1第一章 离散的时间信号与系统

=sin[(4π/3)(n+6k/4)]，
所以 p= 2kπ / ω0= 6k/4， 取k=2，得到p的最小正周期数即x(n) 的周期为N=3。
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1.1.5 用单位脉冲序列表示任意序列
任意序列x(n)都可用单位脉冲序列 (n) 表示成加权和的形式，即
x ( n)
许多时候为了方便，直接用x(n)来代表序列 全体{x(n)}。本书中，离散时间信号与序列将不予 区分。
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1.1.2 序列的基本运算
1. 序列的加减 序列的加减指将两序列序号相同的 数值相加减，即
y(n) x1(n) x 2(n)
示例见下
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（3）y 3(n) a1x1(n) a 2 y1(n)
2 n 解： （ ）y1(n) x 2(n) 1 0 3 ( n 5) (2) y 2(n) x1(n 5) 0 5 （3）y 3(n) a1x1(n) a 2 y1(n) 5 3n 3 2n
余弦与正弦序列示意图如下：
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1.1.4 序列的周期性
若虚列x(n) 满足 x(n)=x(n+N) n ， 且N是使其成立的最小正整数，则称序列x(n)为 以N为周期的周期序列。 下图为周期序列示意图
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按周期序列的定义，对正弦序列 x(n)=sin(ω0n+υ)，因为
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* 序列的插值：指在原来序列的每两个样点之间等
间隔的插入L个新的样点，从而变成 一个具有更多样点的新序列。
x ( n / L) y ( n) 0 n 0, L,2 L 其他
分解过程如下：
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例 1-1-1 3 n n 0 2 n n 0 x1(n) , x 2 ( n) , a1 5, a 2 5, 0 n0 0 n0 求：) y1(n) x 2(n) （2）y 2(n) x1(n 5) (1
2) 系数乘法器，用于实现序列的乘以常数 的运算，其图形表示如图b所示。
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3) 延时器，用于实现序列的延时操作，其 图形表示如图c所示。
*如下图就是利用这些元件实现的一个简单
的线性时不变系统的框图
其数学表达式为 y(n)=x(n)+ay(n-1)
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则有
y(n)=T[x(n)]
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*线性时不变系统的性质
1. 线性性
若系统满足叠加原理
y1 (n) T x1 (n), y2 (n) T x2 (n), y (n) T a1 x1 (n) a2 x2 (n) a1 y1(n) a 2 y 2(n)
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例1-2-1 证明以下系统为线性时不 变系统. n
y (n) T [ x(n)]
证明：
m
x ( m)
线性性 设有序列x1(n)和x2(n)及常数a1和a2 则有 n
T [a1x1(n) a 2 x 2(n)]
n n
m
[a x (m) a x (m)]
x(n)=sin(ω0n+υ)= sin(ω0n+υ+2kπ)
= sin[ω0 (n+ 2kπ / ω0)+ υ] 其中k为整数，除非p= 2kπ / ω0 为整数， 否则正弦序列没有周期
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例 1-1-2 求x(n)=sin(4πn/3)的周期N。
解：因为ω0n= 4π/3， x(n)=sin(4πn/3+2kπ)
E
n
x ( n)

2
36
n 0

可见信号的能量为无限的，但其功率为
K 1 36( K 1) P lim (361) lim 18 k 2 K 1 k 2 K 1 n 0
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1-2 离散时间系统
1.2.1 线性时不变系统 离散时间系统，是指将输入序列变 换成输出序列的一种运算。 用T[ ]表示变换关系，示意图如下。
m
x(m k )
n
在上式中令i=m-k，则上式右边变为
i
x(i) x(m) y(n k )
m
nk
nk
可见系统为时不变系统。
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1.2.2 线性时不变系统的基本元件
线性时不变系统的由以下3个元件组成 1) 加法器，用于实现序列的加法运算，其 图形表示如图a所示。
数字信号处理课件
第一章
刘益成
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第一章 离散的时间信号与系统
1-1 离散时间信号 1-2 离散时间系统 1-3 线性时不变系统的差分方程描述 1-4 连续时间信号的数字处理
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1-1 离散时间信号
1.1.1 离散时间信号及其时域表示 离散时间信号 在物理上是指定义在离散时间上的 信号样品的集合，在数学上可用时间序 列{x(n)}来表示。
能量为无限值，平均功率为有限值的信 号称为功率信号。
*对周期为N的周期序列x(n) ，其平均功率
定义为
1 P N

n 0
N 1
~ ( n) 2 x
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例 1-1-3
设离散信号x(n)的表达式为
x(n)=6(-1)nu(n)
判断信号是能量信号还是功率信号。 解：信号的能量为
-2 -1 0 1 2
n m
1
1…m n
0
2.单位阶跃序
n0 n0
...
0 1 2 3 n
(n) 与 u(n) 的关系
(n) u (n) u (n) u (n 1)
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2)
1 1 2 2
a1 x1(m) a 2 x 2(m) a1T [ x1(m)] a 2T [ x 2(m)]
m m
a1 y1(n) a 2 y 2(n)
故知该系统为线性系统。
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时不变特性：由于
T [ x(n k )]
那么该系统就是线性系统。
a1T x1 (n) a2T x2 (n)
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2. 时不变特性 （或移不变特性 ）
若系统变换关系不随时间变化，亦即系统 的输出随输入的移位而相应移位但形状不变， 称作时不变系统。
用公式表示
设 则有 y(n) = T[x(n)] T[x(n-n0)]=y(n-n0)， n0为常数
如:
m
x(m) (n m)
n

