高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用

函数 f x 在 x x0处可导的充要条件是 f x 在 x x0 处左、右导数
存在且相等.
现在，我们可回答函数 y | x | 在 x 0 处不可导的原因: f0 f0
27
四、左、右导数
第三章 一元函数微分学及其应用
例10
已知
f
x
sin
x
x
x0
x 0 ，求 f0, f0 及 f 0 .
9
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
定义
设函数 y f x 在 x0 的某个邻域内有定义，当 x 在 x0 处增量为 x （ x0 x 在该邻域内）时，相应地， 函数有增量 y f x0 x f x0 .
如果
lim y lim f x0 x f x0 lim f (x) f (x0)
例6 求 f x x2 的导数.
解 x2 lim x+x2 x lim x 2x 2x
x0
x
x0
一般地，当 x 0 ， y x 有定义时，
x lim x x x x1
x0
x
当 x 0 时, y x 有定义时也有上式成立.
例如，取 1 ，则有 2
x
8
一、 割线与切线
练习
第三章 一元函数微分学及其应用
1.求单位圆 x2 y2 1上过点 (1, 0) 的切线方程. 2. 求抛物线 y x2 上过点 (1,1) 和 (2, 4) 的割线方程. 3.求抛物线 y x2 上过点 (1,1) 的切线方程.
4.求函数 y ex 在点 x 1处的切线斜率.
30
五、切线与法线方程
第三章 一元函数微分学及其应用
例11
求曲线
y1 x
在点
1 2
,
2
处的切线斜率，并写出切线及法线方程.
解
y
1 x
1 x2
，
曲线
y
1 x
在点
1 2
,
2
处的切线斜率为
k y x1 4 2
31
五、切线与法线方程
第三章 一元函数微分学及其应用
例11
求曲线
y
1 x
在点
则割线 MN 的斜率为
tan y y0 f (x) f (x0 )
x x0
x x0
导数的几何意义
y
C
O
y f x
N Δy
M
Δx
x0
xx
图 3-6
6
一、 割线与切线
第三章 一元函数微分学及其应用
当 N M， 即 x→x0 时， 如果割线趋于一极限位置，我们就把此极限
位置上的直线MT 称为曲线在M点处的切线.
第三章 一元函数微分学及其应用
函数 f x 在点 x0处的导数在几何上表示曲线 y f x 在点 M x0, f x0
处切线的斜率
k tan f x0
相应地，切线方程为 y f x0 f x0 x x0
法线方程为
y
f
x0
f
1
x0
x
x0
f x0 0
法线即为过切点 M x0, f x0 且与切线垂直的直线.
y
y | x |
由此可知，函数 y | x | 在 x=0 处不可导.
O
x
图 2-8
13
二、 导数的定义
练习
1.求函数 y 2x 在 (1, 2) 的导数.
第三章 一元函数微分学及其应用
2.求函数 y x2 在点 x 1处的导数.
3. 已知函数 y | sin x |, 讨论函数在点 x 0 处的导数.
x x x0
x0
x x x0
x0
所以就像左、右连续的概念一样，我们需引入左、右导数的概念.
25
四、左、右导数
第三章 一元函数微分学及其应用
若
lim y lim f x0 x f x0 lim f x f x0
x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称其为函数 f x 在 x0 处的右导数，记作 f x0 ；
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高等数学
第三章 一元函数微分学及其应用
第三章
一元函数微分学及其应用
1
第三章
第三章 一元函数微分学及其应用
内容导航
第一节 导数的概念及基本求导公式 第二节 导数的计算法则 第三节 微分的概念与应用 第四节 洛必达法则
第五节 函数的性态与图形
2
课前导读
我们首先来看几个函数的图像.
1 2
,
2
处的切线斜率，并写出切线及法线方程.
因此，切线方程为
y
2
4
x
1 2
，即
4x y 4 0 ；
法线方程为
y2
1 4
x
1 2
，即
2x 8y 15 0
.
32
五、切线与法线方程
练习
第三章 一元函数微分学及其应用
已知
f
x
1, x,
x x
0, 0,
求
f 0 ,
f 0
及
f
0
.
33
六、函数的可导性与连续性的关系
例1 求函数 y ln x 在点 x e 处的切线斜率.
解
k lim f (x) f (x0 ) = lim ln x ln e
x x0
x x0
xe x e
ln x = lim e
xe x e
lim
ln 1
xe e
xe
xe
所以
xe lim e 1
xe x e e
第三章 一元函数微分学及其应用
3
课前导读
那么究竟是什么原因会使图形有这样的差别呢? 这就是这一章要研
究的内容. 前面两个函数在 x x0 处“导数”不存在，即不可导， 而第三个函数在 x x0 处是“可导”的.
4
一、 割线与切线
在中学数学中， 圆的切线可以定义为 “与圆只有一个交点的直线” （见图3-4）.
y
y x2
第三章 一元函数微分学及其应用 y
特别地，如果 lim x0
y x
时，也称函数
y
f
x 在点
x0
处的导数为无穷大.
11
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
例2 求函数 y x2 , 在点 x 0处（见图2-7）的导数，
解 lim y = lim 0+x2 0 lim x 0 ，极限存在.
x x0
x0
x
x0
y
y x2
22
三、简单函数的求导
第三章 一元函数微分学及其应用
例8 求 f x ax a 0,a 1 的导数.
解 ax lim axx ax ax lim ax 1 ax ln a
x0 x
x0 x
特别地，当a = e 时， ex =ex ln e ex，即以 e 为底的指数函数的导数就是它本身.
x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称该极限为 y f x 在点 x0 处的导数，记为
dy
df (x)
f x0 ， y xx0 ， dx xx0 或
dx xx0
10
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
这时也称函数 y f x 在点 x0 处可导.
