01集合的概念及运算
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一、集合的基本概念及表示方法
1.集合与元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合 , 简称集, 通常 用大写字母A, B, C, … 表示. 集合中的每个对象叫做这个集合 的元素, 通常用小写字母a, b, c, … 表示. 2.集合的分类 集合按元素多少可分为: 有限集(元素个数有限)、无限集 (元素个数无限)、空集(不含任何元素); 也可按元素的属性分, 如: 数集(元素是数), 点集(元素是点)等. 3.集合中元素的性质 对于一个给定的集合, 它的元素具有确定性、互异性、无 序性. 4.集合的表示方法 ①列举法；②描述法；③图示法；④区间法；⑤字母法.
2, a+b, 0}, 则 a2006+b2007= 1 . 1.若{a, b , 1}={ a a 2.若集合 M={-1, 1, 2}, N={y | y=x2, x∈M}, 则 M∩N 是 ( B ) A. {1, 2, 4} B. { 1 } C. {1, 4} D. x+1 3.若集合 M={12, a}, 集合P={x | x -2 ≤0, x∈Z} 且 M∩P={0}, 记 M∪P=S, 则集合 S 的真子集个数是 ( D) A. 8 B. 7 C. 16 D. 15 4.已知集合 S, M, N, P 如图所示, 则图中阴影部分表示的集合 S 是( D) A. M∩(N∪P) B. M∩Cs(N∩P) P M N C. M∪Cs(N∩P) D. M∩Cs(N∪P)
注: 集合与集合的关系特例:
设集合A={1, 2, 3}, B={x | xA}, 则 AB, B. 亦可 B. (4)集合的运算
①交集: 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的交集, 记作A∩B, 即 A∩B={x | x∈A, 且x∈B}. ②并集: 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的并集, 记作A∪B, 即 A∪B={x | x∈A, 或 x∈B}. ③补集: 设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集(即AS), 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集 (或余集), 记作 CsA, 即 CsA={x | x∈S, 且 xA}.
3.已知集合 M={(x, y) | y= 16-x2 , y0}, N={(x, y) | y=x+a}, 若 M∩N=, 求实数 a 的取值范围. y (-∞, -4]∪(4 2 , +∞) 评注 (1)本题将两集合之间的关系转化为 4 两曲线之间的关系, 然后用数形结合的思想 求出 a 的范围, 既快又准确. 准确作出集合 -4 o 4 x 对应的图形是解答本题的关键. -4 (2)讨论两曲线的位置关系, 最常见的解法还有讨论其所对应 的方程组的解的情况. 该题若用此法, 涉及解无理方程与无理不 等式, 解起来较繁. 4.已知 f(x)=x2+px+q, 且集合 A={x | f(x)=x}, B={x | f [ f(x)]=x}. (1)求证: AB; (2)如果 A={-1, 3}, 求 B. {- 3 , -1, 3 , 3} 评注 本题解答过程中, 不断实施各种数学语言间的等价转换 脱去集合符号和抽象函数的“外衣”, 找出本质的数量关系. 这 是解答本题的关键.
2-x-1=0}, 得 a≥- 1. 由 A={ x | ax 13.解: 4 ∵对任一 x0∈A, 必有 x0B, ∴AB; 又 B 中元素为方程 a(ax2-1)2-1=x 即 a3x4-2a2x2-x+a-1=0 的实根, ∴由 AB 知 a3x4-2a2x2-x+a-1 含有因子 ax2-x-1. ∴a3x4-2a2x2-x+a-1=0 即为 (ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0. ∵A=B, ∴a2x2+ax-a+1=0 无实根或其实根为 ax2-x-1=0 的实根. 由 a2x2+ax-a+1=0 无实根得: a< 3 4;
典型例题
1.已知全集为 R, A={y | y=x2+2x+2}, B={y | y=x2+2x-8}, 求: (1) A∩B; (2) A∪CRB; (3) (CRA)∩(CRB). [1, +∞) (-∞, -9)∪[1, +∞) (-∞, -9) 评注 本题涉及集合的不同表示方法, 准确认识集合A、B是 解答本题的关键. 对(3)也可计算CR(A∪B). 2.已知集合A={x | x2-x-6<0}, B={x | 0<x-m<9}. (1)若A∪B=B, 求实数 m 的取值范围; [-6, -2] (2)若A∩B, 求实数 m 的取值范围. (-11, 3) 评注 (1)注意下面的等价关系: ①A∪B=B AB; ②A∩B=A AB; (2)用“数形结合思想”解题时, 要特别注意“端点” 的取舍.
二、元素与集合、集合与集合之间的关系
1.元素与集合之间的关系 元素与集合之间用“ ∈ ”或“ ( 或 ∈ )” 连 接; 元素与集合之间是个体与整体的关系 , 不存在大小与相等 关系. 2.集合与集合之间的关系 (1)包含关系： 如果对任一 x∈A, 都有 x∈B, 则称集合 A 是集合 B 的子集 , 记作AB 或 BA. 显然AA, A. (2)相等关系： 对于集合A、B, 如果AB, 同时AB, 那么称集合A等于集 合 B, 记作 A=B. (3)真包含关系： 对于集合A、B, 如果AB, 并且AB, 我们就说集合A 是 集合 B 的真子集, 记作 A B . 显然, 若A, 则 A. 即: 空集是任何非空集合的真子集.
