曲线积分与曲面积分常见题型攻略

曲线积分与曲面积分常见题型攻略
以心同学整理
一、计算第一类曲线积分步骤：（一）平面曲线积分
t t g y t x L ,)()(:1.化简
（1）代入化简【常用在k t g t f )](),([ （常数）的情形】
L
ds y x f ),(
L
ds t g t f )](),([ ks
kds L
其中s 为积分曲线L 的长度。

（2）利用奇偶对称性化简
①若积分曲线L 关于坐标轴y 轴对称，则有
L
ds y x f ),(
1
),(,),(2),(0L x y x f ds y x f x y x f 的偶函数
是的奇函数是，
其中1L 为y 轴右边部分。

②若积分曲线段L 关于坐标轴x 轴对称，则有
L
ds y x f ),(
1
),(,),(2),(0L y y x f ds y x f y y x f 的偶函数
是的奇函数是，
其中1L 为x 轴上边部分。

（3）利用轮换对称性化简
若积分曲线L 中把x 与y 互换，积分曲线不变，则有
L
ds y x f ),( L
ds
x y f ),(2.确定积分曲线L 的参数式方程
t t g y t x L ,)
()
(:注：积分曲线一般以)(x f y 或)(y g x 的形式出现，此时参数式为：
b x a x f y x x L
,)(:，
d
y c y y y g x L
,)
(:3.套公式（一代二换三定限）化为定积分
L
ds y x f ),(
dt
t g t t g t f )()()](),([22注意：上限 大于下限 4.计算定积分
例1【2017-2018期末】
设L 是直线)40(1243 x y x 的一段，则
L
ds y x )43(60；
解：
L
ds y x )43( L
ds
12代入化简
6012 s 。

例2【2018-2019期末】计算
L
ds x y
)(2
，其中L 为圆周422 y x .
解：法一：L 的参数方程为
sin 2cos 2y x （ 20 ），
d d ds 2)cos 2()sin 2(22 ，
于是
L
ds x y )(2
20
22)cos 2sin 4(d 0
sin 820
2
d
82
2148 .
法二：由对称性有
L
ds y 2 L
ds x 2（轮换对称），0 L
xds （奇偶对称）
所以
L
ds x y )(2 L
ds y 2
L ds y x )(212
2 L
ds 421（代入化简）
8422 L
ds .
例3【2019-2020期末】计算曲线积分
L
ds y xy x )(22，其中L 为平面区域
}0,1|),{(22 y y x y x D 的边界曲线。

解：设1L ：11,0 x y ，2L ：011,12
2
y x y x ，（上半圆周）。

由可加性，有
L
ds y xy x )(22 1
)(22L ds y xy x 2
)(22L ds y xy x 。

又
1
)(22L ds y xy x 3
2
1
1
2
dx x 。

2L 关于y 轴对称，有02
L xyds ，于是
2
)(22L ds y xy x 2
)(22L ds y x 2
1L ds
（代入化简）。

所以
L
ds y xy x )(22
3
2。

例4【2015-2016期末】设x y L :（11 x ），则曲线积分
L
ds y x )(。

解：设x y L :1（10 x ），则由奇偶对称性，有
L
ds y x )(
L
yds 1
2L yds 10
112dx x 2221
xdx 。

例5【2009考研】已知曲线)20(:2
x x y L ，则
L
xds 。

解：直接套公式
L xds
2
2)2(1dx x x
2
241dx x x
202
241(418
1）x d x 202
3
2|)41(3
281x 613
例6设L 圆周曲线12
2
y x ,求ds x L
2.
解法一：利用参数方程cos ,sin x y
ds x L
2220
cos
解法二：由轮换对称性，有ds x L
2ds y L
2，于是
ds x L
2
ds y x L )(212
2 ds L 12
1。

（二）空间曲线积分
t t h z t g y t x ,)()()
(:1.化简
（1）代入化简【常用在k t h t g t f )](),(),([ （常数）的情形】
ds z y x f ),,(
ds t h t g t f )](),(),([ ks
kds
其中s 为空间曲线弧 的长度。

（2）利用轮换对称性化简
若积分曲线弧 中把x 与y 互换，曲线弧不变，则有
ds z y x f ),,(
ds z x y f ),,(.
其它类似。

2.确定曲线弧段 的参数式方程
t t h z t g y t x ,)()()(:3.套公式（一代二换三定限）
ds z y x f ),,(
dt
t h t g t t h t g t f )()()()](),(),([222注意：上限 大于下限 4.计算定积分
例1【2018考研】设L 是曲线12
2
2
z y x 与平面0 z y x 的交线，则
L
xyds 解：由轮换对称性，有
L
xyds L
xzds
L
yzds ，于是
L
xyds .)(31
L
ds yz xz xy 又曲线L 的点满足12
2
2
z y x 与0 z y x ，于是
)(21)(2)(02222yz xz xy yz xz xy z y x z y x ，
从而有2
1
yz xz xy 。

