律（可以将答案在表中表示）。

（4分） 3，求E(X),E(21Y +).并判断X,Y 是否互相独立。

（6分）
解：1，P(X<3，Y<3)=0.2+0.3=0.5 (2分)
E(X)= 1×0.3+2×0.5=1.3,E(21Y +)= 0.2+4×0.3+16×0.1+25×0.4+1=14
由于P(ij)= P(X=i)P(Y=j),对所有X,Y 都成立。

所以X,Y 互相独立。

（6分）
15（6分）设随机变量X 的概率密度函数为3
801(),0
X x x f x ⎧<<=⎨⎩其它
若Y=1-2X ，求Y 的概率密度函数()Y f y .
解：X=(1-Y)/2，由公式
331118()01(1)11(),22200Y y y y y f y --⎧⎧<<--<<⎪==⎨⎨⎩⎪⎩其它其它。