课堂练习
5.集合 P={x, 1}, Q={y, 1, 2}, 其中x, y∈{1, 2,…, 9}, 且 P Q, 把满足上述条件的一对有序整数 (x, y) 作为一个点, 这样的点的 个数是 ( B ) A. 9 B. 14 C. 15 D. 21
6.已知 M={-1, 0, 1}, N={y | y=cosx, xM}, 则 M∩N 为 ( D ) A. {-1, 0, 1} B. {0, 1} C. {0} D. {1}
四、有限集合的子集个数公式
1.设有限集合 A 中有 n 个元素, 则 A 的子集有: 0 +C1 +C2 +…+Cn ＝2n 个. Cn n n n 其中, 真子集有 2n -1 个, 非空子集有 2n -1 个, 非空真子集有 2n - 2 个 . 2.对任意的有限集合 A、B、C 有: card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B) -card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).
当 a2x2+ax-a+1=0 有实根且为 ax2-x-1=0 的实根时, ∵ax2-x-1＝0, ∴ax2=x+1. 1 2 2 ∴a x +ax-a+1=0 可化为 a(x+1)+ax-a+1=0, 解得 x=- 2a . 代入 ax2-x-1=0, 得: a= 3 4. 3 ]. 综上所述, 实数a 的取值范围是 [- 1 , 4 4
7.集合 A 和 B 各含 6 个元素, A∩B含 3 个元素, C 同时满足三 个条件: ①C A∪B; ②C 中含有 3 个元素; ③C∩A, 则这样 的集合 C 的个数是 ( B ) A. 82 B. 83 C. 84 D. 219
8.集合 M={a, 0}, N={x | 2x2-5x<0, xZ}, 若 M∩N, 则 a 等 于( C ) 3 A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 1 或 2 9.集合 A={x|x2+3x-18>0}, B={x|(x-k)(x-k-1)≤0}, 若A∩B, 则 k 的取值范围是 k<-6 或 k>2 .
三、集合之间的运算性质
1.交集的运算性质 A∩B=B∩A, A∩BA, A∩BB, A∩A=A, A∩=, AB A∩B=A. 2.并集的运算性质 A∪B=B∪A, A∪BA, A∪BB, A∪A=A, A∪=A, AB A∪B=B. 3.补集的运算的性质 设S为全集, AS, 则: Cs(CsA)=A, Cs=S, CsS= A∩(CsA)=, A∪(CsA)=S, Cs (A∩B)=(CsA)∪(CsB), Cs(A∪B)=(CsA)∩(CsB).
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那座城镇拥有一处很大的草坪,简单改造就成为了一处前线机场. 参与向183师进行空中补给的部队齐聚于此,图皮科夫甚至亲自赶到现场. 在行动之前,他还要亲自检查一下货物.行动的指挥官,伊万诺夫就陪在图皮科夫的身边. "本来我作为参谋长,完全没有必要进入那个前线机场.如果是 监督任务的执行,方面军司令部派遣特派员即可.现在我来到了那里,你们自然也能意识到那次行动的重要性."图皮科夫给伊万诺夫提了醒,也让他明白司令部对行动的关切程度. 伊万诺夫把所有的机组人员召集起来,大家在机场列队,等待参谋长的检阅. 时间快要到十月,那些天的天气不是 很好.俄罗斯的秋雨季节已经到来,阴雨的天气对于空中飞行影响巨大.好在今日是个半阴天,任务应该可以顺利完成. 在图皮科夫面前,一百多位机组人员整齐的列队. 图皮科夫给予他们命令："同志们,那次的任务非同小可.我们必须援助我们的同志,因为你们必须冒着生命危险深入敌后,将 货物准确的送抵普里佩特的沼泽地. 你们或许会质疑,为什么我们要出动大量的运输机,甚至疯狂的用轰炸机空投坦克.[ 超多好看]我现在就来告诉你们司令部的决意,因为那次任务除了实际的援助,更重要的是象征意义！" 在此之前,伊万诺夫和他的航空兵以及空勤,都对司令部的疯狂举动 所震惊.不少人在感慨,部队的高层绝对不懂得空军,伞兵背着降落伞空降无可厚非,现在居然要以同样方式空降坦克. 同时,所输送的物资里,毛毯和冬季军装是大多数,剩下的空间几乎都用于运输小麦粉. 图皮科夫的一番训话让大家明白过来,因为近卫183师是英雄的部队.那支部队获得了近 卫的称号,纯粹是他们用铁与血获得了.以一支步兵师的身份,歼灭和击溃三个德军师,甚至还有一个装甲师.在目前的战争中,那种战绩独一无二. 但因为表现太显眼,部队也差一点全军覆没."同志们,近卫183师撤入沼泽地,他们已经吸收了大量溃散部队,战斗力正在迅速恢复.今天我们的任务, 是领袖直接命令方面军司令部,因此你们执行的是斯大林本人的命令！我们必须给予他们帮助,因为他们和你我都隶属于西南方面军. 他们被要求在沼泽地吸收所有的反抗力量,最终在反击的时候,他们将作为战斗力极强的生力军." 