于是
L
xyds L ds yz xz xy )(31 L ds 16
1
（代入化简） 3
1
261 。

例2【2016-2017期末】设空间曲线 1
:2
22z a y x ，则曲线积分
ds z y x )(222（B ）
（A ）3
2a ；
（B ）)1(22
a a ；（C ）)1(2
2
a a ；（D ）4
a .
解：
ds z y x )(222
ds
a )1(2（代入化简）
s a )1(2a a 2)1(2 )1(22 a a 。

二、计算第二类曲线积分步骤：（一）平面曲线积分
1.代入化简：利用曲线方程化简被积函数；
2.若积分曲线为简单曲线，如直线段（特别是平行于坐标轴的直线段）
，圆周（参数式方程比较常见的曲线），一般用代入法直接计算；
设积分曲线L 的参数式方程,)
()
(:
t g y t x L 则有
L
dy y x Q dx y x P ),(),( b
a
dt
t g t g t Q t t g t P )}()](),([)()](),(({[ 注1：起点对应下限a ，终点对应上限b 。

注2：积分曲线一般以)(x f y 或)(y g x 的形式出现，此时参数式为：
)(:x f y x
x L ，,
)
(:
y y y g x L 3.求
y P 和x
Q
（1）若
y P x
Q
，则用与路径无关，选取恰当路径直接法计算；（2）若
y P x
Q
，则用格林公式，注意格林公式的两大条件：①封闭，②个别点处不具有一阶连续偏导；
格林公式两大常见题型：
①封口法：积分曲线非封闭，则加辅助线，再用格林公式，辅助线一般用平行于坐标轴的直线；
②挖洞法：Q P ,在D 内个别点不具有一阶连续偏导，则加辅助线。

加什么样的辅助
线要看Q P ,具体是什么，在辅助线上的曲线积分需要用代入法直接计算，计算时一般可以代入化简。

常用的辅助线为圆或椭圆），注意所加辅助线上的曲线积分用直接法要好算。

例1【2004考研】设L 为正向圆周22
2
y x 在第一象限中的部分，则曲线积分
L
ydx xdy 2_____。

分析：显然22
2
y x 的参数式方程为
sin 2cos 2y x ，所以用代入法直接计算。

解：曲线L 的参数式方程为
sin 2cos 2y x ，20 ：。

于是
L
ydx xdy 2
d ]sin 2sin 22cos 2cos 2[20
d )sin 22(220
2
3。

例2【2019-2020期末】计算曲线积分
L
y
x dy
x dx y 22)2()1(，其中L 为圆周422 y x 在第一象限的部分，方向为顺时针方向。

分析：显然可以先代入化简。

再考虑到
y P x
Q
，所以用可路径无关。

解：
L
y x dy x dx y 22)2()1( L
dy x dx y )2()1(41
代入化简
这里1),( y y x P ，2),( x y x Q ，显然有
y P 1 x
Q
，与路径无关，于是 L
y x dy x dx y 22)2()1( L
dy x dx y )2()1(41
AO dy x dx y )2()1(41 OB dy x dx y )2()1(4
1
2002141241dx dy 2
1 。

例3【2018-2019期末】设曲线L 为12
2
y x ，取顺时针方向，则曲线积分
L
y
x ydx
xdy 2
2)A (0；
)B ( 2；
)C ( 2 ；
)D ( .
答[
C
]
分析：先代入化简，代入直接计算或格林公式计算。

解：
L
y
x ydx
xdy 2
2
L
ydx
xdy 代入化简
（法一：格林公式）这里y y x P ),(，x y x Q ),(，显然有1 y P ，1 x
Q ，由格林公式，有
L
y
x ydx
xdy 2
2
L
ydx xdy D
dxdy y P
x Q )(
22 D
dxdy 。

这里D 为12
2
y x 围成的区域。

（法二：直接法）积分曲线L 的参数式方程为
sin cos y x ，有
L
y
x ydx
xdy 2
2
L
ydx xdy
d )]sin (sin cos [cos 0
2
210
2 d 。

例4【2020考研】计算曲线积分dy y x y
x dx y x y x I L 2222444
，其中L 是
222 y x ，方向为逆时针方向。

分析：此题与例3比，例3把L 的曲线方程12
2
y x 代入时可以化简，而例4把L
的曲线方程22
2
y x 代入时不能化简，原因在于例3中的Q P ,的分母为2
2
4y x ，而
不是2
2y x ，所以代入化简不了。

进一步分析知，Q P ,在)0,0(处没有一阶连续偏导，所以不能直接用格林公式。

Q P ,在D 中个别点[此处为点)0,0(]没有一阶连续偏导，所以用挖洞法，介于Q P ,的分母为2
2
4y x ，所以作辅助线2
2
2
4r y x （其中20 r ）
，这样在计算辅助线上的积分时可以代入化简。