如果该极限不存在，称函数 y f x 在点 x0处不可导 .
第三章 一元函数微分学及其应用
2.求导数：
x5
x2
1 x3
18
三、简单函数的求导
第三章 一元函数微分学及其应用
下面根据导数的定义求一些简单函数的导数.
例5 求 f x C ( C 为常数)的导数.
解
C lim C C 0
x0 x
19
三、简单函数的求导
第三章 一元函数微分学及其应用
若
lim y lim f x0 x f x0 lim f x f x0
x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称其为函数 f x 在 x0 处的左导数，记作 f x0 .
26
四、左、右导数
第三章 一元函数微分学及其应用
因此， 如同左、右连续概念中的充要条件一样，我们有下列结论：
x2+y2=1
O
x
图 3-4
O
x 1
图 3-5
但对于一般曲线， 这样定义是不合适的。例如，
x 直线 x 1与抛物线 y x2 只有一个交点（见图3-
5）， 但显然不是实际意义下的切线. 下面我们用极限的思想给出一般曲线的切线的定义.
5
一、 割线与切线
第三章 一元函数微分学及其应用
设曲线 C : y f x ，x I，在曲线 C上取点 M x0, y0 及点 N x, y ， 连接 MN， 则 MN 为过点 M 的割线， 割线的倾角为 （见图3-6）.
下面我们来看 y | x | 点 x 0 处的导数.
lim f (x) f (0) lim | x | | 0 | lim | x |
x0 x 0
x0 x 0
x0 x
我们发现这个极限不存在， 但是它的左极限
第三章 一元函数微分学及其应用
lim | x | lim x 1 和右极限 lim | x | lim x 1 都是存在的.
第三章 一元函数微分学及其应用
解 当 x 由1 变到 1 x 时，函数相应的增量为
y (1 x)3 13 3 x 3 (x)2 (x)3 y 3 3x (x)2 , x
所以
f (1) lim y lim (3 3x (x)2 ) 3
x x0
x0
17
二、 导数的定义
练习
1. 已知函数 f (x) x3 ,求 f (1)'.
1 2x
； 取 1
，则有
1 x
1 x2
.
20
三、简单函数的求导
练习
1. 写出三角函数的两角和与差 的正弦和余弦公式：
sin x y
第三章 一元函数微分学及其应用
2. 写出三角函数的和差化积公式：
sin x sin y
sin x y
cos x cos y
cos x y
y
此刻切线的斜率即为 k lim y y0 lim f (x) f (x0 )
x x xx0
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x x0
x x0
y f x
N Δy T
从上面的例子可以看出， 在求切线斜率的过
程中， 需要用到极限
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
M C
α
Δx
O
x0
xx
7
二、导数的定义
y
y
y
O
x0
x
O x0
x
O
x0
x
图 3-1
图 3-2
图 3-3
大家会发现，在 x x0 处它们都是连续的， 但是前两个函数的图 和后一个函数的图像相比，x x0 处有“角点”或“尖点”出现（见
图3-1、图3-2），破坏了图形的美感和润滑度，而第三个函数相对来说
x x0 处比较“光滑”（见图3-3） .
14
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
导数是一种特殊的极限，是概括了各种各样的变化率概念而得出的一个
y
更一般性、也更抽象的概念. dy
x 是函数
化率， 而导数 dx xx0 则反映函数 y f
y
x
f x
在点
在 x0, x0 x 上的平均变
x0 处的瞬时变化率， 它实
际反映函数随自变量变化而变化的“快慢程度”.
15
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
如果 y f x 在 a,b 内的每一点处均可导，则称 y f x 在 a,b
内可导. 这时 a,b 内的每一点都对应一个导数值，由函数的定义就可以得到一
个新函数，则称这个函数为原来函数的导函数，简称为导数，记作 f x， y，
dy 或 df (x) ，即有 dx dx
f x lim y lim f x x f x
x x0
x0
x
显然，函数 y f x 在 x0 处的导数，就是导函数 f x 在 x0 处的函数值 f x0 f x xx0
16
二、导数的定义
例4 求函数 y x3 在 x 1处的导数 f (1) .
第三章 一元函数微分学及其应用
解
f
0
lim
x0
f (x) x
f (0) lim x0
x 1, x
f
0
lim
x0
f (x) x
f (0)
sin x lim
x x0
1,
故 f '0 1 .
28
四、左、右导数
练习
第三章 一元函数微分学及其应用
已知
f
x
1, x,
x x
0, 0,
求
f 0 ,
f 0
及
f
0
.
29
五、切线与法线方程
故 y x2
在 x=0处导数为零，即
dy dx
x x0
0.
O
x
图 3-7
12
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
例3 求函数 y | x |,在点 x 0 处（见图2-8）的导数.
解
lim y = lim |0+x| | 0 | lim |x| ，极限不存在.
x x0
x0
x
x0 x
23
三、简单函数的求导
第三章 一元函数微分学及其应用
例9 求 f x loga xa 0,a 1 的导数.
解
loga
x
lim loga x x loga
x0
x
x
lim loga 1
x0
x
x x
x lim x
x0 x ln a
1 x ln a
特别地， ln x 1
x
24
四、左、右导数
cos x y
21
三、简单函数的求导
第三章 一元函数微分学及其应用
例7 求 f x sin x 的导数.
解
sin x lim sin x x sin x
x0
x
lim
2
cos
x
x 2
sin
x 2
x0
x
lim
x0
cos
x
x 2
sin x 2
x
cos x
2
同理 cos x sin x