高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.2 基本不等式例题与探究 新人教A版

基本不等式
典题精讲
【例1】若正数a,b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值X 围是_________.
思路解析：已知条件中既有a,b 的乘积又有它们的和，而要求的是ab 的取值X 围，因而需用基本不等式把a+b 转化为乘积ab 的不等式.
∵ab=a+b+3,a,b 为正数, ∴ab≥ab 2+3, ∴(ab )2-ab 2-3≥0. ∴(ab -3)(ab +1)≥0. ∴ab -3≥0.∴ab≥9.
∴ab 的取值X 围是［9,+∞).
答案：［9,+∞)
绿色通道：在同一条件式中同时出现两个正数的和与积，去求和或积的X 围，是基本不等式的应用中最基本的题型，通常利用基本不等式直接转化为某个不等式，视为解不等式即可.但要时刻紧扣“一正，二定，三相等”的前提条件.
【变式训练】 若正数a,b 满足ab=a+b+3,则a+b 的取值X 围是__________.
思路解析：利用基本不等式的变形ab≤(2
b a +)2,使已知条件转化为不等式求解. 方法一：∵ab≤(
2
b a +)2, ∴ab=a+b+3≤(2b a +)2. ∴(a+b)2
-4(a+b)-12≥0,
∴［(a+b)-6］［(a+b)+2］≥0,
∴a+b≥6或a+b≤-2（舍）.
方法二：∵ab=a+b+3, ∴b =
1
3-+a a >0,∴a>1. ∴a+b=a+14113-+-+=-+a a a a a =a+1+14-a , =(a-1)+1
4-a +2≥14)1(2-•-a a +2=6. 当且仅当a-1=4a-1,即a=3时取等号.
答案：［6+∞)
【例2】若x,y 是正数，则（x+y 21）2+（y+x
21）2的最小值是（ ）
A.3
B.27
C.4
D.2
9 思路解析：本题中的代数式展开后可出现利用基本不等式的结构，若注意到字母x,y 在所给条件中的等价性，联系基本不等式的知识，可知当x=y 时可取到最小值.
方法一：∵将命题x,y 的位置对调之后，命题的形式不变，
∴取到最小值时，x=y,此时原式=2(x+x
21)2≥2)212(2x x •=4, 取“=”的条件为x=y=2
2. 方法二：(x+y 21)2+(y+x
21)2 =(x 2+241x
)+(y 2+241y )+(y x +x y )≥1+1+2=4, 当x=y=
22时，式子取得最小值4. 方法三：∵x>0,y>0, ∴(x+y 21)2≥y
x y x 2)22(2=. (y+x
21)2≥x y x y 2)22(2=. ∴(x+y 21)2+(y+x
21)2≥x y y x 22+≥4. 当且仅当y=
x 21且x=y 21,且x y y x 22=, 即x=y=2
2时取“=”号. 答案：C
绿色通道：本题的方法二与方法三都用了不止一次基本不等式求X 围，方法二中包含三个可用基本不等式的结构式，方法三是先有两个数学结构式用了基本不等式，然后出现的新结构式又用了一次基本不等式.这种处理方法是有前提条件的，也就是说对一个数学结构式重复使用基本不等式时，要注意“=”的延续性，即不论使用了几次基本不等式，取“=”号时的x,y 的值应该是相同的，否则最后的“=”号是取不到的，如方法三中用“y=x
21且x=y 21
且x y y x 22 ”来限制“=”号. 【变式训练】 已知a,b∈R +，a+b=1，求证：(a+a 1)(b+b 1)≥4
25. 思路分析：本题涉及“1”的代换问题，把不等式左侧中的“1”换成a+b,去括号后可以出
现利用基本不等式的数学结构ab+
ab 1+a b +b a ,但其中a b +b a 能用基本不等式，而ab+ab
1不能用，“=”号取不到，因而应考虑用构造函数法构造y=x+x
1(x=ab)，求最小值，这要求求ab+ab 1的最小值用单调性法，而求a b +b a 的最小值用基本不等式法，但二者应对应统一的a,b 的值.
证明：设y=ab+
ab 1，则(a+a 1)(b+b 1)=ab+ab 1+a b +b a ≥y+2(当a=2时，取等号)，因此，只要证y≥4
17即可. 设ab=x,x∈(0,41］,则y=x+x 1，且y=x+x 1在（0,4
1］上为减函数. ∴当x=41时，y min =417，此时a=b=2
1, ∴ab+ab 1≥4
17, ∴(a+a 1)(b+b 1)≥4
25. 【例3】 如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知流出
的水中该杂质的质量分数与a,b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60 m 2，问当a,b 各为多少
时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？（A 、B 孔的面积忽略不计）
思路分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y ，由题意y 与ab 成反比，又设比例系数为k ，则y=ab
k .又由于受箱体材料多少的限制，a,b 之间应有一定的关系式，即2×(2b)+2ab+2a=60,因此该题的数学模型是：已知ab+a+2b=30,a>0,b>0,当y=ab
k 最小时，求a,b 的值. 解法一：设流出的水中杂质的质量分数为y ，由题意 y=
ab k (k>0)，其中k 为比例系数. 又据题意设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，
∴b=a
a +-230（由a>0,b>0,可得a<30）. ∴y=
ab k =a a
a k +-2302. 令t=a+2,则a=t-2, 从而t
t t a a a 2
2)2()2(30230---=+- =t t t 64342--≤34--≤+34)64(t t t t 642⨯=18, ∴y=ab k ≥18
k . 当且仅当t=64t,即t=8,
∴a=6时取“=”号.
