第2章 信号分析
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样本函数 xs (t ) 随机变量
i
随机过程是样本 和时间的双重随 机函数。 (t ) x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )
11
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
随机信号的特点及定义
特点---孤立时刻的取值为RV。 定义：
① 依赖于t 的RV的总体 ② 样本空间的全体样本函数
Gauss
非周期功率信号的频域特性 取截短函数 s (t )
T
1 E sT (t )dt 2
E 1 P lim lim T T T 2
ST ( ) d
2
2
ST ( ) T
T
d
2
功率谱密度：
1 P 2
7
P( )
Gauss
•互协方差函数: B ζη(t1,t2) = E{[ζ(t1)-a ζ(t1)] ·[η(t2)-a η(t2)]}
= Rζη(t1,t2)- a ζ(t1) a η(t2)
《现代通信原理》
15
物理与电子工程学院：张子锐
练习
Gauss
习题2-7（书P.49）
16
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
连续RV
统计特性 概率分布与概率密度函数
数字特征---均值、方差、协方差、相关系数……
9
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
Gauss
二.
随机过程的一般 表述
10
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
随机过程的基本概念
Gauss
不能用一个或几个时间的确定函数来表达 的过程叫做随机过程。
Gauss
三. 平稳随机过程
17
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
1. 定义与特点
• 严平稳RP(狭义平稳)
Gauss
----任何n维分布或概密函数与时间起点无关。
f n ( x1 , x 2 , x n , t1 , t 2 ,t n ) f n ( x1 , x 2 , x n , t1 , t 2 ,t n )
S ( )e jt d ]dt
S ( ) d
2
能量谱密度：
E ( ) S ( )
1 E 2
2
单位为J/Hz
E ( )d E ( f )df
物理与电子工程学院：张子锐
6
《现代通信原理》
（II）非周期性确知信号的频域性质
1、 确知信号分析方法
Gauss
时、频域分析
时域分析 频域分析、
…
沟通时、频域的数学工具（桥梁）
周期信号---?…
非周期信号---？
3
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
（I）周期性确知信号的频域性质
Gauss
功率信号的频域特性
s(t ) a0 an cos n0t bn sin n0t
（b）若X1＜X2
则F(X1)≤F(X2)
（c）F(X+0)=F(X) （d）P(a＜ξ ≤b) = F(b)-F(a)
13
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
2．数字特征
1) 数学期望
①定义
Gauss
E[ (t1 )] ②性质
xf ( x , t
1
1
) dx a (t1 ) 记作a(t)
ST ( )
单位为W/Hz
P( )d P( f )df
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
（II）确知信号的时域性质
自相关与互相关
1 R( ) s(t ) s (t ) lim T 2T
T T
Gauss
s(t )s(t )dt
维纳—辛钦关系
（a）E（C）= C （b）E（Cx）= CE（x） （c）E（X+Y）= E（X）+ E（Y） （d）E（XY）= E（X）E（Y）
2)方差
D[ (t1 )] E{ (D[) )] (t )]} E[ (（t21） t1 (t E[ E{1 (t ) 2 t2 ，记作 2 (t ) )]}
• 任何n维分布服从正态分布的RP称~(正态RP)
•特点:
任意时刻所得RV为G.RV
•
性质:
• 广义平稳
狭义平稳
统计独立
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
• 互不相关
25
Gauss
2
G.RP的一维分布
26
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
(1) 一维概密函数及特点
①一维概密函数
P (f(x)= x) 1 2
n 1 n 1
1 a0 s (t ) s(t )dt T T / 2
2 an 2 s(t ) cos n0t /2 s(t ) cos n0tdt T T
2 bn 2 s (t ) sin n0t s(t ) sin n0tdt T T /2
G( f ) R( )
R( )e j d
G( f )e j df
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
8
2、 随机信号分析方法
随机过程 ---依赖于某参数的随机变量的总体
Gauss
随机信号---依赖于时间参数t的总体
随机变量（Random Variable） 概念? 分类： 离散RV
《现代通信原理》
T
21
物理与电子工程学院：张子锐
例题
Gauss
例：平稳随机过程 (t ) 的自相关函数为：
R ( ) 2e
3
试求：（1） (t ) 的功率谱密度 P ( )； （2） (t ) 的平均功率S和直流功率S0； （3） (t ) 的方差 2 。
（2）性质
(a )) limlim((F)x00lim; FFx) x,)0 1 ((F)1 )1 1 ( a ( a ) F xx ( ); lim ( (F) 1, F F ) x ( lim F ) ; 0 lim x ( 1 0 ,0 x x
xx x x x x
④ 均值平方为直流功率
R 证明： () lim R( ) lim E[ (t ) (t )]
E[ (t )] E[ (t )] E 2 [ (t )]
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
20
⑤ RP的交流功率( = 平均功率-直流功率)
Gauss
通信中的RP分类
噪声
随机信号---具有随机性的信号
统计特性
∵RV RP ∴欲大致了解它们，须知其统计规律性
12
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
1. 分布与概密函数
（1）定义
Gauss
RV：ξ的取值不超过实数X的概率: P（ξ≤X） ξ的概率分布函数 F（X）= P(ξ≤X）（-∞＜X＜∞）
误差函数：erf ( x ) 误差函数：erf ( x ) 2 2
Gauss
第 二 章
信号分析
1
《现代通信原理》
一、
◆确知信号和随机信号
引言
Gaussቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
确知信号？ 随机信号？
◆能量信号和功率信号
能量信号的能量有限， 但平均功率为0。 功率信号的平均功率有 限，但能量为无穷大。
I 2R V 2 I 2
信号的功率：
P V
2
R
T 信号的能量： E P
时平均 的定义?
