文数卷
高考全国乙卷：2022年[文数]考试真题与答案解析
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高考全国乙卷：2022年[文科数学]考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合，则（ ）{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<M N = A. B. C. D. {2,4}{2,4,6}{2,4,6,8}{2,4,6,8,10}答案：A解析：因为，，所以．故选：A.{}2,4,6,8,10M ={}|16N x x =-<<{}2,4M N = 2. 设，其中为实数，则（ ）(12i)2i a b ++=,a b A. B. C. D. 1,1a b ==-1,1a b ==1,1a b =-=1,1a b =-=-答案：A解析：因为R ，，所以，解得：．故选：A.,a b Î()2i 2i a b a ++=0,22a b a +==1,1a b ==-3. 已知向量，则（ ）(2,1)(2,4)a b ==-，a b -r r A. 2 B. 3C. 4D. 5答案：D解析：因为，所以。
故选：D ()()()2,12,44,3a b -=--=- 5-==a b 4. 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（ ）A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C. 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6答案：C解析：对于A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A 选项结论7.37.57.42+=正确.对于B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：，6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816+++++++++++++++=>B 选项结论正确.对于C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，860.3750.416=<C 选项结论错误。
精品解析：2023年高考全国甲卷数学(文)真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【详解】因为全集，集合，所以，又，所以，故选：A.2.（ ）A. B. 1C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】故选：C.3. 已知向量，则（ ）{}1,2,3,4,5U ={}{}1,4,2,5M N ==U N M = ð{}2,3,5{}1,3,4{}1,2,4,5{}2,3,4,5{1,2,3,4,5}U ={1,4}M ={}2,3,5U M =ð{2,5}N ={2,3,5}U N M = ð()()()351i 2i 2i +=+-1-1i-1i+()()351i 51i 1i(2i)(2i)5+-==-+-()()3,1,2,2a b ==cos ,a b a b +-=A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为，所以，则，所以.故选：B.4. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，所以这2名学生来自不同年级的概率为.故选：D.5. 记为等差数列的前项和．若，则（ ）A. 25 B. 22C. 20D. 15【答案】C 【解析】【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．117()(),,a b a b a b a b +-+⋅-(3,1),(2,2)a b ==()()5,3,1,1a b a b +=-=- a b b +==== ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ()()cos ,a b a b a b a b a b a b+⋅-+-===+- 1613122324C 6=1122C C 4=4263=n S {}n a n 264810,45a a a a +==5S ={}n a n {}n a n【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即,又，解得：，所以．故选：C.方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选：C.6. 执行下边的程序框图，则输出的（ ）A. 21B. 34C. 55D. 89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行即可解出．【详解】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，，，；{}n a d 1a 2611510a a a d a d +=+++=135a d +=()()48113745a a a d a d =++=11,2d a ==515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=264210a a a +==4845a a =45a =89a =84184a a d -==-34514a a d =-=-=53520S a ==B =1k =123A =+=325B =+=112k =+=2k =358A =+=8513B =+=213k =+=3k =81321A =+=211334B =+=314k =+=当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．故选：B.7. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）A. 1B. 2C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；方法二：根据椭圆定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故选：B.8. 曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，的4k =34B =12,F F 22:15x C y +=P C 120PF PF ⋅= 12PF PF ⋅=12PF F △120PF PF ⋅= 1290FPF ∠=122121tan 4512FP F S b PF PF ===⨯⋅122PF PF ⋅=120PF PF ⋅= 1290FPF ∠= 25142c c =-=⇒=22221212416PF PF F F +===122PF PF a +==22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=122PF PF ⋅=e 1=+x y x e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭e 4y x =e 2y x =e e 44y x =+e 3e24y x =+e 1xy x =+e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()e 12y k x -=-e 1xy x =+所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C9. 