解：记2244),(y x y x y x P
，2
24),(y
x y
x y x Q ，有
22222)4(8)(4y x x y x y x x Q 2222
2)4(48y x x xy y
，22222)4()4(24y x y x y y x y P ）（2222
2)
4(48y x x xy y 。

记补曲线2
2
2
14:r y x L （20
r ）
，逆时针方向，由格式公式，有dy y
x y
x dx y x y x I L 2222444
dy y x y x dx y x y x L L 2
2224441
dy y x y x dx y x y x L 22224441
xy
D dxdy y
P x Q )(
dy y x y x dx y x y x L 22224441 dy
y x y
x dx y x y x L 2
2224441 先代入化简
dy
y x dx y x r L )()4(11
2
（这里y x P 41，y x Q 1，再用格林公式）
)(
11
12D dxdy y
P x Q r 0D 为22214:r y x L 围成的区域
)]1(1[12
D dxdy r 。

例5【2018-2019期末】设函数)(x f 在),( 内具有连续导数，L 是上半平面（0 y ）
内以),(b a 为起点，),(d c 为终点的有向分段光滑曲线.记
L dy y
x
xy xf dx xy yf y I ])([)](1[2.（1）证明曲线积分I 与积分路径L 无关；（2）当cd ab 时，计算I 的值.
分析：（1）要证明与路径无关，显然就是要证明
x
Q
y P
；（2）因为与路径无关，可
以选取恰当的路径（平行于坐标轴的直线段）直接计算即可。

解：（1）)(1xy yf y P
,2)(y
x
xy xf Q 因为
x
Q
xy f xy xy f y y P
)()(12，所以曲线积分与积分路径无关.
（2）由于积分与路径无关，可取如图所示路径，于是
d
b
c
a dy y
c cy cf dx bx bf b
I ])([)](1
[2
cd
bc
bc
ab dt t f dt t f b
a d c )()(
cd
ab
dt
t f b
a
d c )(当cd ab 时，0)(
cd
ab
dt t f ，
所以
b
a d c I
例6【2017-2018期末】计算曲线积分
23sin +24y
L
x xy x dx x e dy ，其中L 为摆线sin 1cos x t t
y t
上从点(0,0)O 到(,2)A 的一段弧.
分析：此题显然积分曲线的参数式方程给定了，但用代入法直接计算时比较复杂。

进一步分析知
x
Q y P ，所以用与路径无关来计算。

解：令3sin +24P x xy x ，2
y
Q x e ，
2P Q
x y x
，故积分与路径无关.故改变路径，沿着折线积分：1:0,:0L y x ；2:,:02L x y ，
12
L
L L Pdx Qdy Pdx Qdy
2
220
(3sin 4)7y x x dx e dy e
.
例7【2016-2017期末】设曲线积分
dy y x b y x dx y x axy L
)]2cos(3[)]2cos([2
23 在整个平面内与积分路径无关.（1）确定常数a ，b 的值；（2）计算 )
1,1()0,0(223)]2cos(3[)]2cos([dy y x b y x dx y x axy I
.
O
x
y
),(b a A )
,(b c B )
,(d c C
分析：（1）已知与路径无关，即有
x
Q
y P 对任意y x ,都成立，由此确定常数a ，b 的值；（2）因为与路径无关，可以选取恰当的路径（平行于坐标轴的直线段）直接计算即可。

解：(1))2cos(),(3y x axy y x P ,)2cos(3),(2
2y x b y x y x Q ,因为积分与路径无关,所以有
x
Q
y P ,即)2sin(6)2sin(232
2
y x b xy y x axy ,由y x ,的任意性,有
26
3b a 2,2 b a .(2)取特殊路径L ：x y ，起点0 x O ；终点1 x A .
)
1,1()0,0(223)]2cos(23[)]2cos(2[dy y x y x dx y x xy I 1
044)]3cos 23(3cos 2[dx x x x x 1
04
)3cos 35(dx x x 10
5
)
3sin (x x 3sin 1 。

例8确定 的值,使曲线积分
B
A
dy y y x dx xy x )56()4(4214 与路径无关.并求当
B A ,分别为)2 ,1( ),0 ,0(时,该曲线积分的值.
分析：与例7类似。

解：设44(,)P x y x xy ，12465(,)Q x y x y y 由曲线积分与路径无关的特性：
Q P
x y
即：221614()x y xy ，因此=3 ；
B
A
dy y y x dx xy x )56()4(4214 =
1
2
4240
(65)x dx y y dy
=795。

例9【2017考研】若曲线积分221
L xdx aydy x y 在区域 22
(,)|1D x y x y 内与路径无关，则a __________.
分析：已知在区域D 内与路径无关，即
x
Q
y P
对D 内的任意y x ,都成立，由此确x
y
O
A
1
定常数a 的值。

