江西省临川一中暨临川一中实验学校2022-2023学年高二4月月考数学试卷 - 副本

临川一中暨临川一中实验学校2022-2023学年高二年级4月月考
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.已知集合{}|2=<<+A x a x a ，(){}2
ln 6|B x y x x ==+-，且A B ⊆，则
A.12
a -≤≤ B. 12
a -<< C.21
a -≤≤ D.21
a -<<2.设i 为虚数单位，且
5
12i 1i
a =++，则1i a -的虚部为A.2- B.2 C.2i
D.2i
-3.已知向量
(cos ,sin ),a b θθ== ，若||a b b ⋅=
，则tan θ=
A.
2
2
B.
C.
D.
4.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左，右焦点，离心率e =
点P 为双曲线C 的右支上一点，且2120PF F F ⋅=uuu u r uuuu r ，29
2
PF =，则双曲线C 的虚轴长为
A.6
B.12
C.
D.
5.在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20C o ，但当气温上升到31C 时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时14~时的气温T （单位：℃）与时间t （单位：小时）近似满足函
数关系式π3π2510sin 8
4T t ⎛
⎫
=++
⎪⎝⎭
，则在6时14~时中，观花的最佳时段约为（参考数据：π
sin
0.65
≈）A. 6.7时11.6~时 B. 6.7时12.2~时 C.8.7时11.6~时 D.8.7时12.2~时
6.已知圆的方程2225x y +=，过()4,3M -作直线,MA MB 与圆交于点,A B ，且,MA MB 关于直线3y =对称，则直线AB 的斜率等于A.4
3
-
B.34
- C.54
- D.2
-7.设A ，B 是半径为3的球体O 表面上两定点，且60AOB ∠=︒，球体O 表面上动点P 满足
2PA PB =，则点P 的轨迹长度为
A.π11
B.π5
C.π7
D.
π13
8.若在函数()e +,<1
=ln ,1x a x f x x x ≥⎧⎨
⎩
的图象上总存在两点关于直线1x =-对称，则实数a 的取值范围为
A.)3e ,-⎡-+∞⎣
B.(3
,e -⎤-∞-⎦
C.[)ln 3,-+∞
D.(]
,ln 3-∞-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则下列说法正确的是A.若15a a =，则12n a a a === B.若53a a >，则12n S S S <<< C.若32a =，则22158a a + D.若488,4a a ==，则1266
S =10.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点.则下列说法
正确的是
A.直线1B B 与直线AF 垂直
B.直线1A G 与平面AEF 平行
C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为18
D.点G 和点C 到平面AEF 的距离相等
11.已知函数()()e x
f x x a x a =---有两个不同零点12,x x ，且12x x <，则下列说法正确的是
A ．2
a <-B ．120
x x +=C ．()()()1
2
1
2
e 1e 1e e 8
x x x x
+++≥D ．1214223
x a x x a +<<++
12.已知O 为坐标原点，点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，过焦点F 的直线l 交抛物线C 于
,A B 两点，则下列说法正确的是
A.C 的准线方程为1x =-
B.若4AF =，则21
OA =C.若8AB =，则AB 的中点到y 轴的距离为4D.49
AF BF +≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中随机选取4个构成一个四面体，记该四面体的体积为V ，则()E V =__________．
14.若2023220230122023(13)a a x a x a x +=++++…，则01234520222023a a a a a a a a +--++---=…__________．
15.已知()sin f x x ω=的周期2T =，将()f x 的图象向右平移
2
3
个单位长度得到()g x 的图象．记()f x 与()g x 在y 轴左侧的交点依次为12,n A A A …，在y 轴右侧的交点依次为12,n B B B …，O 为坐标原点，则1122n n OA OB OA OB OA OB ⋅+⋅+++=
…__________
．
16.已知曲线C 是抛物线[]28(1),1,3y x x =-∈的一部分，将曲线C 绕坐标原点O 逆时针旋转α，
得到曲线C'．若曲线C'是函数()f x 的图象，且()f x 在其定义域内单调递减，则tan α的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记ABC △内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知tan tan 2tan tan tan B C
B A A
=-.
（1）求证：2222b c a +=；（2）求
2
ab
c 的取值范围.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且1123n n n S S a +++=-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从①3log n n n b a a =；②332
1
log log n n n b a a +=
⋅；③3log n n n b a a =-.三个条件中任选一个，求
数列{}n b 的前n 项和n T .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.红外触发相机主要应用于自然保护野外研究技术领域中的野生动物监测.当恒温动物从装置前方经过时，动物体温与环境温度造成的温差引起相机周围热量的变化，这种变化由红外传感器接收后，产生一个脉冲信号，从而触发相机拍摄.为调查某山区大熊猫的生活习性，研究人员在大熊猫的活动范围内架设了,,A B C 三台红外触发相机.经过长时间的观测，研究人员对某大熊猫的出现概率做出了如下总结：
（1）若该大熊猫首次出现被A 相机捕捉到，求第三次出现被C 相机捕捉到的概率；（2）假设观测时间足够长，则哪架相机拍摄到该大熊猫的次数最多？请说明理由.
20.如图①所示，平面五边形ABCDE 中，四边形ABCD 为直角梯形，90B ∠=︒且AD BC ，若22,3AD BC AB ===，ADE △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，现将ADE △沿AD 折起，连接,EB EC 得如图②的几何体.
（1）若点M 是ED 的中点，求证：CM 平面ABE ；
（2）若2EC =，在棱EB 上是否存在点F ，使得二面角E AD F --的大小为60°？若存在，
求出点F 的位置；若不存在，请说明理由.
21.已知,A B 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右顶点，12,F F 是E 的左、右焦点，5(2,3M 是椭圆上一点，且12MF F △的内心的纵坐标为2
3
．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若P 是椭圆E 上异于,A B 的一动点，过,A B 分别作12,l PA l PB ⊥⊥，12,l l 相交于点Q ．则
当点P 在椭圆E 上移动时，求
12
11
QF QF +的取值范围．22.已知函数()(1)x f x x e =-.
（1）求()f x 在点(1,())f x 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积；（2）若函数()()(1)F x f x k x =-+有两个不同的极值点12,x x .
①求k 的取值范围；②证明：124()()F x F x e
+>-
.。