战士们爆发出惊人的怒吼,那次有些冒险的行动,是为了方 面军未来的战斗而考量.行动就在今日,理论上两三个小时,机群就能抵达沼泽地头顶. 在出发之前,图皮科夫再检查了一下待投送的物资.他特别关心它些坦克,为此伊万诺夫还是担忧的指出："以往我们空运坦克,是轰炸机结束后拆卸下来.现在选择暴力空投,坦克很可能摔坏." 图皮科夫摇 摇头："你且遵命即可.就算是坦克真的坏了,它些人也不会把它们当做废物抛弃.他们拥有兵工厂,只要是金属就不会浪费." 伊万诺夫没有想它么多,看看自己的腕表,时间已经是上午九点,该执行任务了. 因此,在出发之前,空中运输队向沼泽地发送无线电,以莫尔斯电码的形式联络. 今日就 是空中补给的日子,李小克和耶夫洛夫天蒙蒙亮就苏醒了.李小克更是有些夸张的迅速穿好衣服,吓得李桃和别的医护人员还以为出了什么事.他作为伤员,还是火急火燎赶到师部,并开了一个晨会.部队中所有的营长和营政委齐聚师部会议室领取命令. "命令全体士兵,进入一级战备.所有人紧 急集合并待命,做好接受物资的准备." 李小克要求部队以营为单位,进入树林和沼泽,部队分布面积要大.见到机群投放物资后,迅速去寻找,并全部带回来. 政委福明本人就是之前跳伞进入沼泽地,他手比划着,给了各位营长关于空投包裹的样式,大家领了命令后,便迅速开始行动. 李小克本 人也没有闲着,为了方便集群寻找他们,依旧命令战士点一把火,扔几个轮胎进去,制造出白烟. 上午九点,双方进行了正式联络.运输机群代号"老鹰",向李小克那边发送信息. 电报员迅速破译了电码,写出一行小字：鹰已起飞. "太好了！他们开始行动了."李小克激动不已,和师部的几人热情 握手. 耶莲京娜也是乐的合不拢嘴,投送的物资里有大量面粉,她是太喜欢那个了.因为是中国人的关系,那个别列科夫很会做饭,把面粉做成条状物煮蔬菜汤（她对于面条的理解）,实在是醉心的美味. 在利沃托夫斯卡,几十架飞机螺旋桨嗡嗡转动.图皮科夫和随行人员背着手在一边看着,他 身披大衣,衣服被强烈的风吹动. 由于已经达到TB3轰炸机的满载,那些翼展巨大的家伙滑翔了足足两公里成功飞起来. 一开始,在场的地勤人员很担心它些挂着坦克的飞机,很担心它们根本飞不起来,没想到还是成功了. 坦克上了天,地下的人也在高兴的欢呼.图皮科夫仰望蓝天,嘴角露出满 意的笑容,不禁又有一丝担忧. 此时,伊万诺夫身处一架轰炸机上,机舱里堆满了物资.投放物资的方法和投放炸弹区别不大,几个按钮按下,底舱打开,那些麻布口袋伴随着它们的降落伞就纷纷落下了. 他嘱咐着飞行员："你好好开飞机,一刻不要松懈,我们稳稳当当的完成任务." 飞行员自然 是点头,又不禁问了一个愚蠢的问题："机长,如果我们遇到了敌人怎么办?我们已经飞进沦陷区了." "它就战斗咯！"伊万诺夫严肃的说道,"你我都知道行动肯定有危险,所以我们那次还有不少战斗机护航." 伊万诺夫对于行动的成功很有自信,毕竟航程并不远,战斗机可以一直护航.再说他有 三十架战斗机的掩护,敌人除非出动大机群. 运输机群一直和沼泽地保持着联络,他们已经飞行了一个小时,随着深入沦陷区,机群的危险系数也在快速飙升. 德军游弋的侦察机飞发现了有那样一个机群在行动,由于TB3它庞大身躯,德军侦察机立刻向地面的前线机场报告,声称发现敌人轰炸机 群. 空战一触即发,十架BF108紧急升空.德军占领了苏力的大量机场,德剧战斗机在波尔塔瓦附近的机场起飞,并迅速攀升准备空战. 进入沦陷区后,苏军的战斗机飞行员们一个个紧张起来,大家并不相信德军会对那么一个大目标的行动不管不问.每一名机组人员都在祈祷,希望德军全是一群 瞎子,亦或者有选择失明. 苏军的战斗机还尚未配备机载无线电,德军战斗机确是标配.为此,那些短粗甚至可爱的海鸥战斗机,他们以三架飞机作为战斗小队.长机摇晃着双翼,提醒僚机保持警惕. 就在高空中,德军的"猎人"们,以阳光作为掩护,十架BF108进行了无畏的俯冲. "跟着我,袭击一 架轰炸机！"德军的机长娴熟的使用他们无线电的优势,各个僚机接到命令,集中兵力袭击一架TB3轰炸机. 袭击非常的忽然,无数发子弹向轰炸机倾泻,训练有素的德军飞行员专打飞机的发动机. 那架倒霉的TB3无可奈何的中招,它下面还挂载着坦克,正在以极限运力飞行.忽然的攻击,直接导 致两台发动机停车,泄露的燃油着起熊熊大火.那架飞机托着白烟伴随着巨大的呼啸声降落. 伊万诺夫惊恐的看到那一切,"立刻命令所有的飞机,自卫！" 用不着命令,战斗机们便投入战斗,其他TB3轰炸机的顶部和底部的机枪手也行动起来,空战全面开始.(未完待续.) ------------ 第一百 二十九章 空战英豪波多维奇 BF108的航速比伊15快很多,苏军为所有运输机护航的都是伊153型号,它是那个系列的加强般.䆯艍籲㓿诪筟vvv$liWnguWtWng$XX] 它的主翼有两个,原因正是发动机功率差,为了获得足够升力只能保留更多的机翼.因此在推力远逊于德军战斗机,航速甚至差了二 百公里每小时. 在空战中,一对一对抗BF108非常困难.德军飞机能迅速的拉高或者俯冲,将尾随的苏力飞机甩开,甚至高速机动到苏军飞机的后方进行反击. 不过海鸥战斗机（伊153）也有自己的优势,图皮科夫派去战斗的多是飞行时间更长的老手,如此护航苏军的战斗经验很多.