位移法位移法(精)

2i
4i
24
4i
MP
M1
2i 16
M Z1M1 M P
12kN/m 12kN/m 12kN/m 12kN/m
24
24
EEI I
M反对称 EI
EEII
M反对称
72
72
8
8
EI EI
4
4
ME对I称 M对EI称
20
20
16
32
4 M图
(kN.m)
48
92
52
有这样一种刚架，对其左部，用力法较位移法的未知
反对称
对称
24
24
EI
EI
EI
12kN/m 12kN/m 12kN/m
EI
2EI
EI
M反对称
EI
EI
等代结构
72
X 0
11 1
1P
72 4
11

1 EI
43

3

43



256 3EI
4
M1
MP
1P


96 4 3EI
4


512 EI
4
X1
1P
11
6
r22 EI 2 EI 2 EI
系数δ12为单位位移 Z2 1 所引起的
EI
位移，其性质与由支座转动而引起的
位移相当。故可利用第八章的位移公
M2
式 k Rc 计算，即
12 R1c (8 1) 8
Z2 1
0.5EI 0.5EI
0.25EI
系数r21为单位力 X1 1 所引起的反力矩，可由 M1 图根据结点平衡
量为少（力法只一个未知量，而位移法则有六个未知量）
；对其右部，则用位移法较力法的未知量为少（位移法只
一个未知量，而力法则有三个未知量）。因此，在此结构
上，可同时发挥位移法和力法的长处以简化计算，即对左
部和右部分分别应用赘
6m 3m 4m
余力和结点位移作基本 未知量，而将力法和位 移法混合起来应用于同
q
EI=C
一个结构。这种计算方 法称为混合法。
4m 4m
8m
以此刚架为例说明混合法基本要点。首先取基本机构。左部
通过去掉赘余联系变成静定结构，右部通过增添附加约束得到单跨
超静定梁组合体。无论左部、右部，它们在各种外因作用下，其内
力都是可定的，故可用这样的基本结构作为计算原结构的基础。
为了使基本结构能转化为原结构，应使基本结构的受力和变形
各系数计算结果如下
4
4
q 8 Z2
8
M1
X1
基本结构
11

1 EI
[( 1 2

4 5)( 2 3

4)

(1 2
5
4)( 2 3

4

1 3
8)
1
21
1024
( 8 5)( 8 4) 8 2 8]
2
33
3EI
由 M 2 图根据结点平衡条件求得 13
都与原结构相同。为此，在去掉赘余
6m 3m 4m
联系处加上相应的赘余力X1；在转角 受控制的结点上，使其发生与原结构
相同的角位移Z2。在去掉赘余联系处 位移Δ1=0，在附加刚臂上反力矩R2=0 ；此时，基本结构受力和变形状态便
与原结构完全一样。按叠加原理，即
qq Z2
EI=C
X41m 4m 基本结8m构
3
16
8X1 2 EIZ2 3 q 0
求解典型方程得
X1


2q 27
,
Z2

256q 81EI
然后按下式 叠加，即得最后弯矩图。
M X1M1 Z2M2 M P
4
4
8
8
X1
M1 2q
X1 27 ,
8q 27
16q 304q 27 256q 81 81
496q 81
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称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对
称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的。在位移法中，同样可
以利用这一结论简化计算。
例如：
Z1
Z1
Z2
Z
2
Z3
P
= P/2
+ P/2
P/2
P/2
Z1 P/2
Z2
Z3 P/2
§8—7 位移法与力法的联合应用
位移法：4 个基本未知量 力 法：2 个多余未知力
第八章 位 移 法
§8—1 概述 §8—2 等截面直杆的转角位移方程 §8—3 位移法的基本未知量和基本结构 §8—4 位移法典型方程及计算步骤 §8—5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 §8—6 对称性的利用 §8—7 位移法与力法的联合应用
§8—6 对称性的利用
在第八章用力法计算超静定结构时，曾得到一个重要结论：对
可建立混合法典型方程
△1 = 11X1 + 12Z2 + △1P = 0
R2 = r21X1 + r22Z2 + R2P = 0 式中系数根据其性质可分为四类：
（1）由于单位力引起的位移 11 （2）由于单位位移引起的反力矩 r22 （3）由于单位力引起的反力矩 r21 （4）由于单位位移引起的位移 12
条件求得 r21 8
它也可以根据反力与位移互等定理 r21 12 求得
关于自由项Δ1P和R2P，可分别用力法和位移法中所讲方法进行
计算。 1P 0
16q R2P 3
将上述求得系数和自由项后，
16q
3
q
8q
代入典型方程中，得
MP
1024 3EI X1 8Z2 0,
M
128q
81
EI
M2 256q Z2 81EI
MP
Z2 1
0.5EI 0.5EI
0.25EI
16q 3
8q
请看： 第九章 渐进法
P
P/2
P/2 P/2
P/2
=
+
位移法、力法：都是6个基本未知量，利用荷载分组
P/2
P/2
P/2
P/2
P/2
P/2
位移法：2个基本未知量 位移法：4个基本未知量 力 法：4个多余未知力 力 法：2个多余未知力
24kN/m
4m
例8-7 作图示刚 架M图。
EI EI
EI
2EI
EI
4m
4m
12kN/m 12kN/m 12kN/m 12kN/m
M X1M1 M P
96 X1=1
8
EI 4
EI
EI M对称 2EI
8 EI
Z1
EI
EI 等代结构
12kN/m 12kN/m 12kN/m
20
r11Z1 R1P 0
R1P

ql 2 12
16
r11 4i 4i 8i
Z1
R1P r11
2 i
20 16
Z1=1