已知双曲线交于A ，B 两点，则（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D10. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为（ ）A. 1 B.C. 2D. 3【答案】A()()()22e 1e e 11x xxx x y x x +-'==++1e|4x k y ='==()e e124y x -=-e 1xy x =+e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭e e 44y x =+22221(0,0)x y a b a b -=>>22(2)(3)1x y -+-=||AB =e =222222215c a b b a a a+==+=2ba=2y x =(2,3)d ==||AB ===-P ABC ABC 2,PA PB PC ===【解析】【分析】证明平面，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB 得解.【详解】取中点，连接，如图，是边长为2的等边三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故选：A11. 已知函数．记，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】利用作差法比较自变量大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令，则开口向下，对称轴为，，而，由二次函数性质知，的AB ⊥PEC AB E ,PE CE ABC 2PA PB ==,PE AB CE AB ∴⊥⊥,PE CE ⊂PEC PE CE E = AB ∴⊥PEC 2PE CE ===PC =222PC PE CE =+PE CE ⊥11121332B PEC A PEC PEC V V V S AB --=+=⋅=⨯=△()2(1)e x f x --=,,a f b f c f ===b c a >>b a c>>c b a>>c a b>>2()(1)g x x =--()g x 1x =4112⎛---=- ⎝22491670-=+-=>41102⎛--=-> ⎝11->g g <，而，，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.12. 函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，4112⎛--=- ⎝22481682)0-=+=-=-<11-<-g g >g g g <<e x y =a c b <<b c a >>()y f x =cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6π()y f x =1122y x =-()sin 2f x x =-()f x 1122y x =-()f x 1122y x =-πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π6πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 2f x x =-1122y x =-10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,0()f x 1122y x =-3π3π7π2,2,2222x x x =-==3π3π7π,,444x x x =-==()f x 1122y x =-当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．【答案】【解析】【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.【详解】若，则由得，则，不合题意.所以.当时，因为，所以，即，即，即，解得.故答案为：14. 若偶函数，则________．【答案】2【解析】【分析】根据常见函数的奇偶性直接求解即可.为3π4x =-3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭3π4x =3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭13π13π412428y -=⨯-=<7π4x =7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭17π17π412428y -=⨯-=>()f x 1122y x =-3n S {}n a n 6387S S ={}n a 12-1q ≠n q 1q =6387S S =118673a a ⋅=⋅10a =1q ≠1q ≠6387S S =()()6311118711a q a q qq--⋅=⋅--()()638171q q ⋅-=⋅-()()()33381171q q q ⋅+-=⋅-()3817q ⋅+=12q =-12-()2π(1)sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭=a【详解】，且函数为偶函数，，解得，故答案为：215. 若x ，y 满足约束条件，则的最大值为________．【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数过点时，有最大值，由可得，即,所以.故答案为：1516. 在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.【详解】设球的半径为.()()()222π1sin 1cos (2)1cos 2f x x ax x x ax x x a x x ⎛⎫=-+++=-++=+-++ ⎪⎝⎭20a ∴-=2a =323,2331,x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩32z x y =+322zy x =-+A z 233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩33x y =⎧⎨=⎩(3,3)A max 332315z =⨯+⨯=1111ABCD A B C D -4,AB O =1AC OO 4R当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，连接，则的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为综上，.故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．【答案】（1） （2【解析】分析】（1）根据余弦定理即可解出；【2R '1AC ==2R R ''==max R =1111,,,AA BB CC DD ,,,M H G N MNGH 4O MNGH MG MG =MNGH R R ∈ABC ,,A B C ,,a b c 2222cos b c aA+-=bc cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+ABC 1（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【小问1详解】因为，所以，解得：．【小问2详解】由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为．18. 如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．