由a=6,得b=3.
综上所述，当a=6 m,b=3 m 时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.
解法二：设流出的水中杂质的质量分数为y ，依题意y=
ab k ，其中k 为比例系数，k>0，要求y 的最小值，必须求解ab 的最大值.
题设4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a>0,b>0), ∵a+2b≥ab 22(当且仅当a=2b 时取“=”号)， ∴ab+22ab ≤30,可解得0<ab≤18.
由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3.
即a=6,b=3时，ab 取最大值，从而y 值最小.
绿色通道：利用不等式解决实际应用问题，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y=f(x)(x-般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题.求解过程中要注意实际问题对变量x 的X 围制约.
由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形(如解法一).对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量（或常数）的方法，拼凑出类似函数y=x+a[]x 的结构，然后用基本不等式（符合条件）或单调性求最值.这种变形的技巧经过适当的强化训练，是可以较容易掌握的.
【变式训练】 一船由甲地逆水匀速行驶到乙地，甲乙两地相距s(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)，且p<q.已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k.
（1）把全程燃料费用y(元)表示为静水中的速度v(千米/小时)的函数，并指出其定义域.
（2）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？
思路分析：由题意，全程燃料费由每小时的费用及航程时间来决定，所以应先找出每小时的
燃料费用及全程航行时间，而第（2）问是求最值问题.是否需用基本不等式，要注意适用的条件，尤其是第（1）问的定义域，水速应小于船的最小速度，所以定义域应是（p,q ］.因此，本题若基本不等式的“=”号能满足即可求得结果，但也存在不能使“=”号成立的情况，因而，也需用函数的单调性求解.
解：（1）由于船每小时航行的燃料费用是kv 2，全程航行时间为p
v s -，于是全程燃料费用y=kv 2·p
v s -, 故所求函数是y=ks·p
v -2
v (p<v≤q),定义域是（p,q ］. （2）y=ks·p v p p v -+-222）（=ks ［(v+p)+p
v p -2
］ =ks ［v-p+p v p -2+2p ］≥ks［p
v p p v -•-2
)(2+2p ］=4ksp. 其中取“=”的充要条件是
v-p=p
v p -2
,即v=2p. ①当v=2p∈(p,q］,
即2p≤q 时，y min =f(2p)=4ksp.
②当2p (p,q ］,即2p>q.
任取v 1,v 2∈(p,q］且v 1<v 2, 则
y 1-y 2=ks ［(v 1-v 2)+(p
v p p v p ---22
12)］ =)
)(()(2112p v p v v v ks ---［p 2-(v 1-p)(v 2-p)］. 而p 2-(v 1-p)(v 2-p)>p 2-(q-p)(q-p)
=q(2p-q)>0.
∴y 1-y 2>0.
故函数y 在区间（p,q ］内递减，此时y(v)≥y(q).
即y min =y(q)=ks p
q q -2
. 此时，船的前进速度等于q-p.
故为使全程燃料费用最小，当2p≤q 时，船的实际前进速度应为2p-p=p(千米/小时)；当2p>q 时，船的实际前进速度为q-p （千米/小时）.
问题探究
问题：如右图，粗细均匀的玻璃管长L=100厘米，开口向上竖直放置时，上端齐管口有一段h=25厘米的水银柱封闭着27 ℃空气柱，大气压强为p 0=75厘米汞柱，如果空气柱温度逐渐升高，欲使管内水银全部溢出，温度
至少升到多高？
导思：结合物理知识，转化为数学问题，要注意转化的数学式子的特点，寻找可以求最值的方法，而基本不等式的三个要求就是一个特征.
探究：设管内空气柱温度升高到T ，管内尚有水银柱x 厘米，管的横断面积为S ，则有 T
S x L x p T S h L h p •-+=•-+))(())((000 将数据代入，整理得
T=25
)100)(75(x x -+ 由于(75+x)+(100-x)=175为常数，
所以当(75-x)=(100+x)时，即当x=12.5厘米时，T 有极大值T max =306.25 K.
306.25-273=33.25 ℃.
所以欲使管内水银全部溢出，温度至少升到33.25 ℃.。