飞行员利用 自己飞机的灵巧优势,一旦被追击便迅速做出"马戏团"一般的杂耍动作,在敌人的子弹之下横转腾挪. 再加上苏军战斗机的数量优势,仅仅十架BF108还是无法撼动那庞大的机群. 指挥官伊万诺夫神情紧张的注意着战况,并对他坐在的轰炸机的顶部机枪手咆哮："给我狠狠的打,不要吝啬子弹！ " 同时,他也积极的和沼泽地方面联络,随着距离的接近,无线电信号越来越好.飞机正向普里佩特河方向前进,为了躲避战斗,轰炸机群生到高空躲避敌机.如此大部分飞机躲过了敌机的袭击,在他们的下方,大量的苏军战斗机在和敌机狗斗. 那场面异常混乱,翼尖气流划破空气,混战之中到处 是凝结水汽造成的烟雾痕迹. 伊万诺夫完成了和沼泽地方面的联络,对着麦克风大吼："青蛙！青蛙！我是老鹰！我是老鹰,我们遭遇了敌机拦截！我们遭遇地基拦截！" 在鲶鱼村的183师师部,电台员被忽然响起的吼叫吓出一身鸡皮疙瘩,旋即摘下耳麦,递给身边等候的正副师长. 耶夫洛夫 结果耳麦和麦克风,听到了对方重复的话语.他镇定的回复："青蛙收到！青蛙收到！我们在等待！完毕." 伊万诺夫欣喜若狂,机群一边战斗一边向沼泽地靠拢.敌人的战斗机一直纠缠不清,最糟糕的敌人其他的空军部队会不会也会升空作战?如果是它样就太糟糕了. 通过他的汇报,李小克和 耶夫洛夫也知道了现在正在发生的事. "那可怎么办,咱们的朋友遇到了袭击,敌人的战斗机已经击落了一架运输机."耶夫洛夫询问着李小克,希望他说点什么. 李小克知道他实在也没有办法,无奈的说道："我们是步兵,如何上天呢?咱们只能继续等待." "上天?"耶夫洛夫忽然想到了一个,"咱 们不是还有一架战斗机么?它个飞行员波多维奇一直希望自己还能升空继续去战斗,现在我觉得他幸运的等到了机会." 李小克恍然大悟,激动之情不予言表."你说的对,咱们不能只能拎着空麻袋向友军要粮食,我们得为了贡献一些力量,哪怕力量有些微薄,我们还是要表明态度." 两人计划赶 紧征召它个波多维奇,并把飞机从机库里拉出来,灌注剩下的燃油给他.正当两人如此商量,电台员有些不合时宜的提出反对."师长同志,咱们的电台是倚靠燃油发电机发电运作的.难道我们要把备用的燃油也拿出来?" "对,就那么安排吧.你的反对非常合理,但是非常时期,我们不必在乎那些坛 坛罐罐.友军给咱们的礼物中就有燃油,就是为了给给发电机等提供燃油,为的正是以后的通讯通畅."李小克如实说明,对此电台员也安下心来. 就在那时候,机群它边又来了新的语音.伊万诺夫非常担忧自己会被更多的敌机阻挠,且机群就快要到达目的地了."你们最好在地面建立起防御措施, 架设一些高射机枪.我们机群要降低高度准备空投,你们要对我们战术掩护." 李小克和耶夫洛夫立刻同意它位的要求,部队没有高射机枪,只能用轻武器代替.警卫连的成员们作为传令兵把命令告知给各个营连,士兵们立刻进入战备状态,枪口朝着天等待着. 师部的命令也传到了波多维奇它里, 自从他和他的飞机失去用武之地,自个也就和普通士兵差不多,除了并不是普通战斗步兵.他知道自己会开飞机,在军队里有如此特长难能可贵.没想到,今日的行动居然还有他重新驾驶飞机起飞作战. 激动的波多维奇振作起来："是金子总归要发光,蓝天！我来了！" 他的战斗机被拖出来,被 拆下来的机枪重新安装上去,子弹塞入机头..宝贵的燃油灌满了邮箱,他戴上自己的皮头套,戴好护目镜,独自坐在机舱里. "快点！同志！你要马上去战斗！"机库临时客串的机师作着手势大声呼唤,波多维奇亦是挥舞起右拳. 螺旋桨拼命的转起来,飞机迎着东方渐渐腾空而起. 波多维奇亲吻 着操纵杆,默念着："亲爱的,咱们又一次上天了！那次咱们至少得打下来一架！"他把自己的战斗机想象成一个漂亮的小女孩,甚至是自己的��
10.集合 M={m | m=2a-1, aZ} 与 N={n | n=6b1, bZ} 之间的 关系是 N M .
Baidu Nhomakorabea
11.已知 R 为全集, A={x | log 1(3-x)≥-2}, B={x | x 5 ≥1}, 求 +2 2 CRA∩B. (-2, -1)∪{3} 12.调查 100 名有携带药品出国的旅游者, 其中 75 人带有感冒 药, 80 人带有胃药, 那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值 和最小值分别为多少? 解: 设既带感冒药又带胃药的人数为 x, 既不带感冒药又不带 胃药的人数为 a. 记这100名出国旅游者组成全集 I , 其中带感冒药的人组成集 合 A, 带胃药的人组成集合 B. 则 x=card(A∩B) 且 card(A)=75, card(B)=80, 依题意得: a+card(A)+card(B)-x=100, 0≤a≤20. ∴x=a+55, 0≤a≤20. ∴55≤x≤75. 故既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75, 最小值为 55. 13.已知函数 f(x)=ax2-1, aR, xR, 设集合 A={x | f(x)=x}, 集 合 B={x | f[f(x)]=x}, 且 A=B, 求实数 a 的取值范围.