解：
22222222,,(1)(1)
P xy Q axy y x y x x y 由积分与路径无关知1P Q a y x
例10
计算曲线积分
L
y x dy
y x dx y x 2
2)()(，其中L 为沿x y cos 由点),( A 到点),( B 的曲线弧.
分析：此题显然积分曲线的参数式方程
x
y x
x cos 给定了，但用代入法直接计算时
比较复杂。

进一步分析知
x
Q
y P
，所以用与路径无关来计算。

解：由于
2222, x y x y P Q x y x y ，22222
2() P x y xy Q
y x y x
因此在不包含原点(0,0)O 的单连通区域内，积分与路径无关.
法一：作辅助线1L ： y ，x 从 到 。

于是
L
y x dy
y x dx y x 22)()(
122)()(L y x dy y x dx y x dx x
x 22dx x
221dx x x
22（第一项为偶函数，第二项为奇函数，对称区间）dx x
2212 0|arctan 2x 2。

法二：取圆周2
2
2
2 y x 上从),( A 到点),( B 的弧段1L 代替原弧段L ，
其参数方程为：
sin 2cos 2:1y x L ， 从 47到 45，于是
L
y x dy
y x dx y x 22)()(
L y x dy y x dx y x 22)()(
L dy
y x dx y x )()(21
2
454
72
]cos 2)sin 2cos 2()sin 2)(sin 2cos 2[(21d 454
7]cos )sin (cos )sin )(sin [(cos d 454
71d 2。

评注：本题的关键是选取积分弧段1L ，既要保证1L 简单，又要保证不经过坐标原点。

法一用最常用的平行于坐标轴的直线段。

法二用圆周的一段。

法一所用最常用，法二用的圆的方程代入可以化简。

例11计算曲线积分
L
y x ydx
x dy xy 2
222，其中L 为圆周)0(2
2
2
a a y x 的逆时针
方向.
解：（先代入化简）
L
y x ydx
x dy xy 2
222
L
ydx x dy xy a 221
法一：直接计算.将积分曲线L 表示为参数方程形式
cos :(:02)
sin
x a L y a
代入被积函数中得
2223
220
[cos sin cos cos sin (sin )]
L
a
d
L
y x ydx
x dy xy 2
222 L
ydx
x dy xy 22
20
223
)]sin (sin cos cos sin [cos d a
223223220
2sin cos 2sin (1sin )
a d a d 3
2433
2
1311
8(sin sin )8224222
a
d a a 解法二：
利用格林公式，记D 为L 围成的区域，即222:a y x D ，于是
L
y x ydx
x dy xy 2
222 L
ydx x dy xy 22320022
11a rdr r d a a。

评注：本题解法1用到了定积分的积分公式：
2013
2 23sin 13312422
n
n n n n n d n n n n n 为奇数为偶数解法2中，一定要先将积分曲线2
2
2
a y x 代入被积函数的分母中化简，才能应用格林公式，否则不满足,P Q 在D 内有一阶连续偏导数的条件。

例12【2021考研】设2
R D 是有界单连通闭区域，
D
dxdy y x D I )4)(2
2
（
取得最大值的积分区域记为1D 。

（1）求)(1D I 的值；（2）计算
1
2
2
2
2
2
2444)4()(D y x y x
y x dy
x ye dx y xe ，其中1D 为1D 的正向边界。

解：（1）由二重积分的几何意义知，
D
dxdy y x D I )4)(2
2
（当然仅当2
24y x 在D 上大于0时，)(D I 达到最大，所以}4|),{(221 y x y x D ，此时有
1
)4)(2
2
1D dxdy y x D I （
8)4(202
2 rdr r d 。

（2）设}4|),{(2
222r y x y x D ，这里20 r ，L 为的2D 的逆时针边界。

记224422y x y xe P y x
，2
24442
2y
x x
ye Q y x 。

有x
Q
y x y x y x xye y
P y x
2
22222244(4)14(82
2
）由格林公式，有
L
D y x
y x
y x dy
x ye dx y xe 12
2
2
2
2
2444)4()(0)(
D dxdy y
P
x Q ，其中0D 是由1D 与L 所围成的区域。

于是
1
2
2
2
2
2
2444)4()(D y x
y x
y x dy
x ye dx y xe
L
D y x
y x
y x dy
x ye dx y xe 12
2
2
2
2
2444)4()(
L
y x
y x
y x dy
x ye dx y xe 2
2444)4()(2
2
2
2
L
y x
y x
y x dy
x ye dx y xe 2
2444)4()(2
2
2
2
L
r r dy
x ye dx y xe r )4()(12
2
2
代入化简
L r ydy xdx e r 4122
L
xdy
ydx r 2
1继续格林公式
2
)2(12
D dxdy r 。

