线性代数07-08第一学期期末(A卷)答案

北京师范大学珠海分校
2007-2008学年第一学期期末考试（A ）答案
开课单位： 应用数学系 课程名称： 线性代数 任课教师：__李兴斯 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________
试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）
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一、 填空（每空3分，共30分）
1、行列式123
456____0_____789
=
2、行列式sin cos cos sin _______+-=-3232330
2
x
x
x
x 3、设行列式 -5 1
1 1 31 0 2D =1，则+=21232A A 0
4、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==65，则||______=30AB
5、设A 为3阶方阵，且
A =3，则A -=13 9
6、设矩阵A ⎛⎫ ⎪
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
1111
110110
1，则A 的秩()R A = 3 7、已知4阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式8=*A ，则=A 2
8、向量组,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1234111110221002αααα线性相关还是无关 线性相关
试卷装订线
9、设向量()(),,,,,x αα==1212369线性相关，则___3____=x
10、设4元方程组=0Ax 的系数矩阵A 的秩为2，则其解向量的秩应为 2
二、选择题（每小题3分，共15分）
1、行列式
19762
196
23941
80
第3行第2列元素的代数余子式A =32（ D ）
（A ）3； （B ）6； （C ）9； （D ）12。

2、若11
1213111213
1
2122
23221222331323331
32
33
23,2323a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a ==，则()21
=D C D
（A ）2； （B ）4； （C ）6； （D ）8。

3、矩阵A ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
1324的伴随矩阵是（ C ） （A ）-⎛⎫ ⎪-⎝⎭1324； （B ）-⎛⎫ ⎪-⎝⎭1324； C ）-⎛⎫ ⎪-⎝⎭4321； （D ）⎛⎫
⎪
⎝⎭
2413。

4、矩阵可逆的充分必要条件是（ B ）
（A ）A ≠0； （B ）A ≠0； （C ）*
A ≠0； （D ）*
A ≠0。

5．齐次线性方程组=0Ax 仅有零解的充分必要条件是（ A ） （A ）A 的列向量组线性无关； （
B ）A 的列向量组线性相关； （
C ）A 的行向量组线性无关；
（D ）A 的行向量组线性相关。

三、（8分）解矩阵方程14311201X ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，求矩阵X 。

解：1
14311201X -⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。

2分 令14,12A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
则111221222,1,4,1,246===-==+=A A A A A 。

4分 12411116-*-⎛⎫
∴=
= ⎪⎝⎭
A A A 。

6分
11243166111110130660
2⎛⎫
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴=== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
X 。

8分 四、（8分）计算行列式301
00
10a D a a
=的值。

解：按第二行（列）展开，得22231
(1)(1)1+=-=-a D a
a a a。

8分 或按对角线法则计算，()332300001=++---=-=-D a a a a a a 。

8分
五、（8分）设方阵
2220A A E --=，证明A 和A E
+都可逆，并求
1A -和
()
1
A E -+。

解：
212220(2)22
202
----=⇒-=⇒⋅
=-∴≠∴∴=
A E
A A E A A E E A E A E
A A A 可逆. 。

4分
22121
2
2202()2()()0221()222222
----=⇒+=⇒+=∴+≠∴+--∴+=⋅⋅=-+ A A E A E A A E A E A E A E A E A E A E A A E
可逆。

8分
或者由()2220(3)--=⇒+-+=A E A E A E E ,两边取行列式，得
()1
31,03-+-=∴+≠∴++=-A E E A A E A E A E E A 可逆且 。

（8分）
六、（10分）问,λμ为何值时，齐次线性方程组 1231231
230
020
x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有非零解？
解：齐次线性方程组有非零解，则系数矩阵11
1
10121
=λ
μμ， 。

2分
即 32
3+21111
1
1
111(-1)=--1=011
1
2100
-==r r λλλμμμμλμμ（） 。

8分
λμ=⋃=10时方程组有非零解。

。

10分
七、（10分）设12,a a 线性无关，12,++a b a b 线性相关，求向量b 用12,a a 线性表示的表示式。

解：
12121122,,+=0++++ a b a b k k k a b k a b
线性相关，故存在不全为零的常数使（）（） 。

4分
()121122,∴+=--k k b k a k a 。

6分 121211221212,0+=0==0,.
+≠⇒a a k k k a k a k k k k 因线性无关，故，
不然，由上式得，这与不全为零矛盾 。

8分
12
121212
∴=-
-++k k b a a k k k k 。

10分 八、（11分）求非齐次线性方程组12341
2341
23452311
53612426
-+-=⎧⎪
++-=-⎨⎪+++=-⎩x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解。

解：
213231212
1522285152311152311152311536110284145602841456242160142728000009110115231172111101201272720000000---÷+------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
--−−−→--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
---⎛⎫ ⎪
⎪−−−→--−−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭r r r r r r r r r 000⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 。

5分
1343423491172,11272⎧
=-++⎪⎪∴⎨⎪=--⎪⎩
x x x x x x x x 其中为自由未知量. 。

6分
341-2
0,=.00⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
x x η令得特解 。

7分 3124-91701-1===027002⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x ξξ令及，得齐次线性方程组的基础解系， 。

9分 11221212-9111-1-2
,,700020⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∴=++=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
x c c c c c c R ξξη非齐次线性方程组的通解为 。

11分 或
令312491-721011-===72010110⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭x x ξξ及，得齐次线性方程组的基础解系，，
1122121291-17211-2-,,72001010⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∴=++=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭x c c c c c c R ξξη非齐次线性方程组的通解为。