x(t)
延迟τ
×
1/T∫
R(τ)
x( t－τ)
19
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
3.
平稳RP的性质
Gauss
① （t）的平均功率
R(0) E[ 2 (t )] s， (t )的平均功率
② R(τ)=R(-τ)
为偶函数
③ | R(τ)|≤ R(0) () E 2 [ (t )]， (t )的直流功率 R
; E s 2 (t )dt
能量信号：满足
P lim
0 E s 2 (t )dt
平均功率： 故能量信号的P=0。 功率信号：P≠0的信号，即持续时间无穷的信号。
2
1 T /2 2 s (t )dt T T T /2
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
R(0) - R( ) 2
----等于方差
Gauss
⑥ RP的频谱特性
∵一般功率信号的功谱密度： | FT ( ) | 2 Ps ( ) lim T T ∴平稳RP的功谱密度： E[| FT ( ) | 2 ] P ( ) E[ Ps ( )] lim
T ---与其自相关函数互为傅立叶变换对关系
T /2
T /2
T /2
4
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
（I）周期性确知信号的频域性质
Gauss
傅里叶级数的指数形式
s (t ) a0 an cos n0t bn sin n0t
n 1 n 1 1 jn0t 1 jn0t a0 an (e e ) bn j (e jn0t e jn0t ) 2 2 n 1 n 1 1 1 jn0t a0 (an jbn )e (a n jb n )e jn0t n 1 2 n 1 2
• 宽平稳RP(广义平稳)
----均值为常数，自相关函数为τ的函数
即：a(t)= a；σ2(t)= c；R(t,t+τ)= R(τ)
《现代通信原理》
18
物理与电子工程学院：张子锐
2. 遍历RP
Gauss
数学期望：a a 数学期望 数学期望：a a a 数学期望： 方差： 2 方差： 2 22 2 2 方差 方差： 自相关：R ( )R () ( )R () 自相关： 自相关函数 R ( ) 自相关： R R ( )
( xa )2 2 2
Gauss
e
, x
1 2
f（x）
a 为均值 2 为方差
0
a
a
x
27
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
(2)一维分布的其它表述法
①用概率积分函数（x）表F（x）
( x)
F ( x)
F ( x)
变量代换 Gauss
1 2
x
e
x
z2 2
dz
f ( z ) dz
1 2
xa
e
x
( z a )2 2
2
dz
z
F ( x) ( F(x)
28
xa
代入 (x)
《现代通信原理》
)
物理与电子工程学院：张子锐
②用误差和互补误差函数表F（x）
0 0 2 互补误差函数：erfc ( x ) 1 erf ( x)
22
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
例题
设一随机过程的功率 谱密度 P( f )如图所示， 试求其自相关函数R( ) 。
Gauss
23
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
Gauss
四
G.RP分析
24
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
1
•
概念与特点
Gauss
概念(定义):
jx jx 欧拉公式： sin x 2 j (e e )
1
cos x
1 jx jx (e e ) 2
n
cn e jn0t
信号功率：
1 2 2 P s 2 (t ) a0 (a12 a2 b12 b22 ) 2 1 2 2 2 a0 (an bn ) 2 n 1
14
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
3) 相关函数
•自相关函数: R(t1 , t 2 ) E[ (t1 ) (t 2 )] •协方差函数: B(t1,t2) = E{[ζ(t1)-a(t1)] ·[ζ(t2)-a(t2)]} •互相关函数: Rζη(t1,t2) = E[ζ(t1) · η(t2)]
c0 a0 1 2 (an jbn ) cn 1 (a jb ) n 2 n
当n>0 当n<0
5
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
（I）周期性确知信号的频域性质
Gauss
能量信号的频率特性 帕什瓦尔定理得：
1 2 E s (t )dt s(t )[ 2 1 2
i
随机过程是样本 和时间的双重随 机函数。 (t ) x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )
11
《现代通信原理》
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随机信号的特点及定义
特点---孤立时刻的取值为RV。 定义：
① 依赖于t 的RV的总体 ② 样本空间的全体样本函数
Gauss
非周期功率信号的频域特性 取截短函数 s (t )
T
1 E sT (t )dt 2
E 1 P lim lim T T T 2
ST ( ) d
2
2
ST ( ) T
T
d
2
功率谱密度：
1 P 2
7
P( )
Gauss
•互协方差函数: B ζη(t1,t2) = E{[ζ(t1)-a ζ(t1)] ·[η(t2)-a η(t2)]}
= Rζη(t1,t2)- a ζ(t1) a η(t2)
《现代通信原理》
15
物理与电子工程学院：张子锐
练习
Gauss
习题2-7（书P.49）
16
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
连续RV
统计特性 概率分布与概率密度函数
数字特征---均值、方差、协方差、相关系数……
9
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
Gauss
二.