利用椭圆的面积。

评注：此题第二问与例4【2020考研】类似。

只是这里求x
Q
y P ，时相对复杂一点，所以对于多元函数求偏导数，要多多练习。

（二）空间曲线积分
1.代入化简：利用曲线方程化简被积函数；
2.能否可用轮换对换性化简；
3.若积分曲线为简单曲线（参数式方程能够确定）
，用代入法直接计算；设积分曲线 的参数式方程,)()()
(:
t h z t g y t x 则有
dz
z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,( b a
dt
t h t h t g t R t g t h t g t Q t t h t g t P )}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),(({[ 注：起点对应下限a ，终点对应上限b 。

4.若是封闭曲线，且为组合形式，用上述方法不好做时，则考虑用斯托克斯公式化为曲面积分计算。

R Q P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx dS R
Q P z y x
cos cos cos 其中 为曲面 的边界曲线，且 的方向与 的侧（法向量的指向）符合右手法则，,,P Q R 在包含 在内的空间区域内有一阶连续偏导数. cos ,cos cos ，
为曲面 在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦.
例1【2014考研】设L 是柱面12
2
y x 与平面0 z y 的交线，从z 轴正向往z 轴
负向看去为逆时针方向，则曲面积分
L
ydz zdx =___________.
分析：此题关键在于L 的参数式方程是什么？由12
2
y x 有t y t x sin ,cos ，则
由0 z y 得t y z sin 。

再确定t 的上下限。

解：令
t z t y t x sin sin cos ，t 从0到 2。

于是
∴
L
dt
t t t t ydz zdx
20)cos (sin )sin (sin t
d t dt t
sin )sin (2
2cos 12020
0例2【2015考研】已知曲线L 的方程为 x
z y x z 2
22，
起点为A ，终点
为(0,B ，计算曲线积分
L
dz y x dy y x z
dx z y I )()()(2222。

分析：此题关键同样在于L 的参数式方程是什么？将x z 代入222y x z
，有
2222 y x ，于是可设 sin 2,cos 22 y x ，再由x z 可得L 有以数式方程为
cos sin 2cos z y x 。

再确定 的上下限。

解：曲线L 的参数方程为
cos sin 2cos z y x ， 从2 到2。

于是
L
dz
y x dy y x z dx z y I )()()(2222
22
22]sin )sin 2(cos cos 2sin 2sin )cos sin 2([
d
22
32]sin sin 2sin 21
sin 2[
d 2
2
sin 22 d
22
2sin 2
d 2
2。

例3计算曲线积分 L
dz y x dy z x dx y z )()()(，其中221
:2
x y L x y z 从z
轴的正向往负向看，L 的方向是顺时针方向.
解法一（直接法）：曲线L 的参数方程为
sin cos 2sin cos z y x ， 从 2到0。

于是
L
dz
y x dy z x dx y z )()()( 0
2)]cos )(sin sin (cos cos )sin 2cos 2()sin )(cos 2[( d
2022)cos 3sin cos 2sin 2(d
20
2
2cos 1322cos 1cos 2sin 2(d 2 。

解法二（斯托克斯公式）：应用斯托克斯公式计算.令2
2
:2(1) x y z x y 取下侧， 在xOy 面的投影区域为
22
(,)1 xy D x y x y ，则
L
dz
y x dy z x dx y z )()()(
y
x z x y z z y x dxdy dzdx
dydz 222
xy
D dxdy dxdy 。

评注：显然，比较上述两解法，本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线L 的参数方程代入要简单，所有应用斯托克斯公式的题目，曲面 的选取都是关键， 既要简单，又要满足斯托克斯的条件，需要大家多加练习。

三、计算第一类曲面积分步骤：注意性质
S
dS 1。

1.化简
（1）代入化简
（2）利用奇偶对称性化简
①若积分曲面 关于xoy 面对称，那么
dS z y x f ),,(
1
,
),,(20的偶函数
是被积函数的奇函数是被积函数，z f dS z y x f z f 其中1 是 在xoy 面上方部分.
②若积分曲面 关于yoz 面对称，那么
dS z y x f ),,(
1
,
),,(20的偶函数
是被积函数的奇函数是被积函数，x f dS z y x f x f 其中1 是 在yoz 面前方部分.
③若积分曲面 关于zox 面对称，那么
dS z y x f ),,(
1
,
),,(20的偶函数
是被积函数的奇函数是被积函数，y f dS z y x f y f 其中1 是 在zox 面右方部分.
（3）利用轮换对称性化简
①若交换积分曲面中的x 和y ，积分曲面不变，则有
dS z y x f ),,(
dS z x y f ),,(。

②若交换积分曲面中的x 和z ，积分曲面不变，则有
dS z y x f ),,(
dS x y z f ),,(。

③若交换积分曲面中的z 和y ，积分曲面不变，则有
dS z y x f ),,(
dS y z x f ),,(。

注：利用轮换对称性时，一般都是①②③都成立的情形。

2.化为二重积分（一投二代三换或一代二投三换）
（1）根据曲面的形式确定投影在哪个坐标面上，如曲面方程为),(y x z z ，则一般投影到
xoy 面上，投影区域记为xy D 。

