第六章 数理统计的基本概念pdf_(一)基本要求

分别为总体的样本均值和样本方差分别为总体的样本均值和样本方差独立同服从分布由分布的性质知为来自x的简单随机样本x是样本均值为总体x的样本为总体y的样本的样本均值分别表示总体证明由抽样分布的知识可得11独立又两个总体相互独立
.第六章 数理统计基本概念
一、基本要求、重点与难点
（一）基本要求
1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念。掌握样本均值和样本 方差的计算。
（2）设 X ~ χ 2 (n) ，则 E(X)=n，D(X)=2n .
若 X ~ χ 2 (n) ，对于α (0 < α < 1) ，称满足 P( X > χα2 (n)) = α的点χα2 (n) 为 χ 2 (n) 分布的
上侧α 分位点。当 n>45 时，R.A.Fisher 证明了下面的近似公式
( ) χα2
(n)
≈
1 2
uα +
2
2n −1 ,
其中 uα 为标准正态分布的上侧α 分位点。
2、 自由度为 n 的 t 分布：
定义设 X1, X2 独立，X1～N(0,1)， X2～ χ 2 (n) ，则称
T (n) = X1 X 2 n
的分布是自由度为 n 的 t 分布,简记为 t(n) ，亦称为学生（student）分布。这种分布是英国人 w.s.Gosset 在 1908 年以笔名”student”发表的，它是数理统计中最重要的分布之一。 命题 设 T(n)是自由度为 n 的 t 分布，则它的概率密度函数为：
2．会列出分组数据统计表。 3．了解X2-分布、t-分布和F-分布的定义及性质。了解分位数的概念并会查
表计算。 4．掌握正态总体的抽样分布规律。
（二）重点
1．样本均值和样本方差的计算。 2．分组数据统计表。 3．正态总体的抽样分布规律。
（三）难点
1．样本均值和样本方差的计算。 2．正态总体的抽样分布规律。
命题设 F = m−1 X 2 n−1 X1 如上定义，则 F 的 p.d.f.为：
fm,n (
y)
=
⎪⎧mm ⎨
2nn
2
Γ((m + n) 2) Γ(m 2)Γ(n 2)
ym
2−1 (my
+
n)−(m+n)
2,
y
>
0
⎪⎩ 0,
y≤0
4
性质：如 X~ F(m, n)，则 1/X~ F(n, m)。
n i =1
X
2 i
−n
X
2
)
类似地，还有公式
设（x1,x2,…,xn）为总体X的样本容量为n的一组样本观察值
（1）对任意常数a，记yi=xi-a (i=1,2,…,n),则
x = y + a, sx2 = sy2.
(2)
对任意常数 a 和非零常数 c，记 zi
=
xi − a (i c
= 1,…, n) ，有
1
的一个样本观察值。样本（X1,X2,…,Xn）所有可能取值的全体称为样本空间，记为ℵ，而 样本观察值（x1,x2,…,xn）是ℵ中的样本点。随机抽样的目的是为了对总体X的分布进行各种 分析推断，所以要求抽取的样本能很好地反映总体的特性，为此我们要求随机抽取的样本 （X1,X2,…,Xn）满足： （1）具有代表性。即，样本（X1,X2,…,Xn）的各分量Xi与总体X有相同的分布； （2）具有独立性。即，样本（X1,X2,…,Xn）的各分量相互独立，也就是说，n次观察值之 间是相互独立的．
(Xi
− X )2
为修正样本方差。
∑ 注：以后无特别说明，我们都把
S
2
=
1 n −1
n i =1
(Xi
−
X
)2
.称作样本方差，而称
2
∑ S =
1 n −1
n i =1
(Xi
−
X
)2
为样本标准差。
具体计算时，通常选用其简化公式
∑ ∑ ( ) S2
=
1 n −1
n i =1
(Xi
−
X
)2
=
1( n −1
当 n>45 时，可用标准正态分布的分位点代替 t 分布的分位点，即对一般的α ，有
tα (n) ≈ uα
3、 F 分布： 定义 设 X1, X2 独立，X1～ χ 2 (n) ，X2～ χ 2 (m) ，则称
F = m −1 X 2 n −1 X1 的分布是自由度为(m, n)的 F 分布，简记为 F(m, n)。
下面介绍一些常用的统计量。
（1） 样本均值
∑ 设 ( X1,
, X n ) 是一个简单随机样本，则称
X
=
1 n
n i =1
Xi
为样本均值。
（2） 样本方差
∑ 设 ( X1,
, X n ) 是一个简单随机样本，则称 Sn2
=
1 n
n i =1
(Xi
−
X )2
