2016年江西省南昌市中考数学试题(含答案)

江西省2016年中等学校招生考试数学试卷
（江西毛庆云）
说明：1 .本卷共有六个大题，24个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟.
2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分.
二、填空题（本大题共 8小题，每小题3分，共24分）
7 .计算：J 9=
8 .据相关报道，截止到今年四月，我国已完成 学
记数法表示为。

、选择题（本大题共 6个小题, 每小题 3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1 .下列四个数中，最小的数是（
）.
1
_ A . --
B. 0
2 .某市6月份某周气温（单位：C ）为 分别
是（
）.
A . 25, 25
B , 28, 28
3 .下列运算正确的是是（
）.
A . a 2
+a 3
=a 5
B. （―2a 2）3=—
C. - 2
D. 2
23, 25, 28, 25, 28, 31, 28,这给数据的众数和中位数
C. 25, 28
D. 28, 31
C. (2a+1)(2a-1)=2a 2-1
D. (2a 3-a 2)+2a=2a-1
4 .直线y =x +1与y= — 2x+a 的交点在第一象限，则 a 的取值可以是（
）.
B. 0
C. 1
D. 2
5 .如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐奢 压扁，剪去上面一截后，正好合适。

以下裁剪示意图中，正确的是（
的图像如右图所示，则二次函数y = 2kx 2- 4x + k 2的图像大致为（） x
5.78万个农村教学点的建设任务。

5.78万可用科
-1
（第6冷）
2x 1 0
9.不等式组 1 的解集是
（x 2）0
2
2 2 2
10.右a,b是方程x - 2x - 3= 0的两个实数根，则a + b = 。

11.如图，在^ ABC中，AB=4, BC=q Z B=60° ,将三角形ABC沿着射线BC的方向平移2个单位
后，得到三角形△ A B C ,连接A' C,则△ A B C勺周长为
12.如图，△ ABC内接于。

O, AO=2 BC = 24,则/ BAC的度数
13.如图，是将菱形ABCEDA点O为中心按顺时针方向分别旋转90° , 180° , 270°后形成的图形。

若BAD 60°, AB=2,则图中阴影部分的面积为
14.在Rt^ABC中，/A= 90° ,有一个锐角为60° ,BC=6.若P在直线AC上（不与点A, C重合），且/ ABP= 30° ,贝U CP的长为.
三、（本大题共四小题，每小题6分，共24分）
16.小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2和盒笔芯，用了56元; 小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元。

求每支中性笔和每盒笔芯的价格。

17.已知梯形ABCD请使用无刻度直尺画图。

(1)在图1中画一个与梯形ABC面积相等，且以CD为边的三角形；
(2)在图2中画一个与梯形ABC面积相等，且以AB为边的平行四边形。

18.有六张完全相同的卡片，分A B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上“/ X、
B组的卡片上分别画上“，、X、X” ，如图1所示。

正面反而
①区1J
*一■・■■»・*** * * ・晒，！a n
1 I1
②区LZJ
«)图2
(1)若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再发布从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是，的概率(请用树形图法或列表法求解)
(2)若把A、B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到3张卡片，其正反面标记如图
示，将卡片正面朝上摆放在桌上，并用瓶盖盖住标记。

①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是，的概率是多少
②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是，后，猜想它的反面也是，，求猜对的概率。

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
19.如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4 AB=5,点D在反
k
比例函数y = — (k>0)的图象上，DA OA,点P在y轴负半轴上，OP=7. x
(1)求点B的坐标和线段PB的长；
(2)当PDB 900时，求反比例函数的解析式。

20 .某教研机构为了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某部分初中学生进行了调查。

依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)求样本容量及表格中 a 、b 、c 的值，并补全统计图;
(2)若该校共有初中生 2300名，请估计该校“不重视阅读教科书”的初中生人数 (3)①根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议;
②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？
21 .图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成 的夹
角，示意图如图 2所示。

在图2中，每个菱形的边长为 10cm,锐角为60度。

(1)连接CD EB,猜想它们的位置关系并加以证明；
(2)求A 、B 两点之间的距离(结果取整数，可以使用计算器)
某技刈中=阅读数学教科书情况统记图表
类别 入取 占总人驾比例
直现 立
U. 3 一和 5 T
□ . 3B
三重现 b
鼎干清建
9
0.06
30度
(参考数据：72= 1.141，石= 1.732，旄= 2.45)
图2 2V H
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
22.如图1, AB是圆O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4, BC=2, P是圆。