（2）将),(y x z z 代入被积函数),,(z y x f 。

（3）面积元素dxdy z z dS y x 22)()(1。

dS z y x f ),,(
xy
D y x dxdy
z z y x z y x f 22
)()(1)],(,,[注意：一投二代，也可以先代，化简被积函数。

例1【2018-2019期末】设曲面 为上半球面222y x z ，
则
dS y )1( 4。

解：积分曲面关于zox 面对称，所以有
ydS ，从而
dS y )1(
dS 1 4)2(22
S 。

例2【2019-2020期末】计算曲面积分
dS
z y x )(，其中 为球面
2222R z y x 上)0(R h h z 的部分。

解：积分曲面关于zox 面和yoz 对称，所以有
xdS 0
ydS ，于是
dS z y x )(
zdS dxdy
y
x R R y x R xy
D 2
2
2
222
dxdy R xy
D
xy
D RS )(2
2h R R 。

例3【2017-2018期末】设曲面 的方程为2
222a
z y x 0 z ，1 为 在
第一卦限中的部分，则下列选项中正确的是（C
）
A.
xdS 1
4xdS
B.
ydS 1
4ydS
C.
zdS 1
4xdS
D.
xyzdS 1
4xdS
解：积分曲面关于zox 面和yoz 对称，有
A.0
xdS B.
ydS
D.0
xyzdS C.
zdS 1
4zdS 1
4xdS 。

例4【2016-2017期末】设 为球面2
2
2
2
R z y x 位于0 z 部分，则曲面积分
ydS .
解：积分曲面关于zox 面和称，有
ydS 。

例5【2015-2016期末】计算曲面积分
dS y x
)(22
，其中 是锥面2
2y x z )10( z 。

解： 在xoy 面上的投影区域1
:2
2
y x D xy dxdy z z dS y x 22
1 dxdy 2
，于是
dS y x )(22 xy
D dxdy y x )(22
2 1
320
2 d d 2
2。

例6计算曲面积分2
()
I ax by cz n dS ，其中 为球面2222 x y z R .
解
2()
I ax by cz n dS
2222222(222222)
a x
b y
c z n abxy acxz bcyz anx bny cnz dS
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知
xydS xzdS yzdS xdS ydS zdS 又由轮换对称性知
222
x dS y dS z dS 故
2222222
I a x dS b y dS c z dS n dS
22222()
a b c x dS n dS
222
22222()43
a b c x y z dS R n 2222
2222222244[()]
33
a b c R R dS R n R a b c n 评注：对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同，理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称性.
四、计算第二类曲面积分步骤：
1.化简
（1）代入化简
（2）对称奇偶性化简（3）轮换对称性化简
2.若非组合，一般直接法计算：一投二代三定号（1）若有向曲面:(,)z z x y ，则
(,,)[,,(,)]xy
D R x y z dxdy R x y z x y dxdy
（上“+”下“-”
）其中xy D 为 在xOy 面上的投影区域.（2）若有向曲面:(,)x x y z ，则
(,,)[(,),,]yz
D P x y z dydz P x y z y z dydz
（前“+”后“-”
）其中yz D 为 在yOz 面上的投影区域.
（3）若有向曲面:(,)y y x z ，则
(,,)[,(,),]zx
D Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx
（右“+”左“-”
）其中zx D 为 在zOx 面上的投影区域.
3.组合形式：
（1）若为平行于坐标面的平面块，则直接法计算
（2）若非平行于坐标面的平面块，则一般化为第一类曲面积分计算
Rdxdy Qdzdx Pdydz
dS R Q P )cos cos cos ( .
其中 cos ,cos cos ，为曲面 在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦.（3）非平面块，且为闭曲面，一般用高斯公式。

(,,)(,,)(,,)P Q R P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy dv x y z
或
(cos cos cos )P Q R P Q R dS dv x y z
其中 为空间有界闭区域 的边界曲面的外侧，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在 上具
有一阶连续偏导数， cos ,cos cos ，
为曲面 在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦.注意：若非平面块不是封闭曲面，则加辅助面，再用高斯公式，所加辅助面一般用平行于坐标面的平面块？考虑一下为什么？（4）上面方法做不出来则尝试用坐标转换
dxdy z dydz x ，dxdy
z dzdx y 例1设),,(z y x f 为连续函数，计算曲面
dxdy
z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([其中 为1 z y x
在第四卦限部分的上限。

分析：积分曲面 为非平行于坐标面的平面块，化为第一类曲面积分计算。

解： 的法向量为)1,1,1( n
，单位化，得）
，，（
3
1
3131 ，从而有
3
1cos 31cos 31cos
，。

于是
dxdy
z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,([]),,(2[]),,([
dS z z y x f y z y x f x z y x f ]}),,([3
1
]),,(2[31]),,([31{
dS z y x )(3
1
xy
D dxdy 313
12
1。

例2【2021考研】设 为空间区域}20,44|),,{(2
2
z y x z y x 表面的外侧，则曲面积分
zdxdy dzdx y dydz x 22_______。

