北师大版八下数学《分式方程》典型例题1(含答案)

《分式方程》典型例题
例1．指出下列方程哪些是整式方程，哪些是分式方程，并说出它们的区别. ①21=+x x ②275-=y y ③2
132-=x x ④a
b x b a x -+=+2（x 是未知数）⑤x x x -=-2212
例2．满足方程2
211-=-x x 的x 的值是 A ．1 B ．2 C ．0 D ．没有
例3．解方程
11
4112=---+x x x
例4．解方程 41313
2=-+--++x x x x x
例5．当a 为何值时，关于x 的方程
53221+-=-+a a x x 的解等于零？
例6．为何值时，关于x 的分式方程
5
3221+-=-+a a x x 的解为零？
例7．把以下公式进行变形： （1）已知Ir n
IR E +=
（0≠+rn R ），求I ； （2）已知2021gt t v s -=（0≠t ），求0v .
例8．m 为何值时，关于x 的方程
234222+=-+-x x mx x 会产生增根？
例9．分式方程
01
11=+--+-x x x k x x 有增根1=x ，求k 的值.
例10．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-.352,413y
x y x
参考答案
例1．解答 整式方程为：③④
分式方程为：①②⑤
它们的主要区别在于：分式方程的分母中含有未知数.
说明 根据定义，把握分母中是否含有未知数这一特征来判断.
例2．分析 用验证法比用直接法简便. 当1=x 或2=x 时，方程中均有1个分式无意义，所以1=x 与2=x 不是所求的值. 当0=x 时，方程的左右两边相等.
解答 C
说明 考查分式方程的解法.
例3．解答 原方程变形为1)
1)(1(411-+---+x x x x 方程两边都乘)1)(1(+-x x ，约去分母，得
)1)(1(4)1(2+-=-+x x x ，
解这个整式方程，得1=x
检验：当1=x 时，0)1)(1(=+-x x
∴ 1=x 是增根，∴原方程无解．
说明 分式方程一定要注意验根．
例4．分析 去分母时，把12++x x 看做整体处理．
解答 方程两边都乘)1(-x ，约去分母，得
)1(4)3()1)(1(32-=+----+x x x x x x ，（分数线起着扩号的作用）
解这个整式方程，得
0=x
检验：当0=x 时，.01≠-x
∴ 0=x 是原方程的解．
说明 解分式方程的思路一般为：抓形式特点→整体处理→转化为整式方程→解整式方程→检验得解
例5．解答 方程的两边都乘以)2)(5(-+x a ，得)2)(32()5)(1(--=++x a a x ，整理，得.51)8(a x a -=-
当8≠a 时，方程有惟一解a
a x --=
851. 设0851=--a a ，则051=-a ，故5
1=a . 综上，当51=a 时，原方程的解等于零. 说明 考查分式方程的解法.
例6．分析一 由方程解的定义，将0=x 代入方程便可求出a 值.
解答一 ∵0=x ，故原方程化为
5
3221+-=-a a 解此分式方程，得 51=
a . 经检验知51=
a 是原方程的解. ∴ 5
1=a 时，方程的解为零. 分析二 解关于x 的分式方程，求出用a 表示x 的关系后，令0=x ，求出0=x ，此法较复杂.
解答二 方程两边都乘以最简公分母)5)(2(+-a x ，约去分母，得
)2)(32()5)(1(--=++x a a x
解关于x 的整式方程得 815--=
a a x ∵ 0=x ，
∴ 08
15=--a a ， ∴ 015=-a ，.5
1=a 检验：当5
1=a 时，0)5)(2(≠+-a x ∴ 当5
1=a 时，方程的解为零. 例7．分析 公式变形从实质上看就是解含有字母已知数的分式方程. 它的解法和含数字已知数的分式方程是一样的. 一般情况，公式变形不必检验.
（1）题中，I 是未知数，r n R E ,,,是字母已知数；
（2）题中0v 是未知数，g t s ,,是字母已知数.
解答（1）两边都乘以n ，得
n Ir IR n E ⋅+=⋅，
即E n I n r R ⋅=⋅+)(，
∵0≠+rn R
∴两边都除以rn R +，得
rn
R nE I += （2）移项，2021gt s t v +
=， ∴ 2022gt s v t +=⋅，
∵0≠t ，
∴两边都除以t 2，得
t
gt s v 222
0+= 例8．分析 增根是分式方程去掉分母后的整式方程的根，但又使原方程的分母为0.
解答 方程两边都乘以)2)(2(-+x x ，得6342-=++x mx x ，整理，得10)1(-=-x m .
当1≠m 时，1
10--=m x . 如果方程产生增根，那么042=-x ，即2=x 或2-=x
（1）若2=x ，则21
10=--
m ，故4-=m . （2）若2-=x ，则2110-=--m ，故.6=m 例9．分析 这是含有参数字母k 的分式方程，x 是未知数，我们把k 看做“暂时常数”，并考虑增根1=x 的条件解出k 来.
解答 原方程可化为
01
)1()1()1(2=---+++x x x x k x x ， 即 01
222=-+-+++x x x k kx x x ， ∴ k x k -=+)2(
若02≠+k ，则k k x +-=
2， 当1=x 时，k
k +-=
21， ∴ .1-=k
说明 这是一道含有参数字母k 的分式方程. 如果把求出分式方程的增根作为正向思维的话，本题则是已知1=x 是增根，要求求出分式方程中的参数k ，显然具有考察逆向思维的功能. 因而，其求解步骤为：求x →令x 取增根值→解k .
例10．解答 把y x 1,1分别看做一个整体，运用换元法设a x =1，b y =1， 则原方程可化为：
⎩⎨⎧-=+=-)
2( 352)1( 43b a b a )2(5)1(+⨯,得1717=a ，
∴ 1=a ，代入（1）中，得1-=b .
∴⎩⎨⎧-==11b a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.11,11y
x ∴⎩⎨⎧-==.
1,1y x 经验证⎩⎨⎧-==1
1y x 是原方程组的解.
说明 换元法是一种重要的数学方法，通过换元不但可使方程组、方程及解答变得简单，还可使解题思路清晰明了. 本题运用了整体思想和换元法，有化难为易之妙.。