随机过程的一般 表述
10
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
随机过程的基本概念
Gauss
不能用一个或几个时间的确定函数来表达 的过程叫做随机过程。
Gauss
三. 平稳随机过程
17
《现代通信原理》
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1. 定义与特点
• 严平稳RP(狭义平稳)
Gauss
----任何n维分布或概密函数与时间起点无关。
f n ( x1 , x 2 , x n , t1 , t 2 ,t n ) f n ( x1 , x 2 , x n , t1 , t 2 ,t n )
S ( )e jt d ]dt
S ( ) d
2
能量谱密度：
E ( ) S ( )
1 E 2
2
单位为J/Hz
E ( )d E ( f )df
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6
《现代通信原理》
（II）非周期性确知信号的频域性质
1、 确知信号分析方法
Gauss
时、频域分析
时域分析 频域分析、
…
沟通时、频域的数学工具（桥梁）
周期信号---?…
非周期信号---？
3
《现代通信原理》
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（I）周期性确知信号的频域性质
Gauss
功率信号的频域特性
s(t ) a0 an cos n0t bn sin n0t
（b）若X1＜X2
则F(X1)≤F(X2)
（c）F(X+0)=F(X) （d）P(a＜ξ ≤b) = F(b)-F(a)
13
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2．数字特征
1) 数学期望
①定义
Gauss
E[ (t1 )] ②性质
xf ( x , t
1
1
) dx a (t1 ) 记作a(t)
ST ( )
单位为W/Hz
P( )d P( f )df
《现代通信原理》
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（II）确知信号的时域性质
自相关与互相关
1 R( ) s(t ) s (t ) lim T 2T
T T
Gauss
s(t )s(t )dt
维纳—辛钦关系
（a）E（C）= C （b）E（Cx）= CE（x） （c）E（X+Y）= E（X）+ E（Y） （d）E（XY）= E（X）E（Y）
2)方差
D[ (t1 )] E{ (D[) )] (t )]} E[ (（t21） t1 (t E[ E{1 (t ) 2 t2 ，记作 2 (t ) )]}
• 任何n维分布服从正态分布的RP称~(正态RP)
•特点:
任意时刻所得RV为G.RV
•
性质:
• 广义平稳
狭义平稳
统计独立
《现代通信原理》
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• 互不相关
25
Gauss
2
G.RP的一维分布
26
《现代通信原理》
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(1) 一维概密函数及特点
①一维概密函数
P (f(x)= x) 1 2
n 1 n 1
1 a0 s (t ) s(t )dt T T / 2
2 an 2 s(t ) cos n0t /2 s(t ) cos n0tdt T T
2 bn 2 s (t ) sin n0t s(t ) sin n0tdt T T /2
G( f ) R( )
R( )e j d
G( f )e j df
《现代通信原理》
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8
2、 随机信号分析方法
随机过程 ---依赖于某参数的随机变量的总体
Gauss
随机信号---依赖于时间参数t的总体
随机变量（Random Variable） 概念? 分类： 离散RV
《现代通信原理》
T
21
物理与电子工程学院：张子锐
例题
Gauss
例：平稳随机过程 (t ) 的自相关函数为：
R ( ) 2e
3
试求：（1） (t ) 的功率谱密度 P ( )； （2） (t ) 的平均功率S和直流功率S0； （3） (t ) 的方差 2 。
（2）性质
(a )) limlim((F)x00lim; FFx) x,)0 1 ((F)1 )1 1 ( a ( a ) F xx ( ); lim ( (F) 1, F F ) x ( lim F ) ; 0 lim x ( 1 0 ,0 x x
xx x x x x
④ 均值平方为直流功率
R 证明： () lim R( ) lim E[ (t ) (t )]
E[ (t )] E[ (t )] E 2 [ (t )]
《现代通信原理》
物理与电子工程学院：张子锐
20
⑤ RP的交流功率( = 平均功率-直流功率)
Gauss
通信中的RP分类
噪声
随机信号---具有随机性的信号
统计特性
∵RV RP ∴欲大致了解它们，须知其统计规律性
12
《现代通信原理》
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1. 分布与概密函数
（1）定义
Gauss
RV：ξ的取值不超过实数X的概率: P（ξ≤X） ξ的概率分布函数 F（X）= P(ξ≤X）（-∞＜X＜∞）
误差函数：erf ( x ) 误差函数：erf ( x ) 2 2
Gauss
第 二 章
信号分析
1
《现代通信原理》
一、
◆确知信号和随机信号
引言
Gaussቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
确知信号？ 随机信号？
◆能量信号和功率信号
能量信号的能量有限， 但平均功率为0。 功率信号的平均功率有 限，但能量为无穷大。
I 2R V 2 I 2
信号的功率：
P V
2
R
T 信号的能量： E P
时平均 的定义?