1.集合与元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合 , 简称集, 通常 用大写字母A, B, C, … 表示. 集合中的每个对象叫做这个集合 的元素, 通常用小写字母a, b, c, … 表示. 2.集合的分类 集合按元素多少可分为: 有限集(元素个数有限)、无限集 (元素个数无限)、空集(不含任何元素); 也可按元素的属性分, 如: 数集(元素是数), 点集(元素是点)等. 3.集合中元素的性质 对于一个给定的集合, 它的元素具有确定性、互异性、无 序性. 4.集合的表示方法 ①列举法；②描述法；③图示法；④区间法；⑤字母法.
2, a+b, 0}, 则 a2006+b2007= 1 . 1.若{a, b , 1}={ a a 2.若集合 M={-1, 1, 2}, N={y | y=x2, x∈M}, 则 M∩N 是 ( B ) A. {1, 2, 4} B. { 1 } C. {1, 4} D. x+1 3.若集合 M={12, a}, 集合P={x | x -2 ≤0, x∈Z} 且 M∩P={0}, 记 M∪P=S, 则集合 S 的真子集个数是 ( D) A. 8 B. 7 C. 16 D. 15 4.已知集合 S, M, N, P 如图所示, 则图中阴影部分表示的集合 S 是( D) A. M∩(N∪P) B. M∩Cs(N∩P) P M N C. M∪Cs(N∩P) D. M∩Cs(N∪P)
注: 集合与集合的关系特例:
设集合A={1, 2, 3}, B={x | xA}, 则 AB, B. 亦可 B. (4)集合的运算
①交集: 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的交集, 记作A∩B, 即 A∩B={x | x∈A, 且x∈B}. ②并集: 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的并集, 记作A∪B, 即 A∪B={x | x∈A, 或 x∈B}. ③补集: 设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集(即AS), 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集 (或余集), 记作 CsA, 即 CsA={x | x∈S, 且 xA}.
3.已知集合 M={(x, y) | y= 16-x2 , y0}, N={(x, y) | y=x+a}, 若 M∩N=, 求实数 a 的取值范围. y (-∞, -4]∪(4 2 , +∞) 评注 (1)本题将两集合之间的关系转化为 4 两曲线之间的关系, 然后用数形结合的思想 求出 a 的范围, 既快又准确. 准确作出集合 -4 o 4 x 对应的图形是解答本题的关键. -4 (2)讨论两曲线的位置关系, 最常见的解法还有讨论其所对应 的方程组的解的情况. 该题若用此法, 涉及解无理方程与无理不 等式, 解起来较繁. 4.已知 f(x)=x2+px+q, 且集合 A={x | f(x)=x}, B={x | f [ f(x)]=x}. (1)求证: AB; (2)如果 A={-1, 3}, 求 B. {- 3 , -1, 3 , 3} 评注 本题解答过程中, 不断实施各种数学语言间的等价转换 脱去集合符号和抽象函数的“外衣”, 找出本质的数量关系. 这 是解答本题的关键.
2-x-1=0}, 得 a≥- 1. 由 A={ x | ax 13.解: 4 ∵对任一 x0∈A, 必有 x0B, ∴AB; 又 B 中元素为方程 a(ax2-1)2-1=x 即 a3x4-2a2x2-x+a-1=0 的实根, ∴由 AB 知 a3x4-2a2x2-x+a-1 含有因子 ax2-x-1. ∴a3x4-2a2x2-x+a-1=0 即为 (ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0. ∵A=B, ∴a2x2+ax-a+1=0 无实根或其实根为 ax2-x-1=0 的实根. 由 a2x2+ax-a+1=0 无实根得: a< 3 4;
典型例题
1.已知全集为 R, A={y | y=x2+2x+2}, B={y | y=x2+2x-8}, 求: (1) A∩B; (2) A∪CRB; (3) (CRA)∩(CRB). [1, +∞) (-∞, -9)∪[1, +∞) (-∞, -9) 评注 本题涉及集合的不同表示方法, 准确认识集合A、B是 解答本题的关键. 对(3)也可计算CR(A∪B). 2.已知集合A={x | x2-x-6<0}, B={x | 0<x-m<9}. (1)若A∪B=B, 求实数 m 的取值范围; [-6, -2] (2)若A∩B, 求实数 m 的取值范围. (-11, 3) 评注 (1)注意下面的等价关系: ①A∪B=B AB; ②A∩B=A AB; (2)用“数形结合思想”解题时, 要特别注意“端点” 的取舍.
二、元素与集合、集合与集合之间的关系
1.元素与集合之间的关系 元素与集合之间用“ ∈ ”或“ ( 或 ∈ )” 连 接; 元素与集合之间是个体与整体的关系 , 不存在大小与相等 关系. 2.集合与集合之间的关系 (1)包含关系： 如果对任一 x∈A, 都有 x∈B, 则称集合 A 是集合 B 的子集 , 记作AB 或 BA. 显然AA, A. (2)相等关系： 对于集合A、B, 如果AB, 同时AB, 那么称集合A等于集 合 B, 记作 A=B. (3)真包含关系： 对于集合A、B, 如果AB, 并且AB, 我们就说集合A 是 集合 B 的真子集, 记作 A B . 显然, 若A, 则 A. 即: 空集是任何非空集合的真子集.