【答案】（1）证明见解析. （2）【解析】【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面；(2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.sin A 2222cos a b c bc A =+-2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===1bc =cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A B aB b A c A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B B A B A B A B ---=-==+++()()sin sin sin A B A B B --+=2cos sin sin A B B -=0sin 1B <≤1cos 2A =-0πA <<sin A =ABC 11sin 122ABC S bc A ==⨯=△111ABC A B C -1A C ⊥,90ABC ACB ∠=︒11ACC A ⊥11BB C C 11,2AB A B AA ==111A BB C C -11A C ⊥ABC 1A C BC ⊥AC BC ⊥BC ⊥11ACC A 11ACC A ⊥11BCC B 1A 11A O CC ⊥1AO 1A C AC =O 1CC 1A C AC x ==x 1AO【小问1详解】证明：因为平面，平面,所以,又因为，即，平面，,所以平面，又因为平面,所以平面平面.【小问2详解】如图，过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱锥的高为.因为平面，平面,所以,,又因为，为公共边，所以与全等，所以.设，则，所以为中点，,1A C ⊥ABC BC ⊂ABC 1A C BC ⊥90ACB ∠= ACBC ⊥1,A C AC ⊂11ACC A 1AC AC C ⋂=BC⊥11ACC A BC ⊂11BCC B 11ACC A ⊥11BCC B 1A 11A O CC ⊥O 11ACC A ⊥11BCC B 11ACC A 111BCC B CC =1A O ⊂11ACC A 1A O ⊥11BCC B 111A BB C C -1AO 1A C ⊥ABC ,AC BC ⊂ABC 1A C BC ⊥1A C AC ⊥1A B AB =BC ABC 1A BC 1A C AC =1A C AC x ==11A C x =O 1CC 11112OC AA ==又因为,所以,即，解得，所以，所以四棱锥的高为．19. 一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.132.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】（1）1A C AC ⊥22211AC AC AA +=2222x x +=x=11A O ===111A BB C C -1m<m≥()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥k19.8（2）（i ）；列联表见解析，（ii ）能【解析】【分析】（1）直接根据均值定义求解；（2）（i ）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；（ii ）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】试验组样本平均数为：【小问2详解】（i ）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第11位数据为，后续依次为，故第20位为，第21位数据为，所以，故列联表为：合计对照组61420试验组14620合计202040（ii ）由（i ）可得，，所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.20. 已知函数．（1）当时，讨论的单调性；23.4m =23.4m =1(7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.220+++++++++++39621.622.823.623.925.128.232.336.5)19.820++++++++==18.819.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6, 23.223.623.223.623.42m +==m<m≥2240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯95%()2sin π,0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭1a =()f x（2）若，求的取值范围．【答案】（1）在上单调递减（2）【解析】【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.【小问1详解】因为，所以，则，令，由于，所以，所以，因为，，，所以在上恒成立，所以在上单调递减.【小问2详解】法一：()sin 0f x x +<a ()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0a ≤1a =()f x ()f x '()()sin g x f x x =+()0g x <()00g =()00g '≤0a ≤0a =a<02sin sin 0cos xx x-<0a =a<00a >0a >1a =()2sin π,0,cos 2x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭()()22432cos cos 2cos sin sin cos 2sin 11cos cos x x x x xx xf x xx--+'=-=-()3333222cos cos 21cos coscos 2cos cos x x xx x xx---+-==cos t x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()cos 0,1t x =∈()()()23233222cos cos 22221211x x t t t t t tt t t +-=+-=-+-=-++-()()2221t t t =++-()2222110t t t ++=++>10t -<33cos 0x t =>()233cos cos 20cos x x f x x +-'=<π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭构建，则，若，且，则，解得，当时，因为，又，所以，，则，所以，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；综上所述：若，等价于，所以的取值范围为.