2019-2020学年无锡市八年级(下)期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年无锡市八年级(下)期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 4.下列式子一定有意义的是
A. B. − C. − D.
2.小伟掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件是随机事件的
是()
A. 掷一次骰子，在骰子向上的一面上的点数大于0
B. 掷一次骰子，在骰子向上的一面上的点数为7
C. 掷三次骰子，在骰子向上的一面上的点数之和刚好为18
D. 掷两次骰子，在骰子向上的一面上的点数之积刚好是11
3.下列用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
4.如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE
的值是()
A. 1
2B. 2 C. √3
3
D. √3
5.已知反比例函数的图象y=−2
x
上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，若y1>y2，则x1−x2的值是()
A. 正数
B. 负数
C. 非正数
D. 不能确定
6.下列各式中，总是正数的是()。

A. B. a 2 C. a 2+1 D. (a+1)2
7.如果把分式3xy
x+y
中的x和y都扩大2倍，则分式的值()
A. 扩大4倍
B. 扩大2倍
C. 不变
D. 缩小2倍
8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+ac
在直角坐标系中的图象大致为()
A.
B.
C.
D.
9.一次函数y=2x+b的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则b的值为()
A. 2
B. −2或1
2C. 1
2
D. 2或−2
10.如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是()
A. (1,1)
B. (2,0)
C. (0,1)
D. (3,1)
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.已知在分式x+b
x−a
中，当x≠3时分式有意义，当x=2时分式值为0，则b a= ______ ．
12.已知样本数据个数为30，且被分成4组，各组数据个数之比为2：4：3：1，则第二小组的频率
为______．
13.化简√32×12=______．
14.如图，线段AB上有C、D两点，AB=6，AC=BD=1，点P是线段CD上的一个动点，分别
以PA、PB为斜边在线段AB的同侧作等腰直角三角形MAP和等腰直角三角形NBP，连接MN，当点P从点C运动到点D的过程中，△PMN的外接圆圆心经过的路程是______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=8，点D是BC上一个动点，以AD、DB为邻
边的所有平行四边形ADBE中，对角线DE的最小值是______ ．
16.如图，在△ABO中，OB=BA，∠OBA=90，双曲线y=k
经过点B，双
x
曲线y=k+1
x
经过点A，且点B的纵坐标为2，则k值为______．
17.如图，直线y=4−x与双曲线y=3
交于A，B两点，过B作直线BC⊥y
x
轴，垂足为C，则以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是______．
18.如图，一张长方形纸片ABCD的长AD=9，宽AB=3.现将其折叠，使点D与点B重合，则折
叠后BE的长为______ ．
三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）
19. 解下列方程：2x−2−1x =0．
20. (1)计算：(−13)−1+3tan60°+(π−2019)0−3√12+|1−3√3|；
(2)先化简，再求代数式(1+
3x−2)÷x 2−1x−2的值，其中x 是不等式组{x −1>02x +1<8
的整数解．
四、解答题（本大题共6小题，共52.0分）
21. 解方程或求值：
(1)3x 2−√3x −12=0
(2)
2√2+3√35−√6⋅1√5+2√6
22. 邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的
四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n 阶准菱形．如图1，▱ABCD 中，若AB =1，BC =2，则▱ABCD 为1阶准菱形．
(1)判断与推理：
①邻边长分别为2和3的平行四边形是______阶准菱形；
②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD 沿BE 折叠(点E 在AD 上)，使点A
落在BC 边上的点F ，得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE 是菱形．
(2)操作、探究与计算：
①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a(a>1)，且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，
并在图形下方写出a的值；
②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b(a>b)，满足a=6b+r，b=5r，请写出▱ABCD是几阶准菱
形．
23.为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用
制度”(以下简称“限塑令”).某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：
“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表：
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2000人次到该超市购物．根据这100位顾客平
均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？
(2)补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处
理，能对环境保护带来积极的影响．
24. 我市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新
增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这可提前4年完成任务．问实际每年绿化面积多少万平方米？
