直线与圆的方程单元测试题含答案

《直线与圆的方程》练习题1
一、选择题
1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，那么a 、b 、c 的值 依次为（ B ）
（A ）二、4、4； （B ）-二、4、4； （C ）二、-4、4； （D ）二、-4、-4 2.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，那么a 的取值范围是（ A ）
(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a 3.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，那么切线长为（ B ）
(A)
5 (B) 3 (C)
10 (D) 5
4.已知M (-2,0), N (2,0), 那么以MN 为斜边的直角三角形直角极点P 的轨迹方程是( D )
(A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x 5. 假设圆22(1)20x y x y λλλ++-++=的圆心在直线1
2
x =
左边区域，那么λ的取值范围是（ C ） Ａ．(0+)∞，
Ｂ．()1+∞， Ｃ．1
(0)(1)5
⋃+，，
∞ Ｄ．R
6. .关于圆()2
2
11x y +-=上任意一点(,)P x y ，不等式0x y m ++≥恒成立，那么m 的取值范围是B
A ．(21+)-∞，
B ．)
21+⎡-∞⎣
，
C ．(1+)-∞，
D ．[)1+-∞，
7.如以下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的选项是(C )
8.一束光线从点(1,1)A -动身，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短途径是
（ A ）
A ．4
B ．5
C ．321-
D ．26
9．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C )
A 、6π
B 、4π
C 、3π
D 、2
π 10.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴别离相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．假设点P (x ，y )、点P ′(x ′，y ′)知足x ≤x ′且y ≥y ′，那么称P 优于P ′.若是Ω中的点Q 知足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有如此的点Q 组成的集合是劣弧 ( )
[答案] D
[解析] 第一假设点M 是Ω中位于直线AC 右边的点，那么过M ，作与BD 平行的直线交ADC 于一点N ，那么N 优于M ，从而点Q 必不在直线AC 右边半圆内；第二，设E 为直线AC 左侧或直线AC 上任一点，过E 作与AC 平行的直线交AD 于F .那么F 优于E ，从而在AC 左侧半圆内及AC 上(A 除外)的所有点都不可能为Q ，故Q 点只能在DA 上．
二、填空题
11.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，那么实数c 的取值范围是 (13,13)- ．
12.圆：0642
2
=+-+y x y x 和圆：062
2
=-+x y x 交于,A B 两点，那么AB 的垂直平分线的方程是 390x y --=
13.已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L ：y=3x-1上找一点P ，求使|PA|-|PB|最大时P 的坐标是
（2,5）
14.过点A (－2,0)的直线交圆x 2＋y 2＝1交于P 、Q 两点，那么AP →·AQ →
的值为________．
[答案] 3
[解析] 设PQ 的中点为M ，|OM |＝d ，那么|PM |＝|QM |＝1－d 2，|AM |＝4－d 2.∴|AP →
|＝
4－d 2－1－d 2，|AQ →
|＝4－d 2＋1－d 2，
∴AP →·AQ →＝|AP →||AQ →|cos0°＝(4－d 2－1－d 2)(4－d 2＋1－d 2)＝(4－d 2)－(1－d 2)＝3.
15.如下图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，那么光线所通过的路程是________．
[答案] 210
[解析] 点P 关于直线AB 的对称点是(4,2)，关于直线OB 的对称点是(－2,0)，从而所求路程为(4＋2)2＋22＝210.