上半部分的一个动点，连接OP, CR
(1)求^ OPC勺最大面积；
(2)求/ OCP勺最大度数；
(3)如图2,延长PO交圆O于点D,连接DB当CP=DB求证：CP是圆。

的切线.
23.如图1,边长为4的正方形ABCM,点E在AB边上(不与点A B重合)，点F在BC边上(不与点B C重合)。

第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G;
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H;
依此操作下去…
(1)图2中的三角形EFD是经过两次操作后得到的，其形状为 ,求此时线段EF的长；
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH
①请判断四边形EFGH勺形斗犬为,此时AE与BF的数量关系是。

②以①中的结论为前提，设AE的长为x,四边形EFGH勺面积为V,求y与x的函数关系式及面积y的取值范围。

24.如图1,抛物线y = ax2+ bx + c(a> 0)的顶点为M,直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A, B,若三角形AM昉等腰直角三角形，我们把抛物线上A B两点之间的部分与线段AB围成
的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称
为碟高。

1 2 2
(1)抛物线y = — x2对应的碟宽为；抛物线y = 4x2对应的碟宽为；抛物线
2
2 2
y = ax (a>0)对应的碟范为；抛物线y = a(x - 2) + 3(a > 0)对应的碟范；
2 5
(2)右抛物线y = ax2- 4ax- - (a > 0)对应的碟宽为6,且在x轴上，求a的值；
(3)将抛物线y n = a n x2+b n x +C n(a n> 0)的对应准蝶形记为F n (n=1,2,3 ,…)，定义F l,
1_ ___ F2, • ..F n为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。

若F n与F n-1的相似比为一，且F n的碟顶是
2
F n-1的碟宽的中点，现在将(2)中求得的抛物线记为y1,其对应的准蝶形记为F1.
①求抛物线y2的表达式
② 若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2,…Fn的碟高为h n。

则h n=,F n的碟宽右端点横坐标为
；F1, F2,….F n的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不
是，请说明理由。

江西省2016年中等学校招生考试数学试卷答案
4 c 1 “ 1 一”1、C 2、B 3、D 4、D 5、A 6、D 7、3 8、5.78 X 10 9、x〉/ 10、x〉/ 11、12 12、【答案】
60° .
解：•••连接OB OC过点O作ODL BC,交BC于点D。

，OA= 2,
•.OB= OG= 2。

• .ODL BC, BC= 2 <3 ,
BD= CD= 1 BC= 1 x <3 =N-3。

BD 3
在Rt^BDC中，•••sin Z BOD=—=^3 ,
BO 2
/ BOD=60 。

•・•△BOC^等腰三角形，
，/BOC=2 BOD= 2X60° =120° ,
Z BAC=1 X Z BOC= 1x120° =60° 2 2
故/ BAC的度数是60° 。

13、【答案】12-4<3 .
【解答】
解：连接BD AC相交于点E,连接AO CO
•••因为四边形ABCD^菱形，
•-.AC ±BQ AB= AD= 2。

•••/ BAD= 60° ,
ABD是等边三角形， BD= AB= 2,
•./ BAE= 1Z BAD= 30° , AE= 1AC, BE=DE=1 BD=1, 2 2 2
在RtMBE中，AE= 4A B2 BE2，2212%,3,
.•.AC= 2。

3。

••・菱形ABCDA点O为中心按顺时针方向旋转90° , 180° , 270
/ AOC= 1X 360 ° = 90° ,即AQL CO AO= CO
4
在Rt△ AO计,AO=CO= AC2(2j3)2召o
2 2
Dg 1X2 3X1= 3 , 2
S；A AO=I A O- CO=1 x 66 乂厌=3S JS A AD= 1AC, 2
2 2
S 阴影=S AAOC一S AAD(=4 X (3—寸3) =12 — 4^/3
所以图中阴影部分的面积为12—4^3 。

14、【答案】 4 <3 , 2 T3, 6.
【解答】
解：分四种情况讨论：
①如图1:当/C=60时,
当/C=60时，/ ABC=30 , P点在线段AC上，/ ABP不可能等于30° ,只能是P点与C点
重合，与条件相矛盾。

②如图2:当/C=60时，/ ABC=30 , P点在线段CA的延长上。

•. Rt^ABC中，BC= 6, Z C=30° ,
.•.AC= 1 BC= 1X6=3.
2 2
在△ ABC和△ ABP中，
••• Z ABP=/ ABC= 30° , AB= AB, / CAB至PAB= 90° . .△ABe△ ABP, AC= AP= 3, .•.CP= AC+ AP= 3+ 3= 6.
③如图3:当/ ABC=60时，/ C=30 , P点在线段AC上。