25. 在平面直角坐标系中，将一个点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫
做这个点的“互换点”，如(−3,5)与(5,−3)是一对“互换点”．
(1)任意一对“互换点”______(填“都能”或“都不能”)在一个反比例函数的图象上；
(2)M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为(2,−5)，求直线MN的表达式；
(3)在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=−2
x
的图
象上，直线AB经过点P(1
2,1
2
)，求此抛物线的表达式．
26. 阅读下列材料，并回答问题．
事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理.请利用这个结论，完成下面活动：
(1)一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为______ ；
(2)如图1，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE，AC=4，DC=1，求BD的长度．
(3)如图2，点A在数轴上表示的数是______ ，请用类似的方法在如图数轴上画出表示数√10的B点
(保留作图痕迹)．
【答案与解析】
1.答案：C
解析：根据二次根式有意义的条件可得被开方数为非负数分式有意义，a 2+1无论a为何值，都大于零．
根据二次根式有意义的条件可得a 2+1>0，
因此−一定有意义．
故选：C．
2.答案：C
解析：解：掷一次骰子，在骰子向上的一面上的点数大于0是必然事件；
掷一次骰子，在骰子向上的一面上的点数为7是不可能事件；
掷三次骰子，在骰子向上的一面上的点数之和刚好为18是随机事件；
掷两次骰子，在骰子向上的一面上的点数之积刚好是11是不可能事件，
故选：C．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.答案：C
解析：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4.答案：D
解析：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵CE⊥AB，点E是AB中点，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBF=30°，
∴∠BFE=60°，
∴tan∠BFE的值为√3．
故选：D．
首先利用菱形的性质得出AB=BC，又有CE⊥AB交于点E，且点E是AB中点，即可得出∠ABC=60°，再利用三角函数得出答案．
此题考查菱形的性质，关键是根据含30°的直角三角形的性质和三角函数解答．
5.答案：D
解析：解：∵反比例函数的图象y=−2
x
的图象在二、四象限，
∴当点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在第二象限时，由y1>y2，则x1−x2>0；
当点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在第四象限时，由y1>y2，则x1−x2>0；
当点A(x1,y1)在第二象限、B(x2,y2)在第四象限时，即y1>0>y2，则x1−x2<0；
则x1−x2的值不确定．
故选：D．
由于点A、B所在象限不定，那么自变量的值大小也不定，则x1−x2的值不确定．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数的图象的增减性只指在同一象限内．6.答案：C
解析：本题考查非负数的认识
由题意可知，当a=0时，A、B选项的值都是0，a=−1时，D选项为0，
C的最小值为1，所以本题选择C．
7.答案：B
解析：解：原式=3×2x×2y
2x+2y
=
6xy x+y
=2×3xy
x+y
，
故选：B．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
8.答案：D
解析：解：由二次函数的图象可知，
a>0，b<0，c<0，
∵一次函数y=bx+ac，
∴b<0，ac<0，
∴一次函数y=bx+ac的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
根据二次函数的图象可以判断a、b、c的正负情况，然后根据一次函数的解析式和一次函数的性质即可得到该一次函数的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数和一次函数的性质解答．
9.答案：D
解析：解：
不妨设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，
在y=2x+b中，令y=0可得x=−b
2
，令x=0可得y=b，
∴A(−b
2
,0)，B(0,b)，
∴OA=|−b
2
|，OB=|b|，
∵S△AOB=1，
∴1
2OA⋅OB=1，即1
2
|−b
2
||b|=1，
整理可得|b|2=4，
∴b=2或b=−2，
故选：D．
分别令y=0和x=0可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，可求得答案．
本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用b分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键．10.答案：C
解析：解：如图，点P即为旋转中心，P(0,1)，
故选：C．
对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
本题考查旋转变换，记住对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心是解题的关键．
11.答案：−8
解析：解：当x−a≠0即x≠a时分式有意义，
所以a=3，
当x+b=0，x−a≠0时分式值为0，
可得−b=2，b=−2，
所以b a=−8，
故答案为：−8
根据分式有意义的条件是分母不等于零，求出a的值；根据分式的值为零的条件求出b的值，再求代数式即可．
本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．
分式有意义的条件是分母不等于零．
若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
12.答案：0.4
=12，
解析：解：第二小组的频数：30×4
2+4+3+1
=0.4，
则第二小组的频率：12
30
故答案为：0.4．
首先计算出第二小组的频数，然后再算频率．
此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频数是指每个对象出现的次数．频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比).即频率=频数÷总数．