分析：组合形式，非平面块，封闭，二话不说高斯公式。

解：设 围成的空间区域记为 ，则由高斯公式，有
zdxdy
dzdx y dydz x 2
2
dv
y x )122(由奇偶对称性
)22(
dv y x
dv 1 2
4
422y x dxdy dz
4 。

例3【2019-2020期末】计算曲面积分
zdxdy ydzdx xdydz 32，其中 为锥面
2224z y x 上介于0 z 和h z 之间的部分的下侧，其中0 h 。

分析：积分为组合形式，且积分曲面为非平面块，用高斯公式。

注意这里曲面不是闭曲面，
所以需要加辅助面。

解：补充2
2
2
14,h y x h z ：，取上侧，则 和1 构成封闭曲面，其围成的空间
区域记为 。

则高斯公式，有
1
32zdxdy ydzdx xdydz 3
86h
dv。

又
132zdxdy
ydzdx xdydz （辅助面为平行于坐标面的平面块，直接法计算）
1
3zdxdy 1
3hdxdy 3123h dxdy h xy
D 。

于是
zdxdy ydzdx xdydz 32
1
1
3334128h h h 。

例4【2018-2019期末】计算曲面积分
dxdy z dzdx y x f y dydz x y x f I x y 333)],([]),([，
其中),(y x f 具有二阶连续偏导数， 为锥面22y x z （10 z ）部分的下侧.
分析：积分为组合形式，且积分曲面为非平面块，用高斯公式。

注意这里曲面不是闭曲面，所以需要加辅助面。

解：作辅助面1 ：1 z （12
2
y x ），取上侧，
1 围成的空间区域为 ，由高斯公式，
dxdy
z dzdx y x f y dydz x y x f I x y 333)],([]),()[(1
dxdydz z y x f y x y x f xy yx ]3),(33),([222 1
3dxdy
z 由于),(y x f 具有二阶连续偏导数导数，所以),(),(y x f y x f yx xy ，于是
dxdydz z y x I )(3
222
1
3dxdy
z 用柱坐标计算
dxdydz z y x )(222，: 20 ，10 ，1 z ，
dxdydz z y x )(2
2
2
1
221
20
)(
dz
z d d
1
132)31
(2
d z z 10
3
，而
xy
D dxdy dxdy z 1
3，
（辅助面为平行于坐标面的平面块，直接法计算）
其中1:2
2
y x D xy ，故
1
3dxdy z ，
所以
10
109
I .另解：用球坐标计算
dxdydz z y x )(2
22，: 20 ，4
，
cos 1
r ，
dxdydz z y x )(222
cos 10
44
20
sin dr
r d d
4
5cos 1sin 5
2
d 103
而
xy
D dxdy dxdy z 1
3，其中1:22 y x D xy ，故
1
3dxdy z ，
所以
10
109
I .例5【2017-2018期末】计算曲面积分
2232()(2)I xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy
，
其中 是球面2222
x y z a （0a ）上半部分的上侧.
分析：积分为组合形式，且积分曲面为非平面块，用高斯公式。

注意这里曲面不是闭
曲面，所以需要加辅助面。

解：作辅助面
1:0,z 取下侧的，
球面投影在下底面2
2
2
xy D x y a ：………………………………1分
2232()(2)I xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy
1
1
（辅助面为平行于坐标面的平面块，直接法计算）
222()(1)2xy
D x y z dxdydz xydxdy
22220
sin 0
a
d d r r dr
525
a 例6【2016-2017期末】计算曲面积分
dxdy z dzdx x z dydz z y I )1()()(22222，
其中 为旋转抛物面222y x R z )0( R 位于0 z 部分的上侧.
分析：积分为组合形式，且积分曲面为非平面块，用高斯公式。

注意这里曲面不是闭曲面，所以需要加辅助面。

解：作辅助曲面1 ：)(0222R y x z ，取下侧，
----------------2分
由高斯公式，
1
)1()()(22222
dxdy
z dzdx x z dydz z y
zdxdydz
2-------------------------------------4分
z
D R
dxdy zdz 02（222:z D x y R z ）
20
2()R
z R z dz 63
R
.-------------------------------------6分
而 1)1()()(22222dxdy z dzdx x z dydz z y 2
1R dxdy dxdy xy
D ，
（辅助面为平行于坐标面的平面块，直接法计算）
所以
I 42
R
1
)1()()(22222dxdy
z dzdx x z dydz z y 6
3R
)(2R 2
4
(1)3
R R .-------------------------------------8分
例7【2015-2016期末】计算曲面积分
dxdy z
ydzdx xdydz I )1(322
2，其中
是曲面2
2
1y x z )0( z 的上侧。