可表示为
a x ( n) 0
x ( n)
10 n 10 其他
m 10
a m (n m)
10
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1.1.6 序列的能量与功率
有界信号 x(n)（ x(n) b ）序列 的能量E定义为
例：求z(n)=x(n)· y(n)
解： z(0)=x(0)· y(0)
z(1)=x(1)· y(1)
z(2)=x(2)· y(2) …
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3. 序列的延时
序列的延时是将序列全体在时间轴上移动。
y(n)=x(n-n0)
n0 <0左移，n0>0右移
如图：当 n0 =3时
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n0 n0
n5 n5
n0 n0
1.1.3 一些常用序列
1. 单位脉冲序列 (n)
n
1 n
1, ( n) 0, 1, (n m) 0,
n0 n0 nm nm
-2 -1
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x(n) e
x ( n) e
n
( j0 ) n
式中ω0为数字频率
n
将复指数表示成实部与虚部
cos 0 n je sin 0 n
其示意图如下：
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令 x(n) en cos 0 n jen sin 0 n
中σ = 0，则有 x(n) cos 0 n j sin 0 n 其实部与虚部分别为余弦与正弦序列。
E
n


x ( n)
2
当 E 时，称信号为能量有限信号。 若序列的长度为有限长，且值为有限值，则信 号的能量就是有限的。但当信号的长度为无限 长时，即使信号有界，其能量也不一定是有限 的。
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* 对非周期序列x(n) ，若序列为无限长，
其平均功率定义为 K 1 1 2 P lim K x(n) lim 2 K 1 E k 2 K 1 k n 能量为有限值，平均功率等于0的信号称 为能量信号。
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7.序列的抽取与插值 * 序列的抽取：指将原来的序列每隔M个样点保留
一个样点，去掉其中的M-1个样点 形成的新序列。 y(n)=x(nM) 其分解过程见下例 如图所示， 取M=3,则y(n)= ？
解： y(-1)= x(-1· 3) y(0)= x(0· 3)
y(1)= x(1· 3) …
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4. 序列乘常数 序列乘以常数指将序列的每一个值 都乘以常数，即
y(n)=ax(n)
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5. 序列的反褶 序列的反褶指将序列以n=0为对称轴 进行对褶。
y(n)=x(-n)
如下图所示：
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6.序列的差分运算 序列的差分运算指同一序列相邻的两个样 点之差，分为前向差分和后向差分。
m 0
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3.矩形序列 RN (n)
1 0 n N 1 RN (n) 0 其他 n
RN (n) 与 u(n) 的关系
RN (n)
1
0 1
2 3
n
RN (n) u(n) u(n N )
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4.复指数序列
例：求z(n)=x(n)+y(n)
解： z(0)=x(0)+y(0) z(1)=x(1)+y(1) z(2)=x(2)+y(2) …
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2. 序列的乘积 序列的乘积是指同序号的序列值对 应相乘。即
z ( n ) x ( n ) y ( n)
示例见下
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前向差分： x(n)
后向差分： x(n) 比较上面两式，显然有
x(n 1) x(n) x(n) x(n 1)
x(n) x(n 1)
当对序列进行多次差分时，就变成高次差分。 如二次差分 2 x(n) [x(n)] x(n) (n 1) x(n) 2 x(n 1) x(n 2)
箭头表示时间的零点位置
*离散信号也可用公式表示
例 如
x(n) sin n
n
a n n 0, a 1 x ( n) n n 0, b 1 b
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*离散信号还可用图形的方式表示
图中横坐标n表示离散的时间坐标，且 仅在n为整数时才有意义；纵坐标代表信号 样点的值。
样品集合可以是本来就存在的，也 x(n)代表序列的第n个样点的数字， 可以是由模拟信号通过采样得来的或者 n代表时间的序号。 是用计算机产生的
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离散时间信号的时域表示
* 表示离散时间信号的方法可采用枚举的方式。
例 如 {x(n)}={…，-1.5，-8.7，2.53，0.0，6，7.2，…}
1.2.3 单位脉冲响应与线性时不变系统 的卷积表示
若给线性移不变系统输入单位脉冲δ(n)，则 其输出y(n)称为单位抽样响应，常用h(n)表示， 即
h(n) T [ (n)]
若已知系统的h(n)，对于任意的输入x(n)， 利用线性时不变特性可求得其输出y(n)为