中考数学复习 专题2 规律探索型问题数学课件

2．解图形规律探索题的方法： 第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； 第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数； 第三步：寻找图形数量与序号数 n 的关系：针对寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后 一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化， 然后按照定量变化推导出第 n 个图形的个数； 函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数 n 看作自变量，把第 n 个图形的个数 看作函数，设函数解析式为 y＝an2＋bn＋c(初中阶段设二次函数完全可以解决)，再代入三组 数值进行计算出函数解析式(若算出 a＝0 就是一次函数)即可．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图 形外格点的数目．
[对应训练] 4．在由 m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小 正方形个数 f， (1)当 m，n 互质(m，n 除 1 外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
[对应训练] 2．(2015·咸宁)古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规 律性．若把第一个三角数记为 a1，第二个三角数记为 a2…，第 n 个三角数记为 an，计算 a1＋ a2，a2＋a3，a3＋a4，…由此推算 a399＋a400＝__1.6×105 或 160_000__．
1．(2015·德州)一组数 1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的 两个数之和”，那么这组数中 y 表示的数为( A )
A．8 B．9 C．13 D．15 2．(2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，
π O3，…组成一条平滑的曲线，点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 2 个单 位长度，则第 2015 秒时，点 P 的坐标是( B )
解：解析：第一个图形正三角形的个数为 5，第二个图形正三角形的个数为 5×3＋2＝ 17，第三个图形正三角形的个数为 17×3＋2＝53，第四个图形正三角形的个数为 53×3＋2＝ 161，第五个图形正三角形的个数为 161×3＋2＝485.故答案为：485.
(2)(2015·内江)如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第 n 个图案中有__2n(n＋1)__根火柴 棒．(用含 n 的代数式表示)
答题思路 第一步：审题，仔细观察图形并找到相应的规律； 第二步：化形为数，相当于找出数列的前若干项； 第三步：考察相邻两项的差异，再根据这些项或项中某些部分(如分子、分母，整数、分 数等)构成何种数列； 第四步：按题中要求写出某一项的结果或某些项的和．能找到前三项，就能求出任一项； 另外，有些图形或数的出现是循环出现或按某种规律反复出现等，就需要具体问题具体分析 了； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．
∴x1＋·x＋y＋（z－＝12）01·4y＋0·z＝69
，化简得 x－y＝69，x＋y＝1 849，解得 x＝959，y＝
12x＋（－1）2y＋02z＋2 152＝4 001
890，z＝165∴有 959 个 1，890 个－1，165 个 0，故答案为：165.
【点评】本题解题的关键是对给出的式子进行正确的变形．
m n m＋n
f
12
3
2
13
4
3
23
5
4
25
7
6
34
7
6
猜想：当 m，n 互质时，在 m×n 的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数 f
与 m，n 的关系式是__f＝m＋n－1__．(不需要证明)
(2)当 m，n 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．
解：当 m，n 不互质时，上述结论不成立，如图
10.探索数量规律题常用的方法
试题 (1)(2012·桂林)下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第 n 个 图中阴影部分小正方形的个数是________．
(2)(2012·黔东南)如图，第①个图有 2 个相同的小正方形，第②个图有 6 个相同的小正方 形，第③个图有 12 个相同的小正方形，第④个图有 20 个相同的小正方形，…，按此规律， 那么第 个图有________个相同的小正方形．
数形结合猜想型问题
【例 4】 (2015·株洲)“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式 表达式为 S＝a＋b2－1，孔明只记得公式中的 S 表示多边形的面积，a 和 b 中有一个表示多边 形边上(含顶点)的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是 a 还是 b 表 示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形(如图①)进行验证，得到公式中表示 多边形内部的整点个数的字母是__a__，并运用这个公式求得图②中多边形的面积是__17.5__．
专题二 规律探索型问题
规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、 图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推 理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数字规律”“数式规 律”“图形规律”等题型．
1．数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系， 先猜想，然后通过适当的计算回答问题．
2．数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的 结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．
3．图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联 系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．
4．数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式， 再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总 结出图形的变化规律，进而解决相关问题．
数字猜想型问题
【例 1】 (2015·黔东南州)将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数 阵中第 10 行从左至右的第 5 个数是__50__．
【点评】本题考查数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按 规律变化的因素，然后推广到一般情况．
[对应训练] 1．(2014·兰州)为了求 1＋2＋22＋23＋…＋2100 的值，可令 S＝1＋2＋22＋23＋…＋2100， 则 2S＝2＋22＋23＋24＋…＋2101，因此 2S－S＝2101－1，所以 S＝2101－1，即 1＋2＋22＋23 ＋…＋2100＝2101－1，仿照以上推理计算 1＋3＋32＋33＋…＋32014 的值是__320125－1__． 解析：设 M＝1＋3＋32＋33＋…＋32014①，①式两边都乘以 3，得 3M＝3＋32＋33＋…＋ 32015②.②－①得 2M＝32015－1，两边都除以 2，得 M＝320125－1.