课堂练习
5.集合 P={x, 1}, Q={y, 1, 2}, 其中x, y∈{1, 2,…, 9}, 且 P Q, 把满足上述条件的一对有序整数 (x, y) 作为一个点, 这样的点的 个数是 ( B ) A. 9 B. 14 C. 15 D. 21
6.已知 M={-1, 0, 1}, N={y | y=cosx, xM}, 则 M∩N 为 ( D ) A. {-1, 0, 1} B. {0, 1} C. {0} D. {1}
四、有限集合的子集个数公式
1.设有限集合 A 中有 n 个元素, 则 A 的子集有: 0 +C1 +C2 +…+Cn ＝2n 个. Cn n n n 其中, 真子集有 2n -1 个, 非空子集有 2n -1 个, 非空真子集有 2n - 2 个 . 2.对任意的有限集合 A、B、C 有: card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B) -card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).
当 a2x2+ax-a+1=0 有实根且为 ax2-x-1=0 的实根时, ∵ax2-x-1＝0, ∴ax2=x+1. 1 2 2 ∴a x +ax-a+1=0 可化为 a(x+1)+ax-a+1=0, 解得 x=- 2a . 代入 ax2-x-1=0, 得: a= 3 4. 3 ]. 综上所述, 实数a 的取值范围是 [- 1 , 4 4
7.集合 A 和 B 各含 6 个元素, A∩B含 3 个元素, C 同时满足三 个条件: ①C A∪B; ②C 中含有 3 个元素; ③C∩A, 则这样 的集合 C 的个数是 ( B ) A. 82 B. 83 C. 84 D. 219
8.集合 M={a, 0}, N={x | 2x2-5x<0, xZ}, 若 M∩N, 则 a 等 于( C ) 3 A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 1 或 2 9.集合 A={x|x2+3x-18>0}, B={x|(x-k)(x-k-1)≤0}, 若A∩B, 则 k 的取值范围是 k<-6 或 k>2 .
三、集合之间的运算性质
1.交集的运算性质 A∩B=B∩A, A∩BA, A∩BB, A∩A=A, A∩=, AB A∩B=A. 2.并集的运算性质 A∪B=B∪A, A∪BA, A∪BB, A∪A=A, A∪=A, AB A∪B=B. 3.补集的运算的性质 设S为全集, AS, 则: Cs(CsA)=A, Cs=S, CsS= A∩(CsA)=, A∪(CsA)=S, Cs (A∩B)=(CsA)∪(CsB), Cs(A∪B)=(CsA)∩(CsB).
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那座城镇拥有一处很大的草坪,简单改造就成为了一处前线机场. 参与向183师进行空中补给的部队齐聚于此,图皮科夫甚至亲自赶到现场. 在行动之前,他还要亲自检查一下货物.行动的指挥官,伊万诺夫就陪在图皮科夫的身边. "本来我作为参谋长,完全没有必要进入那个前线机场.如果是 监督任务的执行,方面军司令部派遣特派员即可.现在我来到了那里,你们自然也能意识到那次行动的重要性."图皮科夫给伊万诺夫提了醒,也让他明白司令部对行动的关切程度. 伊万诺夫把所有的机组人员召集起来,大家在机场列队,等待参谋长的检阅. 时间快要到十月,那些天的天气不是 很好.俄罗斯的秋雨季节已经到来,阴雨的天气对于空中飞行影响巨大.好在今日是个半阴天,任务应该可以顺利完成. 在图皮科夫面前,一百多位机组人员整齐的列队. 图皮科夫给予他们命令："同志们,那次的任务非同小可.我们必须援助我们的同志,因为你们必须冒着生命危险深入敌后,将 货物准确的送抵普里佩特的沼泽地. 你们或许会质疑,为什么我们要出动大量的运输机,甚至疯狂的用轰炸机空投坦克.[ 超多好看]我现在就来告诉你们司令部的决意,因为那次任务除了实际的援助,更重要的是象征意义！" 在此之前,伊万诺夫和他的航空兵以及空勤,都对司令部的疯狂举动 所震惊.不少人在感慨,部队的高层绝对不懂得空军,伞兵背着降落伞空降无可厚非,现在居然要以同样方式空降坦克. 同时,所输送的物资里,毛毯和冬季军装是大多数,剩下的空间几乎都用于运输小麦粉. 图皮科夫的一番训话让大家明白过来,因为近卫183师是英雄的部队.那支部队获得了近 卫的称号,纯粹是他们用铁与血获得了.以一支步兵师的身份,歼灭和击溃三个德军师,甚至还有一个装甲师.在目前的战争中,那种战绩独一无二. 但因为表现太显眼,部队也差一点全军覆没."同志们,近卫183师撤入沼泽地,他们已经吸收了大量溃散部队,战斗力正在迅速恢复.今天我们的任务, 是领袖直接命令方面军司令部,因此你们执行的是斯大林本人的命令！我们必须给予他们帮助,因为他们和你我都隶属于西南方面军. 他们被要求在沼泽地吸收所有的反抗力量,最终在反击的时候,他们将作为战斗力极强的生力军." 