为样本方差；称
∑ S 2
=
1 n −1
n 1
i =1
（3） X 与S 2 相互独立；
（4） n ( X − μ) S ～ t(n − 1) 。
定理
设X1,
…，Xn
是来自总体 X
~
N
(μ1
,
σ
2 1
)
的样本，Y1,
…，Ym
是来自总体
nHale Waihona Puke ∑ Y~N
(μ2
,
σ
2 2
)
的样本,且两个样本之间相互独立，若
S12
=
( X i − X )2 (n −1) ，
tn
( y)
=
Γ
((n +1) nπ Γ (n
2）(1 + 2)
y2
2) −(n+1) 2
若T ~ t(n) ，对于α (0 < α < 1) ，称满足 P(T > tα (n)) = α的点tα (n) 为 t(n) 分布的上侧α 分
位点。由 t(n) 分布的密度函数的对称性可知 t1−α (n) = −tα (n) 。
四、题解分析
例 1 某食品厂为加强质量管理，对某天的生产的罐头抽查了 100 个（数据如下表）。试画直 方图；
100 个罐头样品的净重数据（单位：克）： 342 340 348 346 343 342 346 341 344 348 346 346 340 344 342 344 345 340 344 344 343 344 342 343 345 339 350 337 345 349 336 348 344 345 332 342 342 340 350 343 347 340 344 353 340 340 356 346 345 346 340 339 342 352 342 350 348 344 350 335 340 338 345 345 349 336 342 338 343 343 341 347 341 347 344 339 347 348 343 347 346 344 345 350 341 338 343 339 343 346 342 339 343 350 341 346 341 345 344 342 解：(1) 最小值 m=332，最大值 M=356。
≡
1 n
n i =1
Xi − X
k
, k = 1, 2,
为样本 k
阶中心矩。显然，样本方差和样本 2 阶中心矩
B2
之间只差一个常数因此，即
S
2
=
n n −1
B2
。
§4 统计常用的三种分布
统计中常用到的χ2-分布、t-分布和F-分布有人称为“统计三大分布”。
1、 自由度为 n 的卡方分布：
定义 设 X1,
5
三、重点、难点解答
1．总体、样本、统计量是数理统计的基本概念。注意总体和个体是相对的，要看研究的问 题来确定。统计量在数理统计中有着广泛的应用，它是一个随机变量，样本几样本分布函数 在实际应用中十分重要，应牢牢掌握。 2．样本均值及样本方差是两个常见的统计量，注意样本均值、样本方差的定义与简化计算 方法。特别要注意样本均值与总体的数学期望、样本方差与总体方差的区别与联系。样本均 值的数学期望等于总体数学期望相等，样本方差的数学期望等于总体方差。 3．分组数据统计表是数理统计中数据处理的基本方法。列出分布数据统计表的一般方法是： （1）将杂乱无章的数据按从小到大的顺序列成一个简单的统计表； （2）将数据按一定的规则分组，列出分组统计表。（分组统计表包含以下内容：组号，组限， 组中值，组频数，组频率，累计频率等） 4．正态总体的抽样分布规律是本章的又一重点与难点。特别是χ2-分布、t-分布和F-分布都 是数理统计中很常用的分布，要注意它们的含义及它们的自由度的确定。会查三大分布表。
§3 统计量
设 X1, , X n 为来自总体 X 的一个样本， g( X1, , X n ) 为一个 n 元连续函数，若
g( X1, , X n ) 中不含任何未知参数，则称 g( X1, , X n ) 为一个统计量。显然统计量也是一
个随机变量，以后，针对不同的问题我们总是构造相应的统计量以实现对总体的统计推断。
15
6
341.5~343.5
21
7
343.5~345.5
21
8
345.5~347.5
14
9
347.5~349.5
7
10
349.5~351.5
x
=
cz
+
a, sx2
=
c2
s
2 y
.
（3）样本的 k 阶原点矩
∑ 设 ( X1,
, X n ) 是一个简单随机样本，则称 Ak
≡
1 n
n i =1
X
k i
,
k
= 1, 2,
为样本 k 阶原
点矩。显然，样本均值 X 就是样本的 1 阶原点矩 A1 .