图形规律型问题
【例 3】 (2015·深圳)观图形有__21__个太阳．
【点评】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．
[对应训练] 3．(1)(2014·深圳)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第 5 个图形中所有 正三角形的个数有__485__．
1．解数字或数式规律探索题的方法： 第一步：标序号； 第二步：找规律，分别比较各部分与序号数(1，2，3，4，…，n)之间的关系，把其蕴含 的规律用含序号数的式子表示出来； 第三步：根据找出的规律表示出第 n 个数式． 需要熟记的规律有： (1)正整数和：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n2＋1）(n≥1)； (2)正奇数和：1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2(n≥1)； (3)正偶数和：2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1)(n≥1)
解析：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行 的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；∵45×45＝2025，2014 在第 45 行，向右依次减 小，∴2014 所在的位置是第 45 行，第 12 列，其坐标为(45，12)．
4．(2014·内江)如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第 2014 个图形是__□__．
规范答题 解析 (1)根据每一个图形都是一个正方形和右边的一个矩形构成，得到左边的正方形中 小正方形的个数和右边的矩形中的小正方形的个数的和即可． 仔细观察图形知道：每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成，分别为： 第 1 个图有：1＋3 个； 第 2 个图有：4＋4 个； 第 3 个图有：9＋5 个； …… 故第 n 个图有：[n2＋(n＋2)]个．
(3)如图，由等圆组成的一组图中，第 1 个图由 1 个圆组成，第 2 个图由 7 个圆组成，第 3 个图由 19 个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第 9 个图形由________个圆组成．
审题视角 探索数量规律题可以检验同学们观察图形的变化规律，并从中找出其数量关 系的能力，由于没有现成的公式、定理可以套用，对初中生而言，有一定的难度．但只要了 解一些数列的有关知识，加上一些常用的分析方法，解决这类问题也是比较容易的．
△△□□□△○○□□□△○○… 解析：由图形看出去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆 6 个图形为一组，不断循环出现，(2014－2)÷6＝335…2 所以第 2014 个图形是与循环的第二 个图形相同是正方形．故答案为：□.
5.(2014·孝感)正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点 A1，A2，A3，… 和点 C1，C2，C3，…分别在直线 y＝x＋1 和 x 轴上，则点 B6 的坐标是_(63，32)__．
数式规律型问题
【例 2】 (2014·扬州)设 a1，a2，…，a2014 是从 1，0，－1 这三个数中取值的一列数，若 a1＋a2＋…＋a2014＝69，(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2014＋1)2＝4001，则 a1，a2，…，a2014 中为
0 的个数是__165__．
解析：(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2014＋1)2＝a12＋a22＋…＋a20142＋2(a1＋a2＋…＋a2014)＋ 2014＝a12＋a22＋…＋a20142＋2×69＋2014＝a12＋a22＋…＋a20142＋2152，设有 x 个 1，y 个－ 1，z 个 0，
A.(2014，0)
B.(2015，－1) C．(2015，1) D．(2016，0)
3．(2014·东营)将自然数按以下规律排列：
表中数 2 在第二行第一列，与有序数对(2，1)对应，数 5 与(1，3)对应，数 14 与(3，4)对 应，根据这一规律，数 2014 对应的有序数对为__(45，12)__．
解：解析：∵直线 y＝x＋1，x＝0 时，y＝1，∴A1B1＝1，点 B2 的坐标为(3，2)，∴A1 的 纵坐标是：1＝20，A1 的横坐标是：0＝20－1，∴A2 的纵坐标是：1＋1＝21，A2 的横坐标是： 1＝21－1，∴A3 的纵坐标是：2＋2＝4＝22，A3 的横坐标是：1＋2＝3＝22－1，∴A4 的纵坐标 是：4＋4＝8＝23，A4 的横坐标是：1＋2＋4＝7＝23－1，即点 A4 的坐标为(7，8)．据此可以 得到 An 的纵坐标是：2n－1，横坐标是：2n－1－1.即点 An 的坐标为(2n－1－1，2n－1)．∴点 A6 的 坐标为(25－1，25)．∴点 B6 的坐标是：(26－1，25)即(63，32)．
(2)观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大 1 的数，根据 此规律解答即可．
第①个图有 2 个相同的小正方形：2＝1×2； 第②个图有 6 个相同的小正方形：6＝2×3； 第③个图有 12 个相同的小正方形：12＝3×4； 第④个图有 20 个相同的小正方形：20＝4×5；…… 按此规律，第 个图有 n(n＋1)个相同的小正方形． (3)首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． 观察分析可得：第 1 个图有 1 个圆； 第 2 个图由 7 个圆组成，7＝1＋6； 第 3 个图由 19 个圆组成，19＝1＋6＋2×6；…… 故第 9 个图由 1＋6＋2×6＋3×6＋…＋8×6＝1＋(1＋2＋3＋…＋8)×6＝217(个)圆组 成．