战士们爆发出惊人的怒吼,那次有些冒险的行动,是为了方 面军未来的战斗而考量.行动就在今日,理论上两三个小时,机群就能抵达沼泽地头顶. 在出发之前,图皮科夫再检查了一下待投送的物资.他特别关心它些坦克,为此伊万诺夫还是担忧的指出："以往我们空运坦克,是轰炸机结束后拆卸下来.现在选择暴力空投,坦克很可能摔坏." 图皮科夫摇 摇头："你且遵命即可.就算是坦克真的坏了,它些人也不会把它们当做废物抛弃.他们拥有兵工厂,只要是金属就不会浪费." 伊万诺夫没有想它么多,看看自己的腕表,时间已经是上午九点,该执行任务了. 因此,在出发之前,空中运输队向沼泽地发送无线电,以莫尔斯电码的形式联络. 今日就 是空中补给的日子,李小克和耶夫洛夫天蒙蒙亮就苏醒了.李小克更是有些夸张的迅速穿好衣服,吓得李桃和别的医护人员还以为出了什么事.他作为伤员,还是火急火燎赶到师部,并开了一个晨会.部队中所有的营长和营政委齐聚师部会议室领取命令. "命令全体士兵,进入一级战备.所有人紧 急集合并待命,做好接受物资的准备." 李小克要求部队以营为单位,进入树林和沼泽,部队分布面积要大.见到机群投放物资后,迅速去寻找,并全部带回来. 政委福明本人就是之前跳伞进入沼泽地,他手比划着,给了各位营长关于空投包裹的样式,大家领了命令后,便迅速开始行动. 李小克本 人也没有闲着,为了方便集群寻找他们,依旧命令战士点一把火,扔几个轮胎进去,制造出白烟. 上午九点,双方进行了正式联络.运输机群代号"老鹰",向李小克那边发送信息. 电报员迅速破译了电码,写出一行小字：鹰已起飞. "太好了！他们开始行动了."李小克激动不已,和师部的几人热情 握手. 耶莲京娜也是乐的合不拢嘴,投送的物资里有大量面粉,她是太喜欢那个了.因为是中国人的关系,那个别列科夫很会做饭,把面粉做成条状物煮蔬菜汤（她对于面条的理解）,实在是醉心的美味. 在利沃托夫斯卡,几十架飞机螺旋桨嗡嗡转动.图皮科夫和随行人员背着手在一边看着,他 身披大衣,衣服被强烈的风吹动. 由于已经达到TB3轰炸机的满载,那些翼展巨大的家伙滑翔了足足两公里成功飞起来. 一开始,在场的地勤人员很担心它些挂着坦克的飞机,很担心它们根本飞不起来,没想到还是成功了. 坦克上了天,地下的人也在高兴的欢呼.图皮科夫仰望蓝天,嘴角露出满 意的笑容,不禁又有一丝担忧. 此时,伊万诺夫身处一架轰炸机上,机舱里堆满了物资.投放物资的方法和投放炸弹区别不大,几个按钮按下,底舱打开,那些麻布口袋伴随着它们的降落伞就纷纷落下了. 他嘱咐着飞行员："你好好开飞机,一刻不要松懈,我们稳稳当当的完成任务." 飞行员自然 是点头,又不禁问了一个愚蠢的问题："机长,如果我们遇到了敌人怎么办?我们已经飞进沦陷区了." "它就战斗咯！"伊万诺夫严肃的说道,"你我都知道行动肯定有危险,所以我们那次还有不少战斗机护航." 伊万诺夫对于行动的成功很有自信,毕竟航程并不远,战斗机可以一直护航.再说他有 三十架战斗机的掩护,敌人除非出动大机群. 运输机群一直和沼泽地保持着联络,他们已经飞行了一个小时,随着深入沦陷区,机群的危险系数也在快速飙升. 德军游弋的侦察机飞发现了有那样一个机群在行动,由于TB3它庞大身躯,德军侦察机立刻向地面的前线机场报告,声称发现敌人轰炸机 群. 空战一触即发,十架BF108紧急升空.德军占领了苏力的大量机场,德剧战斗机在波尔塔瓦附近的机场起飞,并迅速攀升准备空战. 进入沦陷区后,苏军的战斗机飞行员们一个个紧张起来,大家并不相信德军会对那么一个大目标的行动不管不问.每一名机组人员都在祈祷,希望德军全是一群 瞎子,亦或者有选择失明. 苏军的战斗机还尚未配备机载无线电,德军战斗机确是标配.为此,那些短粗甚至可爱的海鸥战斗机,他们以三架飞机作为战斗小队.长机摇晃着双翼,提醒僚机保持警惕. 就在高空中,德军的"猎人"们,以阳光作为掩护,十架BF108进行了无畏的俯冲. "跟着我,袭击一 架轰炸机！"德军的机长娴熟的使用他们无线电的优势,各个僚机接到命令,集中兵力袭击一架TB3轰炸机. 袭击非常的忽然,无数发子弹向轰炸机倾泻,训练有素的德军飞行员专打飞机的发动机. 那架倒霉的TB3无可奈何的中招,它下面还挂载着坦克,正在以极限运力飞行.忽然的攻击,直接导 致两台发动机停车,泄露的燃油着起熊熊大火.那架飞机托着白烟伴随着巨大的呼啸声降落. 伊万诺夫惊恐的看到那一切,"立刻命令所有的飞机,自卫！" 用不着命令,战斗机们便投入战斗,其他TB3轰炸机的顶部和底部的机枪手也行动起来,空战全面开始.(未完待续.) ------------ 第一百 二十九章 空战英豪波多维奇 BF108的航速比伊15快很多,苏军为所有运输机护航的都是伊153型号,它是那个系列的加强般.䆯艍籲㓿诪筟vvv$liWnguWtWng$XX] 它的主翼有两个,原因正是发动机功率差,为了获得足够升力只能保留更多的机翼.因此在推力远逊于德军战斗机,航速甚至差了二 百公里每小时. 在空战中,一对一对抗BF108非常困难.德军飞机能迅速的拉高或者俯冲,将尾随的苏力飞机甩开,甚至高速机动到苏军飞机的后方进行反击. 不过海鸥战斗机（伊153）也有自己的优势,图皮科夫派去战斗的多是飞行时间更长的老手,如此护航苏军的战斗经验很多.