2017年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式课件新人教A版选修4_5

值才是2.
【归纳总结】 1.理解基本不等式的两个关键点 一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的 条件是当且仅当a=b时.
2(.1利 )各用项a或2 b各因a式b 为求正最.值的三个条件 (2)和或积为定值. (3)各项或各因式能取得相等的值.
3.定理1与定理2的不同点 定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是 a>0,b>0.
ab 等式 1 2 2 1 2 , 构造关于 ab 的不等式.
ab ab
2.如何利用“x+2y+xy=30”这个条件? 提示:由x+2y+xy=30,得y= 30 x .
x2
【解析】1.选C.因为 1 2 ab ,所以a>0,b>0,由 ab
ab 1 2 2 1 2 ＝2
方法一:由于2x+3y≥ 2 2x 3y 2 6ห้องสมุดไป่ตู้y, 所以2 6x≤y18,得xy≤ , 27
2
即S≤ 27,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由
2x 2x
23y 3y,
18,
解得
x y

4.5, 3.
故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18,得x=93- y.
小,最小费用为2200元.
【补偿训练】动物园要围成相同面积的长方形虎笼四 间.一面可利用原有的墙,其他各面(不包括上盖和地面) 用钢筋网围成.
(1)现有36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少 时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各 设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?
x2
因为x+2+ 64 2 x 2 可64 得x16y.≤18.
x2
x2
当且仅当x+2=64 ,即x=6时,代入y=30 x，
x2
x2
得y=3时,x·y取最大值18.
【延伸探究】
1.典例中题2若将条件“x+2y+xy=30”改为
“x+2y=x·y”,其他条件不变,求x+y的最小值. 【解题指南】将条件x+2y=x·y,变成1 2 1.
【解题指南】设每间虎笼长xm,宽ym,则问题(1)是在 4x+6y=36的前提下求xy的最大值;而问题(2)则是在 xy=24的前提下求4x+6y的最小值,使用基本不等式解 决.
【解析】设每间虎笼长为xm,宽为ym,
(1)由条件得4x+6y=36,即2x+3y=18.
设每间虎笼面积为S,则S=xy.
【即时小测】
1.已知x>3,则x+ 4 的最小值为 ( )
A.2
B.4 x 3 C.5
D.7
【解析】选D.x>3,则
x 4 x3 4 3
x3
x3
当且仅当x=5时等号成立.
2x 3 ( 4 ) 3 7.
x3
2.设x,y∈R+且xy-(x+y)=1,则 ( )
当且仅当a=b=c=1 3
3
时取等号.
3
3
所以a2+b2+c2≥1 .
3
(2)由a>0,b>0,c>0,所以
a
1

a

1 3，
32
b
1

b

1 3，c
1

c

1 3，
32 32
相加得:
a b c a b c 1 1，
3
2
所以 a b c 3. 当且仅当a=b=c=1 时取等号.
y
y
y
当且仅当 16=y,即y=4(y=-4舍去)时,等号成立, y
此时x=6.
故每间虎笼长6m,宽4m时,可使钢筋网总长最小.
类型二 利用基本不等式证明不等式
【典例】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,证明:
1
(1)a2+b2+c2≥ .
3 (2) a b c 3.
【解题探究】典例中如何建立a2与a的不等关系?
(2)步骤:
【拓展延伸】利用基本不等式解决实际应用问题的方 法
利用不等式解决实际应用问题时,首先要仔细阅读 题目,弄清要解决的实际问题,确定是求什么量的取值; 其次,分析题目中给出的条件,建立y的函数表达式 y=f(x);最后,利用不等式的有关知识解题.
【变式训练】1.(2015·山东高考)定义运算 “⊗”:x⊗y= x2－y2 (x,y∈R,xy≠0),当x>0,y>0
4.两个不等式定理的常见变形
(1)ab≤ (3)
a
2

b2
(2)ab≤ .?
(
a
≥22(ab>0).(4)
2
b
)2
(a>0,b>0).
ba
(5)aa+b≤b
( a b )2 a2 b2 .
2
2
上述不等式中2(a等2 号b2成). 立的充要条件均为a=b.
类型一 利用基本不等式求最值
yx 然后再乘以x+y,即可利用均值不等式求得.
【解析】由x+2y=x·y得1, 2 1.
所以x+y= (
1

2
)x

y

x
y 2y
x
3
≥
yx
yx
2 x 2y 3 2 2 3
yx
当且仅当
x y

2y ,x结合
1 2 1 yx
得x= 2+2,y=1+ 2 时,取最小值2 +2 3.
1.在基本不等式 a b ab 中,为什么要求a>0,b>0? 2
提示:因为若a<0,b<0时,不等式显然不成立,若其中有
一个为0时,不能称 ab 为几何平均,故要求a>0,b>0.
2.若f(x)=x+ 1 ,则f(x)的最小值为2吗? 提示:f(x)的最x 小值不是2,只有当x>0时,f(x)的最小
2.典例中题2条件不变,求x+2y的最小值. 【解题指南】利用x+2y+x·y=30,建立关于x+2y的 不等式求最值.
【解析】由30=x+2y+xy=x+12y+ ·x·2y 2
≤x+2y+1 ( x 2y)2 即(x+2y2)2+82(x+2y)-240≥0, (x+2y+20)(x+2y-12)≥0, 所以x+2y≥12或x+2y≤-20(舍) 故x+2y的最小值为12,当且仅当x=6,y=3时取得.
所以l=4x+6y=2(2x+2 32yx)≥3y482, 6xy 24,
当且仅当2x=3y时,等号成立.
由
2x xy