033
. ■△ABC中，BC= 6, Z 0=30° ,
.•.AB= 1B C= 1X6=3. 2 2
,• /AB之30° ,
..A之1BP, / PBC= /ABC- / AB2 60° -30° =30° = / 0,
2
・•.PC=PB
•.在Rt^ABP中，PB2AB2+AP2 ,
PB232(1PB)2,解得PB=2>/3
2
.•.PC= PB= 2 3 .
④如图4:当/ ABC=60时，/ 0=30 , P点在线段CA的延长线上。

•••/ ABP=3D° , / ABC=6)° ,
••.△PBC是直角三形.
•••/ C=30° ,
1八
.•.PB= PC.
2
在Rt^PBC 中,PC2-PB2= BC2,
•. BO 6, PB=1 PC, 2
.•.PC2-( 1PC)2=62,解得PO 4^3。

2
综上所述，CP的长为243、4^3和6。

15、【答案】x -1.
16、【答案】中性笔2元/支，笔芯8元/盒。

【【解答】
解：设每支中性笔的价格为 x 元，每盒笔芯的价格为 y 元，由题意，得
20x 2y=56, 2x 3y=28.
17、【答案】
18、【答案】(1) (2)①2,②L
9 3 2
(1)解法一：
根据题意，可画出如下树形图：
a
如 J
x -J
小 /K
小
B
组tjXX
J X X V X X
从树形图可以看出， 所有可能结果共有 9种，且每种结果出现的可能性都相等，其中两张卡片 上标记都是的结果有 2种。

P (两张都是)=2.
9
解法二：
根据题意，可列表如下：
5
X
4
4
« M ■ T 1
X
( X . X )
X
(7 w 1
(x , x J
C 八式】
从上表中可以看出， 所有可能结果共有 9种，且每种结果出现的可能性都相等，其中两张卡片 上标记都是的结果有 2种。

(2)
解得,
x=
2,
答：每支中性笔的价格为
2元，每盒笔芯的价格为 8元.
①.••根据题意，三张卡片正面的标记有三种可能，分别为“，”、“X
，随机揭开其中一个盖子，看到的标记是的概率为
②•••正面标记为为的卡片，它的反面标记只有两种情况，分别为
和“x”，
1
，猜对反面也是的概率为P= 1 .
2
4
19、【答案】B （0, 3） , PB=10;反比例函数的解析式是y =-.
【解答】解：（1） .. AB=5 OA=4 ZAOB=90 ,
，由勾股定理得：OB=3即点B的坐标是（0, 3）.
••• OP=7
• .线段PB= O肝OP= 3 + 7=10.
（2）过点D作DML y轴于M,
・• / PD乐90° ,
・./ BDP= / DMB= / DM注90°
・./ DBIM- / BDIM= 90° , / BD吐 / MD注90°
・./ DBIM= / MDP
・.△ DBMh △ PDM
DM PM
BM DM
・•・OA= 4, DMLy 轴，设D点的坐标为（4, y）（y >0）,
4 y 7
,
3 y 4
解得％5（不合题意，舍去），y2 1 ,即点D的坐标为（4, 1）
k (4)
把点D的坐标代入y =—,得k=4,即反比例函数的解析式是y = —.
20、【解答】
解：（1）由题意可得出:
样本容量为：57+0.38=150 （人），
. ・a=150X 0.3=45,
b=150-57-45-9=39 , c=39+150=0.26 .
如图所示：
16
(2)若该校共有初中生 2300名，该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数约为：
2300X 0.26=598 (人)
(3)①根据以上所求可得出：只有 30%勺学生重视阅读数学教科书， 有32%勺学生不重视阅读 数学教
科书或说不清楚，可以看出大部分学生忽略了阅读数学教科书，
同学们应重视阅读数学教科
书，从而获取更多的数学课外知识和对相关习题、定理的深层次理解与认识.
②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，
应随机抽取不同的学校以及不同的年级进行
抽样，进而分析. 21、【解答】 解：(1) CD// EB.连接 DE
•
.•中国结挂件是四个相同的菱形，每相
邻两个菱形均成
30。

的夹角，菱形的锐角为 60。

，
，/CDE=60 +2X2+30° =90° , ，/BED=60 -2X2+30° =90° , • •/ CDEh BED • •.CD// EB.
(2)连接 AD. BD.
• •• Z ACD= 90° , AC=DC • •• / DACh ADC=45 。