三．解答题
16.设圆C 知足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；
③圆心到直线:20l x y -=的距离为
5
5
，求圆C 的方程． 解．设圆心为(,)a b ，半径为r ，由条件①：2
2
1r a =+，由条件②：2
2
2r b =，从而有：
2
2
21b a -=5
|2|15a b =⇒-=，解方程组2221|2|1
b a a b ⎧-=⎨
-=⎩可得：
11a b =⎧⎨=⎩或11
a b =-⎧⎨=-⎩，因此2222r b ==．故所求圆的方程是22
(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=．
17. 已知ABC ∆的极点A 为（3，－1），AB 边上的中线所在直线方程为610590x y +-=，B
∠的平分线所在直线方程为4100x y -+=，求BC 边所在直线的方程． 解：设11(410,)B y y -，由AB 中点在610590x y +-=上， 可得：0592
1
10274611=--⋅+-⋅
y y ，y 1 = 5，因此(10,5)B ． 设A 点关于4100x y -+=的对称点为'(',')A x y ，
那么有)7,1(14
131********A x y y x '⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=⋅-'+'=+-'⋅-+'.故:29650BC x y +-=．
18.已知过点()3,3M --的直线l 与圆224210x y y ++-=相交于,A B 两点，
（1）假设弦AB
的长为l 的方程； （2）设弦AB 的中点为P ，求动点P 的轨迹方程．
解：（1）假设直线l 的斜率不存在，那么l 的方程为3x =-，现在有2
4120y y +-=，弦
()||||268A B AB y y =-=--=，因此不合题意．
故设直线l 的方程为()33y k x +=+，即330kx y k -+-=．
将圆的方程写成标准式得()2
2
225x y ++=，因此圆心()0,2-，半径5r =．
圆心()0,2-到直线l
的距离d =
，因为弦心距、半径、弦长的一半组成直角三角形，
因此
()2
2
231251
k k -+
=+，即()2
30k +=，因此3k =-．
所求直线l 的方程为3120x y ++=．
（2）设(),P x y ，圆心()10,2O -，连接1O P ，那么1O P ⊥AB ．当0x ≠且3x ≠-时，
11O P AB
k k ⋅=-，又(3)
(3)
AB MP y k k x --==
--，
那么有()()()23103y y x x ----⋅=----，化简得2
2
355222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭．．．．．．（1）
当0x =或3x =-时，P 点的坐标为()()()()0,2,0,3,3,2,3,3------都是方程（1）的解，
因此弦AB 中点P 的轨迹方程为22
355222x y ⎛
⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭．
19.已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A (3,0)，且与圆O 相切． (1)求直线l 1的方程；
(2)设圆O 与x 轴交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点Q ′.求证：以P ′Q ′为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标
[解析] (1)∵直线l 1过点A (3,0)，∴设直线l 1的方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，
那么圆心O (0,0)到直线l 1的距离为d ＝|3k |
k 2＋1＝1，
解得k ＝±2
4
.
∴直线l 1的方程为y ＝±2
4
(x －3)．
(2)在圆O 的方程x 2＋y 2＝1中，令y ＝0得，x ＝±1，即P (－1,0)，Q (1,0)．又直线l 2过点A
与x 轴垂直，∴直线l 2的方程为x ＝3，设M (s ，t )，那么直线PM 的方程为y ＝t
s ＋1
(x ＋1)．
解方程组⎩⎨⎧
x ＝3
y ＝t
s ＋1
(x ＋1)得，P ′⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3，4t s ＋1.
同理可得Q ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3，2t s －1.
∴以P ′Q ′为直径的圆C 的方程为(x －3)(x －3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －4t s ＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y －2t s －1＝0，
又
s 2＋t 2＝1，∴整理得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋
6s －2
t
y ＝0， 假设圆C 通过定点，那么y ＝0，从而有x 2－6x ＋1＝0， 解得x ＝3±22，
∴圆C 总通过的定点坐标为(3±22，0)．
20.已知直线l :y=k (x+22)与圆O:4y x 2
2=+相交于A 、B
两点，O 是坐标原点，三角形ABO 的面积为S.
（1）试将S 表示成的函数S （k ），并求出它的概念域； （2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.
【解】：:如图,
(1)直线l 议程 ),0(022≠=+-k k y kx 原点O 到l 的距离为2
122k
k oc +=
弦长2
2
2
2
18422K
K OC OA AB +-=-= （2）ABO 面积
2221)1(2421
K K K OC AB S +-=
=),0(11,0≠<<-∴>K K AB )011(1)
1(24)(2
22≠<<-+-=
∴K k k
k k k S 且
(2) 令
.8
1
)43(224132241)
1(24)(222
22+--=-+-=+-=
∴t t t k k k k S
∴当t=4
3
时,
33,31,431122±===+k k k 时, 2max =S
21.已知定点A （0，1），B （0，-1），C （1，0）．动点P 知足：2||PC k BP AP =⋅.
（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型； （2）当2k =时，求|2|AP BP +的最大、最小值．
,12
1
,112<<=+t t k
解：（1）设动点坐标为(,)P x y ，那么(,1)AP x y =-，(,1)BP x y =+，(1,)PC x y =-．因
为2||k =⋅，因此
22221[(1)]x y k x y +-=-+．22(1)(1)210k x k y kx k -+-+--=．
若1k =，那么方程为1x =，表示过点（1，0）且平行于y 轴的直线． 若1k ≠，那么方程化为2221()()11k x y k k ++=--．表示以(,0)1k k -为圆心，以1|1|
k - 为半径的圆．
（2）当2k =时，方程化为22(2)1x y -+=，
因为2(3,31)AP BP x y +=-，因此|2|9AP BP x +=
又22
43x y x +=-，因此|2|36AP BP += 因为22(2)1x y -+=，因此令2cos ,sin x y θθ=+=，
则36626)46[46x y θϕ--=++∈-+．
因此|2|AP BP +3=+
3=．。