x(t)
延迟τ
×
1/T∫
R(τ)
x( t－τ)
19
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3.
平稳RP的性质
Gauss
① （t）的平均功率
R(0) E[ 2 (t )] s， (t )的平均功率
② R(τ)=R(-τ)
为偶函数
③ | R(τ)|≤ R(0) () E 2 [ (t )]， (t )的直流功率 R
; E s 2 (t )dt
能量信号：满足
P lim
0 E s 2 (t )dt
平均功率： 故能量信号的P=0。 功率信号：P≠0的信号，即持续时间无穷的信号。
2
1 T /2 2 s (t )dt T T T /2
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R(0) - R( ) 2
----等于方差
Gauss
⑥ RP的频谱特性
∵一般功率信号的功谱密度： | FT ( ) | 2 Ps ( ) lim T T ∴平稳RP的功谱密度： E[| FT ( ) | 2 ] P ( ) E[ Ps ( )] lim
T ---与其自相关函数互为傅立叶变换对关系
T /2
T /2
T /2
4
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（I）周期性确知信号的频域性质
Gauss
傅里叶级数的指数形式
s (t ) a0 an cos n0t bn sin n0t
n 1 n 1 1 jn0t 1 jn0t a0 an (e e ) bn j (e jn0t e jn0t ) 2 2 n 1 n 1 1 1 jn0t a0 (an jbn )e (a n jb n )e jn0t n 1 2 n 1 2
• 宽平稳RP(广义平稳)
----均值为常数，自相关函数为τ的函数
即：a(t)= a；σ2(t)= c；R(t,t+τ)= R(τ)
《现代通信原理》
18
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2. 遍历RP
Gauss
数学期望：a a 数学期望 数学期望：a a a 数学期望： 方差： 2 方差： 2 22 2 2 方差 方差： 自相关：R ( )R () ( )R () 自相关： 自相关函数 R ( ) 自相关： R R ( )
( xa )2 2 2
Gauss
e
, x
1 2
f（x）
a 为均值 2 为方差
0
a
a
x
27
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(2)一维分布的其它表述法
①用概率积分函数（x）表F（x）
( x)
F ( x)
F ( x)
变量代换 Gauss
1 2
x
e
x
z2 2
dz
f ( z ) dz
1 2
xa
e
x
( z a )2 2
2
dz
z
F ( x) ( F(x)
28
xa
代入 (x)
《现代通信原理》
)
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②用误差和互补误差函数表F（x）
0 0 2 互补误差函数：erfc ( x ) 1 erf ( x)
22
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例题
设一随机过程的功率 谱密度 P( f )如图所示， 试求其自相关函数R( ) 。
Gauss
23
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Gauss
四
G.RP分析
24
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1
•
概念与特点
Gauss
概念(定义):
jx jx 欧拉公式： sin x 2 j (e e )
1
cos x
1 jx jx (e e ) 2
n
cn e jn0t
信号功率：
1 2 2 P s 2 (t ) a0 (a12 a2 b12 b22 ) 2 1 2 2 2 a0 (an bn ) 2 n 1
14
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3) 相关函数
•自相关函数: R(t1 , t 2 ) E[ (t1 ) (t 2 )] •协方差函数: B(t1,t2) = E{[ζ(t1)-a(t1)] ·[ζ(t2)-a(t2)]} •互相关函数: Rζη(t1,t2) = E[ζ(t1) · η(t2)]
c0 a0 1 2 (an jbn ) cn 1 (a jb ) n 2 n
当n>0 当n<0
5
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（I）周期性确知信号的频域性质
Gauss
能量信号的频率特性 帕什瓦尔定理得：
1 2 E s (t )dt s(t )[ 2 1 2