法二：因为，因为，所以，，故在上恒成立，所以当时，，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；()()2sin πsin sin 0cos 2x g x f x x ax x x x ⎛⎫=+=-+<< ⎪⎝⎭()231sin πcos 0cos 2x g x a x x x +⎛⎫'=-+<< ⎪⎝⎭()()sin 0g x f x x =+<()()00sin 00g f =+=()0110g a a '=-+=≤0a ≤0a =22sin 1sin sin 1cos cos x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0sin 1x <<0cos 1x <<211cos x>()2sin sin sin 0cos xf x x x x+=-<a<0π02x <<0ax <()22sin sin sin sin sin 0cos cos x xf x x ax x x x x+=-+<-<()sin 0f x x +<0a ≤a (],0-∞()2232222sin cos 1sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x---===-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0sin 1x <<0cos 1x <<2sin sin 0cos x x x-<π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0a =()2sin sin sin 0cos xf x x x x+=-<a<0π02x <<0ax <()22sin sin sin sin sin 0cos cos x xf x x ax x x x x+=-+<-<当时，因为，令，则，注意到，若，，则在上单调递增，注意到，所以，即，不满足题意；若，，则，所以在上最靠近处必存在零点，使得，此时在上有，所以在上单调递增，则在上有，即，不满足题意；综上：.【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解.21. 已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；（2）设直线：，利用，找到的关系，以及0a >()322sin sin sin sin cos cos x xf x x ax x ax x x+=-+=-()32sin π0cos 2x g x ax x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭()22433sin cos 2sin cos x x xg x a x+'=-()22433sin 0cos 02sin 000cos 0g a a +'=-=>π02x ∀<<()0g x '>()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()00g =()()00g x g >=()sin 0f x x +>0π02x ∃<<()00g x '<()()000g g x ''<π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0x =1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()10g x '=()g x '()10,x ()0g x '>()g x ()10,x ()10,x ()()00g x g >=()sin 0f x x +>0a ≤0a >()00g '>()g x 'π0,2⎛⎫⎪⎝⎭0x =()0g x '>()()00g x g >=210x y -+=2:2(0)C y px p =>,A B AB =p F C ,M N C 0FM FN ⋅=MFN △2p =12-p MN x my n =+()()1122,,,,M x y N x y 0MF NF ⋅=,m n MNF的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设，由可得，，所以，所以即，因为，解得：．【小问2详解】因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，由可得，，所以，，，因为，所以，即，亦即，将代入得，，，所以，且，解得或．设点到直线的距离为，所以，所以的面积，而或，所以，()(),,,A A B B A x y B x y 22102x y y px-+=⎧⎨=⎩2420y py p -+=4,2A B A B y y p y y p +==B AB y ==-==2260p p --=0p >2p =()1,0F MN MN x my n =+()()1122,,,M x y N x y 24y x x my n⎧=⎨=+⎩2440y my n --=12124,4y y m y y n +==-22161600m n m n ∆=+>⇒+>0MF NF ⋅=()()1212110x x y y --+=()()1212110my n my n y y +-+-+=()()()()2212121110m y y m n y y n ++-++-=12124,4y y m y y n +==-22461m n n =-+()()22410m n n +=->1n ≠2610n n -+≥3n ≥+3n ≤-F MN d d 2MN y ==-=1==-MNF ()2111122S MN d n =⨯⨯=-=-3n ≥+3n ≤-当时，的面积【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22. 已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的几何意义即可解出；（2）求出直线的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，令，，令，，所以，所以，即，解得，因为，所以．【小问2详解】由（1）可知，直线的斜率为，且过点，所以直线的普通方程为：，即，由可得直线的极坐标方程为．3n =-MNF (2min 212S =-=-,m n ()2,1P 2cos ,:1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩t αl l x y ,A B 4PA PB ⋅=αx l 3π4cos sin 30ραρα+-=t l l x y ,A B ππ2α<<0x =12cos t α=-0y =21sin t α=-21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====sin 21α=±π2π2k α=+π1π,42k k α=+∈Z ππ2α<<3π4α=l tan 1α=-()2,1l ()12y x -=--30x y +-=cos ,sin x y ραρα==l cos sin 30ραρα+-=[选修4-5：不等式选讲]（10分）23. 已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与坐标轴所围成的图形的面积为2，求．【答案】（1） （2【解析】【分析】（1）分和讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若,则,即,解得,即,若,则,解得,即,综上,不等式的解集为.【小问2详解】.画出的草图,则与坐标轴围成与的高为,所以所以解得,()2,0f x x a a a =-->()f x x <()y f x =a ,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭x a ≤x a >x a ≤()22f x a x a x =--<3x a >3a x >3ax a <≤x a >()22f x x a a x =--<3x a <3a x a <<,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,()23,x a x af x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩()f x ()f x ADO △ABCABC 3,(0,),,0,,022a a a D a A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭||=AB a21132224OAD ABC S S OA a AB a a +=⋅+⋅== a =三人行教育资源。
2022年全国高考文科数学(乙卷)试题及答案解析