13.答案：6√3
解析：解：原式=3×√12=6√3，
故答案为：6√3
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
14.答案：2
解析：解：如图，分别延长AM、BN交于点F．
∵△AMP和△PNB都是等腰直角三角形，且∠AMP=∠BNP=
90°
∵∠A=∠APM=∠BPN=∠B=45°，
∴∠MPN=90°，
∴△MPN是直角三角形，
∴△PMN的外接圆的圆心是MN的中点O，
∵∠A=∠BPN，
∴AF//PN，
同理，PM//BN，
∴四边形MPNF为平行四边形，
∴PF与MN互相平分．
∵O为MN的中点，
∴O为PF中点，即在P的运动过程中，O始终为FP的中点，所以O的运行轨迹为三角形FCD的中位线G，．
∵CD=AB−AC−BD=6−1−1=4，
CD=2，即，△PMN的外接圆圆心经过的路程是2．
∴GH=1
2
故答案为：2．
分别延长AM、BN交于点F，易证△MPN是直角三角形，即△PMN的外接圆圆心是MN的中点O，由于四边形MPNF为平行四边形，得出O为PF中点，设点P从距离A点1cm处C沿AB向右运动至距离B点1cm处N，则O的运行轨迹为△CDF的中位线GH.运用中位线的性质求出GH的长度即可．本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定和性质，以及动点问题，是中考的热点，解题的关键是正确寻找点R的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
15.答案：4√3
解析：解：设AB、DE交于点O，如图：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴BC⊥AC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OB．
∴当OD取得最小值时，对角线DE最小，此时OD⊥BC，
∴OD//AC．
又∵点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
AC．
∴OD=1
2
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=8，
∴由勾股定理得：AC=√AB2−BC2=√82−42=4√3．
∴OD=1
×4√3=2√3．
2
∴DE=2OD=4√3．
故答案为：4√3．
由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值；由勾股定理可求得AC的长；由三角形的中位线定理可求得OD的最小值，再乘以2即可得出DE的最小值．
本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、三角形的中位线定理及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
16.答案：2
解析：解：作BC⊥y轴于C，作AD⊥BC于D，如图，设B(k
2
,2)，
∵∠OBA=90°，
∴∠OBC+∠ABD=90°，
而∠OBC+∠BOC=90°，
∴∠BOC=∠ABD，
在△BOC和△ABD中
{∠BCO=∠ADB ∠BOC=∠ABD BO=AB
，
∴△BOC≌△ABD，
∴AD=BC=k
2
，BD=OC=2，
∴A(2+k
2,2−k
2
)，
∵点A(2+k
2,2−k
2
)在双曲线y=k+1
x
上，
∴(2+k
2)(2−k
2
)=k+1，
整理得k2+4k−12=0，解得k1=2，k2=−6(舍去)，即k的值为2．
故答案为2．
作BC⊥y轴于C，作AD⊥BC于D，如图，设B(k
2,2)，证明△BOC≌△ABD得到AD=BC=k
2
，BD=
OC=2，则A(2+k
2,2−k
2
)，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到(2+k
2
)(2−k
2
)=k+1，然
后解关于k的方程即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k
x
(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k.也考查了全等三角形的判定与性质．
17.答案：(−1,1)和(2,1)
解析：解：由{y=4−x
y=3
x
求得{
x=1
y=3或{
x=3
y=1，
∴A(1,3)，B(3,1)，
∴OA =√32+12=√10，
设OA 的中点为P ，以AB 为直径的⊙P 与直线BC 的交点为M 、N ，
过P 点作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于E ，连接PN ，
∵P 是OA 的中点，
∴P(12,32)，
∴PD =32，
∵BC ⊥y 轴，垂足为C ，
∴BC//x 轴，
∴PD ⊥BC ，
∴PE =32−1=12
， 在Rt △PEN 中，EM =EN =√PN 2−PE 2=√(√102)2−(12)2=32
， ∴M(−1,1)，N(2,1)．
∴以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是(−1,1)和(2,1)，
故答案为(−1,1)和(2,1)．
求得交点A 、B 的坐标，即可求得直径AB 的长度和P 点的坐标，从而求得PE 的长度，利用勾股定理求得EM =EN =32，结合P 的坐标即可求得以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标．
本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数和反比例函数的交点问题，垂径定理，勾股定理的应用，求得圆心的坐标是解题的关键． 18.答案：5
解析：解：由折叠的性质可知：BE =ED ，
设BE =DE =x ，则AE =AD −DE =9−x ，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠A =90°，
在Rt △ABE 中，BE 2=AB 2+AE 2，即x 2=(9−x)2+32，
解得：x =5，
即BE 的长为5．
故答案为：5．
根据折叠的性质可知BE=ED，设BE=DE=x，则AE=AD−DE=8−x，然后根据勾股定理即可求得x的长．
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
19.答案：解：去分母得：2x−x+2=0，
解得：x=−2，
经检验，x=−2是原方程的解．
解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20.答案：解：(1)原式=−3+3√3+1−6√3+3√3−1=−3；
(2)原式=x−2+3
x−2⋅x−2
(x+1)(x−1)
=x+1
x−2
⋅x−2
(x+1)(x−1)
=1
x−1
，
不等式组整理得：{x>1
x<7
2