3y, 24,
解得
x y

6, 4.
故每间虎笼长6m,宽4m时,可使钢筋网总长最小.
方法二:由xy=24,得x=24 .
y
所以l=4x+6y=96 6y 6(16 y) 6 2 16 y 48.
2.为确保巴西世界杯总决赛的顺利 进行,组委会决定在位于里约热内卢 的马拉卡纳体育场外临时围建一个 矩形观众候场区,总面积为72m2(如图所示),要求矩形 场地的一面利用体育场的外墙,其余三面用铁栏杆围,
并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口.现已 知铁栏杆的租用费用为100元/m.设该矩形区域的长为 x(单位:m),租用铁栏杆的总费用为y(单位:元). (1)将y表示为x的函数. (2)试确定x,使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小, 并求出最小费用.
提示:由 a2 1 2 a2 1 2 a，可建立a2与a的不等关系.
9
93
【证明】(1)由 a2 1 2 a2 1 2 a，
9
93
b2 1 2 b2 1 2 b，
9
93
c2 1 2 c2 1 2 c，
9
93
相加得:a2+b2+c2+1 2 a b c 2，
当且仅当 b a即, a=b时,等号成立. ab
故 (1 1 )(1 1 ) 9. ab
2.已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1. 求证: 1 1 1 9.
abc
【证明】因为a,b,c都是正数,且a+b+c=1.
2
所以ab≥2
，
2 (当且仅当
a b a b ab
b=2a时取等号),所以ab的最小值为2 2 .
2.由x+2y+xy=30,得y3=0 x (0<x<30),
x2
所以x·y=30 x 30x x2 x 22 34x 2 64
x

x2 x2
x2
=34-[x 2 64 ]，
【典例】1.(2015·湖南高考)若实数a,b满足
1 2 ab ,则ab的最小值为 ( )
ab
A. 2
B.2
C.2 2
D.4
2.已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求x·y的最大值.
【解题探究】1.如何利用条件? 提示:根据 1 2 ab 可得a>0,b>0,然后借助基本不
【解析】(1)依题意有:y= 100( 72 2 x 2)其, 中x>2. x
(2)由基本不等式可得:y= 100( 72 2 x 2) x
100(144 x 2) 100 2 144 2 2 200, x 144 当且仅当 x =x,即x=12时取“=”. 综上:当x=12时,租用此区域所用铁栏杆所需费用最
【变式训练】1.已知a,b都是正数,且a+b=1. 求证: (1 1 )(1 1 ) 9.
ab
【证明】 1 1 1 a b 2 b ,
a
a
a
1 1 1 a b 2 a，
b
b
b
所以(1 1 )(1 1 ) (2 b )(2 a )
ab
ab
5 2( b a ) 5 2 2 9， ab
2.基本不等式
【自主预习】 1.重要不等式 定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2_≥__2ab,当且仅当_a_=_b_ 时,等号成立.
2.基本不等式
(1)定理2:如果a,b>0,那么__a__b____a_b_. 2
当且仅当_a_=_b_时,等号成立.
(2)定理2的应用:对两个正实数x,y, ①如果它们的和S是定值,则当且仅当_x_=_y_时,它们的 积P取得最_大__值; ②如果它们的积P是定值,则当且仅当_x_=_y_时,它们的 和S取得最_小__值.
【方法技巧】应用基本不等式求最值的方法与步骤 (1)方法:二看一验证 ①一看式子能否出现和(或积)为定值,若不出现,需对 式子变形,凑出需要的定值; ②二看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决, 同负时,可提取(-1)变为同正;
③验证利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足, 则可取最值;若不满足,则可通过函数单调性或导数解 决.
3
【方法技巧】利用基本不等式证明不等式的方法与技巧 (1)方法:用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等 式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不 等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式或其变 形形式进行证明.
(2)技巧:对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结 论结合起来,寻找出变形的思路,构造出基本不等式,切 忌两次使用基本不等式用传递性证明,有时等号不能同 时取到.
2
因为x>0,所以0<y<6,
S=xy=
因为0<(9y<326y,)所y 以32 66-yy> y0.,
所以S≤
3
6
[

y

y ]2

27
.
22
2
当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立, 此时x=4.5. 故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.
(2)由条件知S=xy=24. 设钢筋网总长为l,则l=4x+6y. 方法一:因为2x+3y≥
2 4
3.函数f(x)= x2 x 1 的值域为_________ .
x2 1
【解析】f(x)=
x
2 x2
x 1
1

1

1
x x2
.
1 x 1 ,所以 1 1 x 3 . 2 1 x2 2 2 1 x2 2
答案:
[1 , 3] 22
【知识探究】 探究点 基本不等式
xy 时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为_________.
【解题指南】本题以新定义形式考查用基本不等式求
最值的基本方法.
【解析】x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x=x2－y2 4y2－x2 xy 2yx
x2 2y2 2 2xy 2. 2xy 2xy
所以所求的最小值为 2 . 答案: 2
A.x+y≥2( 2 +1)
B.xy≤ 2 +1
C.x+y≤( 2 +1)2
D.xy≥2( 2 +1)
【解析】选A.因为xy-(x+y)≤xy- 2 xy,
所以xy- 2 x≥y1,解得xy≥3+ .2 2 又xy-(x+y)≤ 1(x+y)2-(x+y),
4 1(x+y)2-(x+y)≥1,解得x+y≥2( +1).