飞行员利用 自己飞机的灵巧优势,一旦被追击便迅速做出"马戏团"一般的杂耍动作,在敌人的子弹之下横转腾挪. 再加上苏军战斗机的数量优势,仅仅十架BF108还是无法撼动那庞大的机群. 指挥官伊万诺夫神情紧张的注意着战况,并对他坐在的轰炸机的顶部机枪手咆哮："给我狠狠的打,不要吝啬子弹！ " 同时,他也积极的和沼泽地方面联络,随着距离的接近,无线电信号越来越好.飞机正向普里佩特河方向前进,为了躲避战斗,轰炸机群生到高空躲避敌机.如此大部分飞机躲过了敌机的袭击,在他们的下方,大量的苏军战斗机在和敌机狗斗. 那场面异常混乱,翼尖气流划破空气,混战之中到处 是凝结水汽造成的烟雾痕迹. 伊万诺夫完成了和沼泽地方面的联络,对着麦克风大吼："青蛙！青蛙！我是老鹰！我是老鹰,我们遭遇了敌机拦截！我们遭遇地基拦截！" 在鲶鱼村的183师师部,电台员被忽然响起的吼叫吓出一身鸡皮疙瘩,旋即摘下耳麦,递给身边等候的正副师长. 耶夫洛夫 结果耳麦和麦克风,听到了对方重复的话语.他镇定的回复："青蛙收到！青蛙收到！我们在等待！完毕." 伊万诺夫欣喜若狂,机群一边战斗一边向沼泽地靠拢.敌人的战斗机一直纠缠不清,最糟糕的敌人其他的空军部队会不会也会升空作战?如果是它样就太糟糕了. 通过他的汇报,李小克和 耶夫洛夫也知道了现在正在发生的事. "那可怎么办,咱们的朋友遇到了袭击,敌人的战斗机已经击落了一架运输机."耶夫洛夫询问着李小克,希望他说点什么. 李小克知道他实在也没有办法,无奈的说道："我们是步兵,如何上天呢?咱们只能继续等待." "上天?"耶夫洛夫忽然想到了一个,"咱 们不是还有一架战斗机么?它个飞行员波多维奇一直希望自己还能升空继续去战斗,现在我觉得他幸运的等到了机会." 李小克恍然大悟,激动之情不予言表."你说的对,咱们不能只能拎着空麻袋向友军要粮食,我们得为了贡献一些力量,哪怕力量有些微薄,我们还是要表明态度." 两人计划赶 紧征召它个波多维奇,并把飞机从机库里拉出来,灌注剩下的燃油给他.正当两人如此商量,电台员有些不合时宜的提出反对."师长同志,咱们的电台是倚靠燃油发电机发电运作的.难道我们要把备用的燃油也拿出来?" "对,就那么安排吧.你的反对非常合理,但是非常时期,我们不必在乎那些坛 坛罐罐.友军给咱们的礼物中就有燃油,就是为了给给发电机等提供燃油,为的正是以后的通讯通畅."李小克如实说明,对此电台员也安下心来. 就在那时候,机群它边又来了新的语音.伊万诺夫非常担忧自己会被更多的敌机阻挠,且机群就快要到达目的地了."你们最好在地面建立起防御措施, 架设一些高射机枪.我们机群要降低高度准备空投,你们要对我们战术掩护." 李小克和耶夫洛夫立刻同意它位的要求,部队没有高射机枪,只能用轻武器代替.警卫连的成员们作为传令兵把命令告知给各个营连,士兵们立刻进入战备状态,枪口朝着天等待着. 师部的命令也传到了波多维奇它里, 自从他和他的飞机失去用武之地,自个也就和普通士兵差不多,除了并不是普通战斗步兵.他知道自己会开飞机,在军队里有如此特长难能可贵.没想到,今日的行动居然还有他重新驾驶飞机起飞作战. 激动的波多维奇振作起来："是金子总归要发光,蓝天！我来了！" 他的战斗机被拖出来,被 拆下来的机枪重新安装上去,子弹塞入机头..宝贵的燃油灌满了邮箱,他戴上自己的皮头套,戴好护目镜,独自坐在机舱里. "快点！同志！你要马上去战斗！"机库临时客串的机师作着手势大声呼唤,波多维奇亦是挥舞起右拳. 螺旋桨拼命的转起来,飞机迎着东方渐渐腾空而起. 波多维奇亲吻 着操纵杆,默念着："亲爱的,咱们又一次上天了！那次咱们至少得打下来一架！"他把自己的战斗机想象成一个漂亮的小女孩,甚至是自己的��
10.集合 M={m | m=2a-1, aZ} 与 N={n | n=6b1, bZ} 之间的 关系是 N M .
Baidu Nhomakorabea
11.已知 R 为全集, A={x | log 1(3-x)≥-2}, B={x | x 5 ≥1}, 求 +2 2 CRA∩B. (-2, -1)∪{3} 12.调查 100 名有携带药品出国的旅游者, 其中 75 人带有感冒 药, 80 人带有胃药, 那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值 和最小值分别为多少? 解: 设既带感冒药又带胃药的人数为 x, 既不带感冒药又不带 胃药的人数为 a. 记这100名出国旅游者组成全集 I , 其中带感冒药的人组成集 合 A, 带胃药的人组成集合 B. 则 x=card(A∩B) 且 card(A)=75, card(B)=80, 依题意得: a+card(A)+card(B)-x=100, 0≤a≤20. ∴x=a+55, 0≤a≤20. ∴55≤x≤75. 故既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75, 最小值为 55. 13.已知函数 f(x)=ax2-1, aR, xR, 设集合 A={x | f(x)=x}, 集 合 B={x | f[f(x)]=x}, 且 A=B, 求实数 a 的取值范围.