2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）文科数学一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合M ={2,4,6,8,10}，N ={x|−1<x <6}，则M ∩N =( )A. {2,4}B. {2,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,4,6,8,10}2. 设(1+2i)a +b =2i ，其中a ，b 为实数，则( )A. a =1，b =−1B. a =1，b =1C. a =−1，b =1D. a =−1，b =−13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−2,4)，则|a ⃗ −b ⃗ |=( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：ℎ)，得如图茎叶图：则下列结论中错误的是( )A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C. 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥2,x +2y ≤4,y ≥0,则z =2x −y 的最大值是( )A. −2B. 4C. 8D. 126. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，点A 在C 上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=( )A. 2B. 2√2C. 3D. 3√27. 执行如图的程序框图，输出的n =( )A. 3B. 4C. 5D. 68.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是()A. y=−x3+3xx2+1B. y=x3−xx2+1C. y=2xcosxx2+1D. y=2sinxx2+19.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A. 平面B1EF⊥平面BDD1B. 平面B1EF⊥平面A1BDC. 平面B1EF//平面A1ACD. 平面B1EF//平面A1C1D10.已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2−a5=42，则a6=()A. 14B. 12C. 6D. 311.函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为()A. −π2，π2B. −3π2，π2C. −π2，π2+2 D. −3π2，π2+212.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A. 13B. 12C. √33D. √22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若2S 3=3S 2+6，则公差d =______．14. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为______． 15. 过四点(0,0)，(4,0)，(−1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为______． 16. 若f(x)=ln|a +11−x |+b 是奇函数，则a =______，b =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)．(1)若A =2B ，求C ； (2)证明：2a 2=b 2+c 2．18. 如图，四面体ABCD 中，AD ⊥CD ，AD =CD ，∠ADB =∠BDC ，E 为AC 的中点． (1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设AB =BD =2，∠ACB =60°，点F 在BD 上，当△AFC 的面积最小时，求三棱锥F −ABC 的体积．19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m 2)和材积量(单位：m 3)，得到如下数据： 样本号i12345678910 总和根部横截面积x i 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量y i0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9并计算得∑x i 210i=1=0.038，∑y i 210i=1=1.6158，∑x i 10i=1y i =0.2474．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数r =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)√∑(ni=1x i −x −)2∑(n i=1y i −y −)2，√1.896≈1.377．20. 已知函数f(x)=ax −1x −(a +1)lnx ．(1)当a =0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a 的取值范围．21. 已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A(0,−2)，B(32,−1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P(1,−2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .证明：直线HN 过定点． 22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t,y =2sint(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π3)+m =0．(1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．已知a ，b ，c 都是正数，且a 32+b 32+c 32=1，证明：(1)abc ≤19；(2)a b+c+b a+c+c a+b≤2√abc．答案解析1.【答案】A【解析】解：∵M ={2,4,6,8,10}，N ={x|−1<x <6}， ∴M ∩N ={2,4}． 故选：A ．直接利用交集运算求解即可．本题考查集合的交集运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵(1+2i)a +b =2i ， ∴a +b +2ai =2i ，即{a +b =02a =2，解得{a =1b =−1．故选：A ．根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解． 本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：a ⃗ −b ⃗ =(4,−3)，故∣a ⃗ −b ⃗ ∣=√42+(−3)2=5，故选：D ．先计算处a ⃗ −b ⃗ 的坐标，再利用坐标模长公式即可． 本题主要考查向量坐标公式，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由茎叶图可知，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4，选项A 说法正确；由茎叶图可知，乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8，选项B 说法正确； 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为616=38<0.4，选项C 说法错误； 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为1316=0.8125>0.6，选项D 说法正确．