分析：积分为组合形式，且积分曲面为非平面块，用高斯公式。

注意这里曲面不是闭曲面，所以需要加辅助面。

解：补面)1(0
:221 y x z ，取下侧，
1 所围成的空间区域为 ，则
1
)1(322dxdy z ydzdx xdydz I 2
1
)1(322
dxdy z ydzdx xdydz 2由高斯公式，得
1
)1(322dxdy z ydzdx xdydz 2dxdydz z
)622(dxdydz z
6（利用柱坐标）
210
1
20
6 zdz
d d 1022])1(2
1
[12dr
(也可用先二后一方法：
1
)1(322
dxdy z
ydzdx xdydz 2dxdydz
z
6 z
D dxdy zdz 1
6（z y x D z 1:22）
dz z z 1
)1(6 ）
而
1
)1(322
dxdy z
ydzdx xdydz 2
3)10(31
22
y x dxdy （辅助面为平行于坐标面的平面块，直接法计算）故
23 I 例8
计算曲面积分
222
()()()
x y dydz y z dzdx z x dxdy ，其中 为锥面222 z x y 在0 z h 部分的上侧.
分析：积分为组合形式，且积分曲面为非平面块，用高斯公式。

注意这里曲面不是闭曲面，所以需要加辅助面。

解：利用高斯公式.添加辅助面2
2
2
1:() z h x y h ，取下侧，则
2
22()()()
x y
dydz y z dzdx z x dxdy
1
222()()()
x y dydz y z dzdx z x dxdy
1
222()()() x y dydz y z dzdx z x dxdy
1
23()
dxdydz h x dxdy 23()
xy
D dxdydz h x dxdy
（辅助面为平行于坐标面的平面块，直接法计算）
其中 为 和1 围成的空间圆锥区域，xy D 为 投影到xOy 面的区域，即
222(,) xy D x y x y h ，由xy D 的轮换对称性，有
2
22
1()2
xy
xy
D D x dxdy x y dxdy 故
2
22()()()
x y
dydz y z dzdx z x dxdy
22211
3()32 xy xy
D D h h h dxdy x y dxdy
23234001124
h h h h d d h
评注：添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求.本题由于积分锥面取上侧（内侧），因此添加的平面要取下侧，这样才能保证封闭曲面取内侧，使用高斯公式转化为三重积分时，前面要添加负号.
例9计算
dS z y x )cos cos cos (333 ,其中 为锥面2
22y x z 在01 z 的部分， cos ,cos ,cos 是其法线向量方向余弦，且0cos .
分析：积分为组合形式，且积分曲面为非平面块，用高斯公式。

注意这里曲面不是闭曲面，所以需要加辅助面。

解：
dS z y x )cos cos cos (333 333
x dydz y dzdx z dxdy
补充平面1 ：1 z ，取下侧；
1
1333333+x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy
原式1
222333()x y z dxdydz dxdy
xy
D r dxdy dz z r rdr d 2010122)(3 2527 。

（辅助面为平行于坐标面的平面块，直接法计算）
例10设 是由曲线)20(0
2
z x y z 绕z 轴旋转而成的曲面，
（1）写出 的方程和 取下侧（即朝着z 轴负方向的一侧）的单位法向量。

（2）对（1）中的定向曲面，求积分
zdxdy y dzdx y )18()142
（分析：积分为组合形式，且积分曲面为非平面块，用高斯公式。

注意这里曲面不是闭
曲面，所以需要加辅助面。

解(1)旋转曲面的方程为:)
20(,22 z y x z )
1,2,2(),,(,),,(22 y x F F F z y x z y x F z y x )1,2,2(411
)1,2,2(1
44122
y x z
y x y x e (2)
补充曲面:,2,2:2
2
0 y x z 上侧
zdxdy y dzdx y )18()142
（
)18()14)1888(2zdxdy
y dzdx y dxdydz y y （（辅助面为平行于坐标面的平面块，直接法计算）
2
22)18(27y x dxdy
y dxdydz 对称性
2
2
22)18(27y x D dxdy
y dxdy dz z
18272
2
022
y x dxdy zdz 对称性……………………………………7分
例11计算曲面积分
xdydz ydzdx zdxdy ，其中
1 的法向量
与各坐标轴正向夹锐角的侧面.
解
由于曲面 具有轮换对称性，所以有
xdydz ydzdx zdxdy ， 投影到
xOy
面的区域
(,1 xy D x y
，故
2
33(1
xdydz ydzdx zdxdy zdxdy
dxdy 2
1
(12
2
3(13(1
xy
D dxdy dx
dy 1
40
1(12
dx
41
1(1)30
t t dt 。

评注：由于积分曲面 具有轮换对称性，因此可以将,dydz dzdx 直接转换为dxdy ， 只要投影到xOy 面即可.
（五）二元函数全微分求积
定理：若Q P ,在单连通区域G 内具有一阶连续偏导，则Qdy Pdx 是某一个二元函数的全微分的充分必要条件为
y
P
x Q
在G 内恒成立。

Qdy Pdx 的一个原函数的求法：
)
,()
,(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u 。