同理可证，/ BDEW EBD=45 , / CDE=90° ,
• • / ADB4 ADB 吆 BDE+ Z CDE=18° ,
即点A 、D B 在同一直线上。

• .BE= 2OE= 2X10Xcos30° = 10、3cm , .•.DE= BE= 10 3 cm,
在 Rt^BED 中， BD V BE "~DE 7 %(10/3)2 (10：3)2 10石 cm, 同理可得，AD=10y 3 cm ,
• •.AB=BD+AD=20'3 =20X2.45 "49cm,即 A 、B 两点之间的距离大约为 49cm.
22
、［解答］
解：（1） .・•△ OPC勺边长OC是定值。

・•・当OP! OC寸，OC边长的高为最大值，此时△OPC勺面积最大。

此时PC即为。

O的切线，
,. AB=4, BC=2
.•.OP=OB= 2, OC= O吩BC= 4,
1 1
1• S cp0 1 OC OP 14 2 4，
OPC 2 2
即△OPC勺最大面积为4.
(2)当PC与。

O相切即OP，PC时，/ OCP勺度数最大.
在RtAOPC / OPC= 90° , OC= 4, O2 2,
OP 2
2• sin OCP
OC 4
•・・/OC曰，即/ OCP勺最大度数为30°
(3)连接AP, BP,
•••/ AOPh DOB
••.AP^ DB.
•.CP=DB
.•.AP=CP
/ A=Z C,
,. / A=Z D,
/ C=Z D,
在4PDB与^OCP中，
•. OG= PD= 4, /C=/D, PC= BD,
・.△PDB^AOPC(SAS ,
/ OPC= PBD
.「PD是直径,
/ PBD=90° ,
，/OPC= 90° ,
・•.OPL, PC,
又二OP是圆。

的半径，
・•.PC是O O的切线.
23、【解答】（1）等边三角.
••・四边形ABC虚正方形，
AD= CD= BC= AB, / A= / B= / C= 90° .
18
••• ED=FD
. .△AD® ACDF.(HL) ，AE= CF, BE= BF.
BEF是等腰直角三角形。

设BE 的长为x,贝U EF=J2x, AE=4-x.
•.在Rt^AED中，AE2AD2DE2, DE=EF
••• (4 x)242 ( 2x)2
解得“ 4 4J3, x2 4 4<3(不合题意，舍去).
EF= ”x=7'2 (—4 4J3) =—4+476
(2) ①四边形EFGH^正方形；AE= BF.
②; AE= x,
BE=4-x.
•.在Rt^BED中，EF2BF2BE2, AE=BF
__ 2 2 2 __ 2 2_2_ _
••• y EF (4 x) x 16 8x x x 2x 8x 16
•・•点E不与点A、B重合，点F不与点B、C重合，
0V xv 4.
y 2x2 8x 16
2(x2 4x 4) 8
一一 2 一
2(x 2) 8,
•・・当x=2时有最小值8,当x=0或4时，有最大值16,
•.y的取值范围是8<y< 16.
2 2 1 … 2 … 8 8
3 3
24、【答案】⑴4、、三、［；（2）w ; （3）①y2 2x2 8x勺；②=、2白、y x
5.
a a 3 3 3 3 2n 1 2n 1
【解答】解：（1） 4、1、2、2 . 2 a a
•••a>0, y=ax2的图象大致如图1,其必经过原点O.
记线段AB为其准蝶形碟宽，AB与y轴的交点为C,连接OA OB.
.「△ OAB为等腰直角三角形，AB// x轴，
•••OCL AB,
•・•/AOCh BOC=1 /AOB=1X90° =45° ,
2 2 '
即AAOCW BOC^为等腰直角三角形，AC=OC=BC
x A y A, x B y B ,即A、B两点x轴和y轴坐标绝对值相同.
20
1 2 一.， 1
，①抛物线y=2 x 对应的a 得碟宽
度后得到的图形,
•••平移不改变形状、大小、方向,
代入y ax 2
得方程x
ax 2
,解得x
由图像可知,
1)
a 1), a
即 AC=OC=BC
.•.AB=1
- 2= 2,
即y ax 2的碟宽为
2 AB=
a
②抛物线 y=4x 2对应的a=4,得碟宽 —=
a
③抛物线
2
(2)
y = ax (a >0)的碟范为
一；
④抛物线 y=a a
(x-2 )2+3 (a>0)可看成 y=ax 2
向右平移 2个单位长度，再向上平移
3个单位长
，抛物线 y=a (x-2 ) 2+3 (a>0) 的准碟形且抛物线 y=ax 2
的准碟,
.•,抛物线
y=ax 2
(a>0),碟宽为 2,
a
，抛物线 y=a (x-2 ) 2+3 (a>0)
2
,碟宽为2.
a
(2)解法一:
.
2
. y=ax
4ax — 5
=a(x —2)2
— ( 4a+5 )
.•・同(1)得其碟宽为2
,
a
- y =ax —4ax 一 ~ 的碟范为
6, 3
1 a=3 .
•■-y = 3(x-2) 3
解法二:
.
2
- y = ax , 5 ， 一、一 4ax- -(a> 0)可得，y = ,八、2 , 5
a(x- 2) - 4a —
-，
又已知碟宽在x 轴上，
一一 5 6 一 I 1
，碟晨J = - 4a- - =3,斛得 a= ± -,
3 2 3
又••♦a>0, a=- 1
错误！未找到引用源。