，解集为1<x<7
2
，
∴不等式组的整数解为2(舍去)，3，
则x=3时，原式=1
2
．
解析：(1)原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的整数解确定出x的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.答案：解：(1)∵3x2−√3x−12=0，
∴(√3x+3)(√3x−4)=0，
则√3x+3=0或√3x−4=0，
解得x1=−√3,x2=4√3
3
；
(2)原式=√2)3√3)3
5−√6√
(√2+√3)2
=
√2√3)(2√6
5−√6√2+√3
=1．
解析：(1)利用十字相乘法将方程左边因式分解可得(√3x+3)(√3x−4)=0，再进一步求解可得；
(2)原式变形为(√2)3+(√3)3
5−√6⋅1
√(√2+√3)2，再进一步利用立方和公式和二次根式的性质计算，继而整理、
约分即可得．
本题主要考查解一元二次方程和二次根式的混合运算，解题的关键是掌握根据方程的特点选择合适的方法求解和二次根式的性质．
22.答案：(1)①2；
②由折叠知：∠ABE =∠FBE ，AB =BF ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AE//BF ，
∴∠AEB =∠FBE ，
∴∠AEB =∠ABE ，
∴AE =AB ，
∴AE =BF ，
∴四边形ABFE 是平行四边形，
∴四边形ABFE 是菱形；
(2)
①如图所示：
，
②答：10阶菱形，
∵a =6b +r ，b =5r ，
∴a =6×5r +r =31r ；
如图所示：
故▱ABCD 是10阶准菱形．
解析：
解：(1)①利用邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；
故答案为：2；
②见答案；
(2)①见答案；
②见答案．
(1)①根据邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；
②根据平行四边形的性质得出AE//BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；
(2)①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；
②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出▱ABCD是几阶准菱形．
此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．
23.答案：解：
(1)补全图1见下图．
因为9×1+37×2+26×3+11×4+10×5+4×6+3×7
100=300
100
=3(个)，即这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋
的平均数为3个．因为2000×3=6000，所以估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋．
(2)图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25%．
例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献．
解析：(1)根据调查的总人数100人，结合其它部分数据即可计算出5个对应的频数是100−90=10；然后首先计算样本平均数，再进一步计算2000人需要的塑料袋；
(2)根据总百分比是1即可计算收费塑料购物袋占：1−75%=25%；结合两个统计图中的数据进行合理分析，提出合理化建议即可．
24.答案：解：设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米，
根据题意得：360
x −360
1.6x
=4，
解得：x=33.75，
经检验，x=33.75是原分式方程的解，
∴1.6x=54．
答：实际每年绿化面积为54万平方米．
解析：设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前4年完成任务．即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25.答案：都能
解析：解：(1)任意一对“互换点”都能在一个反比例函数的图象上．理由如下：
设A(a,b)在反比例函数y=k
x
的图象上，则k=ab．
根据“互换点”的意义，可知A(a,b)的“互换点”是(b,a)．
∵ba=ab=k，
∴(b,a)也在反比例函数y =k x 的图象上．
故答案为：都能；
(2)∵M 、N 是一对“互换点”，点M 的坐标为(2,−5)，
∴N(−5,2)．
设直线MN 的表达式为：y =kx +b ，
∴{2k +b =−5−5k +b =2， 解得：{k =−1b =−3
， ∴直线MN 的表达式为y =−x −3；
(3)∵点A 在反比例函数y =−2x 的图象上，
∴设A(k,−2k )，
∵A ，B 是一对“互换点”，
∴B(−2k ,k)，
设直线AB 的解析式为y =mx +n ，
∵直线AB 经过点P(12,12)，
∴{ 12m +n =12km +n =−2k −2k
m +n =k ，解得{m =−1n =1k =2或−1， ∴A(2,−1)，B(−1,2)，或A(−1,2)，B(2,−1)．
将A 、B 两点的坐标代入y =x 2+bx +c ，
得{4+2b +c =−11−b +c =2，解得{b =−2c =−1
， ∴此抛物线的表达式为y =x 2−2x −1．
(1)根据乘法满足交换律即可求解；
(2)根据“互换点”的意义求出点N 的坐标，再利用待定系数法求出直线MN 的表达式；
(3)根据反比例函数图象上点的坐标特征可设A(k,−2k )，由“互换点”的意义可得B(−2k ,k)，利用待定系数法求出直线AB 的解析式，再将A 、B 的坐标代入y =x 2+bx +c ，即可求出此抛物线的表达式．
本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，方程组的解法，理解“互换点”的意义是解题的关键．
26.答案：10 −√5
解析：解：(1)直角三角形的两条直角边分别为6、8，
则这个直角三角形斜边长=√62+82=10，
故答案为：10；
(2)在Rt△ADC中，AD=√AC2−CD2=√42−12=√15，
∴BD=AD=√15；
(3)点A在数轴上表示的数是：−√22+12=−√5，
由勾股定理得，OC=√10，
以O为圆心、OC为半径作弧交x轴于B，则点B即为所求，
故答案为：−√5．
(1)根据勾股定理计算；
(2)根据勾股定理求出AD，根据题意求出BD；
(3)根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理的应用，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方是解题的关键．。