（4）样本的 k 阶中心矩
∑( ) 设 (X1,
, X n ) 是一个简单随机样本，则称 Bk
(2) 取起点 a=331.5，终点 b=357.5，共分 13 组，组距 Δ = 2.
(3) 分组数据如下：
序号
分组
频数ν i
yi
= 频率
fi
×
1 Δ
=
νi 200
1
331.5~333.5
1
2
333.5~335.5
1
0.005 0.005
6
3
335.5~337.5
3
4
337.5~339.5
8
5
339.5~341.5
i =1
m
∑ S22 = (Yi − Y )2 (m −1) ，则 i =1
（1） F
=
S12 S22
⋅
σ
2 2
σ
2 1
~
F (n −1, m −1)
（2）若进一步假设
σ
2 1
=
σ
2 2
,
有
T = X − Y − (μ1 − μ2 ) ~ T (n + m − 2)
Sϖ
1+ 1 nm
其中 Sϖ2
=
(n −1)S12 + (m −1)S22 n+m−2
二、重点内容简介
§1 总体与样本
在数理统计中一般我们把研究对象的全体称为总体（或母体），而把每一个研究对象称 为个体.
总体分布一般是全部或部分未知的，为了研究总体X的分布规律，我们需要对总体进行 若干次观察。由观察得到总体指标X的一组数值（x1,x2,…,xn），其中xi,为第i次观测结果， 并称（x1,x2,…,xn）为总体X的一组容量为n的样本观察值，样本观察值是对总体分布进行分 析、推断的基础。这种从总体中随机地抽样若干个个体进行观察或实验，称为随机抽样观察， 从总体中抽出的若干个体，一般记为（X1,X2,…,Xn）,而一次具体的观察结果（x1,x2,…,xn） 是完全确定的一组数值，但它有随着每次抽样观察而改变．因此，容量为n的样本 （X1,X2,…,Xn）是n维随机向量，而具体的观察值（x1,x2,…,xn）是随机变量（X1,X2,…,Xn）
若 F~F(n,m)，对于α (0 < α < 1) ，称满足 P(F > Fα (n, m)) = α的点Fα (n, m) 为 F(n,m)分布
的上侧 α
分位点。有
F
分布的性质可知
F1−α
(n, m)
=
Fα
1 (m, n)
。
§5 正态总体的抽样分布
定理
n
设X1, …，Xn 是来自总体 X ~ N (μ,σ 2 ) 的样本。μ,σ 2 均未知。记 X = ∑ X i n ，
,
X
n
独立同分布，且
X1
~
N (0,12
)
，则称随机变量
χ
2
(n)
=
n
∑
X
2 i
的分布
i=1
是自由度为 n 的卡方分布，简记为 χ 2 (n) 。即 χ 2 (n) 分布就是相互独立的标准正态分布
的 n 个随机变量平方和的分布。（这里的自由度是指独立的随机变量的个数）。
命题 χ 2 (n) 分布的密度函数为：
i=1
S2
=
n
∑(Xi
−
X )2
(n − 1) ，U = ( X − μ)
n / σ 。则：
i=1
（1） X ~ N (μ,σ 2 / n) ，U = ( X − μ) n / σ ~ N (0,12 ) ；
（2） (n − 1) S 2
σ
2
=
n
∑(Xi
−
X )2
σ 2 ～ χ 2 (n − 1) ；
f
(x)
=
1 Γ(n / 2)2n/ 2
− x n −1
e 2x2
3
∫ 其中 Γ (α ) 为伽玛函数， Γ(α ) = ∞ xα −1e−xdx(α > 0).。 0 卡方分布有如下重要性质：
（1）（ χ 2 分布的可加性）设X1，X2独立，X1～ χ 2 (m) ，X2～ χ 2 (n) ，则X1＋X2～ χ 2 (m + n) 。
满足上述两个条件的样本称为简单随机样本，今后如无特别说明，所说的样本均指简单 随机样本。
§2 分组数据统计表
在实际统计工作中，首先接触的是一系列数据。数据的变异性，系统地表现为数据的分 布，分布的具体表现形式为图或表。统计表分为简单统计表和分组统计表。统计图分为频数 （频率）图、频率直方图和累积频率直方图等。