不合题意舍去，，ai=1 . 3 3 (3)①解法
•「F 1的碟宽：F 2的碟宽=2:1,
2:1
a i a 2
1
3,
2 . 3
1 2
-(x 2) 3的碟宽AB 在x 轴上(A 在B 左边)，
3 ••A (-1 , 0) , B (5, 0),
・•.F 2的碟顶坐标为(2, 0),
2/ 、2
・72 3 (x 2) 解法二：
，八、2
5 1
- y 1 = a(x- 2) - 4a- - , a=- ， 3 3
2 c
y
1 = —(x- 2) - 3 , 3
即碟顶M 1的坐标为(2, — 3).
F 2的碟顶是的碟宽的中点，且 F 1的碟宽线段在x 轴上，
2
••• F 2的碟顶M2的坐标为(2,0),设y 2 a 2(x 2),
1
・ 52与51的相似比为一，F 1的碟范为6,
2
1- F 2的碟宽为6*工=3,即2 = 3, a 2 =-. 2 a 2 3
2 2 2 2 2 2 2
8 8 ••• y 2 a 2(x 2) (x 2) (x 4x 4) x x .
3 3 3
3 3
- a 1 一a 2 ■
②••• F n 的准碟形为等腰直角三角形， F n 的碟宽为2h n ,
2h n 1
n . 2hm 2
.. 1 , ,1、2, ,1、3, ■ ■ h n 2h n 1 (2) h n 2 (2) h n 3
• h n // h n 1 ,且都过F n 1的碟宽中点,
••• h1, h2, h3, ， h n 1, h n 都在同一条直线上，
•1 h 1在直线x=2上,
h1，h 2, h 3, , h n 1, h n 都在直线 x=2 上，
1、n 1
--- Fn 的碟范右漏点横坐标为 2+( —) , 3.
2
F 1, F 2,…，F n 的的碟宽右端点在一条直线上，直线为 y=-x+5 . 理由：
考虑F n-2, F n-1 , F n 情形,关系如图2,
F n-2, F n-1 , F n 的碟宽分别为 AB, D^ GH
且C, F, I 分别为其碟宽的中点，都在直线 x=2上, 连接右端点，BE, EH
. AB// x 轴,DE// x 轴,GH// x 轴,
AB// DE// GH
二.GH 平行相等于FE, DE 平行相等于CB
••・四边形GFEH 四边形DCBEtB 是平行四边形， HE// GF, EB// DC,
1 n 1
2 2) h 1.
v 儿=3,
,_ 1 _ _ 1 _ ____ _____
•••/ GFI= ?/ GFH= ?/ DCEh DCF
2 2 '
GF// DC HE// EB,
••• HE, EB都过E 点，
HE, EB在一条直线上，
F n 2，F n1, F n的碟宽的右端点是在一条直线，
,F n的碟宽的右端点是在一条直线.
根据②中得出的碟高和右边端点公式，可知
1 2
y广—(x 2) 3准碟形右端点坐标为(5, 0),
3
2 2 ...................................... 1 2 1 1 2 1
y2 = -(x 2)准碟形右端点坐标为2 (―) 3,(—) 3 ,即(3.5 , 1.5)
3 2 2
，待定系数可得过两点的直线为y= - x+5,
・•.F1, F2,…，F n的碟宽的右端点是在直线y=-x+5上.。