故选：C．根据茎叶图逐项分析即可得出答案．本题考查茎叶图，考查对数据的分析处理能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：作出可行域如下图阴影部分所示，由图可知，当(x,y)取点C(4,0)时，目标函数z=2x−y取得最大值，且最大为8．故选：C．作出可行域，根据图象即可得解．本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：F为抛物线C：y2=4x的焦点(1,0)，点A在C上，点B(3,0)，|AF|=|BF|=2，由抛物线的定义可知A(1,2)(A不妨在第一象限)，所以|AB|=2√2．故选：B．利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．7.【答案】B【解析】解：模拟执行程序的运行过程，如下：输入a=1，b=1，n=1，计算b=1+2=3，a=3−1=2，n=2，判断|3222−2|=14=0.25≥0.01，计算b=3+4=7，a=7−2=5，n=3，判断|7252−2|=125=0.04≥0.01；计算b=7+10=17，a=17−5=12，n=4，判断|172122−2|=1144<0.01；输出n=4．故选：B．模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的n值．本题考查了程序的运行与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：首先根据图像判断函数为奇函数，其次观察函数在(1,3)存在零点，而对于B选项：令y=0，即x3−xx2+1=0，解得x=0，或x=1或x=−1，故排除B选项，对于D选项，令y=0，即2sinxx2+1=0，解得x=kπ，k∈Z，故排除D选项，C选项分母为x2+1恒为正，但是分子中cosx是个周期函数，故函数图像在(0,+∞)必定是正负周期出现，故错误，故选：A．首先分析函数奇偶性，然后观察函数图像在(1,3)存在零点，可排除B，D选项，再利用cosx 在(0,+∞)的周期性可判断C选项错误．本题主要考查函数图像的识别，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：对于A，由于E，F分别为AB，BC的中点，则EF//AC，又AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1=D，且BD，DD1⊂平面BDD1，∴AC⊥平面BDD1，则EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1，选项A正确；对于B，由选项A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD=BD，故平面B1EF不可能与平面A1BD垂直，选项B错误；对于C，在平面ABB1A1上，易知AA1与B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，选项C错误；对于D，易知平面AB1C//平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，故平面B1EF 与平面A1C1D不可能平行，选项D错误．故选：A．对于A，易知EF//AC，AC⊥平面BDD1，从而判断选项A正确；对于B，由选项A及平面BDD1∩平面A1BD=BD可判断选项B错误；对于C，由于AA1与B1E必相交，容易判断选项C错误；对于D，易知平面AB1C//平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，由此可判断选项D错误．本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，q≠0，由题意，q≠1．∵前3项和为a1+a2+a3=a1(1−q3)1−q=168，a2−a5=a1⋅q−a1⋅q4=a1⋅q(1−q3)= 42，∴q=12，a1=96，则a6=a1⋅q5=96×132=3，故选：D．由题意，利用等比数列的定义、性质、通项公式，求得a6的值．本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：f(x)=cosx+(x+1)sinx+1，x∈[0,2π]，则f′(x)=−sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx，令cosx=0得，x=π2或3π2，∴当x∈[0,π2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(π2,3π2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(3π2,2π]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在区间[0,2π]上的极大值为f(π2)=π2+2，极小值为f(3π2)=−3π2，又∵f(0)=2，f(2π)=2，∴函数f(x)在区间[0,2π]的最小值为−3π2，最大值为π2+2，故选：D．先求出导函数f′(x)=(x+1)cosx，令cosx=0得，x=π2或3π2，根据导函数f′(x)的正负得到函数f(x)的单调性，进而求出函数f(x)的极值，再与端点值比较即可．本题主要考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则r=√22a，∴该四棱锥的高ℎ=√1−a22，∴该四棱锥的体积V=13a2√1−a22=43√a24⋅a24⋅(1−a22)≤4 3√(a24+a24+1−a223)3=43√(13)3=4√327，当且仅当a24=1−a22，即a2=43时，等号成立，∴该四棱锥的体积最大时，其高ℎ=√1−a22=√1−23=√33，故选：C．由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，由勾股定理可知该四棱锥的高ℎ=√1−a22，所以该四棱锥的体积V=13a2√1−a22，再利用基本不等式即可求出V的最大值，以及此时a的值，进而求出ℎ的值．本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了基本不等式的应用，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：∵2S3=3S2+6，∴2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6，∵{a n}为等差数列，∴6a2=3a1+3a2+6，∴3(a2−a1)=3d=6，解得d=2．故答案为：2．根据已知条件，可得2(a 1+a 2+a 3)=3(a 1+a 2)+6，再结合等差中项的性质，即可求解．本题主要考查等差数列的前n 项和，考查转化能力，属于基础题．14.【答案】310【解析】解：由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数C 53=10， 甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数C 31=3，根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率P =C 31C 53=310．故答案为：310．从甲、乙等5名学生中随机选出3人，先求出基本事件总数，再求出甲、乙被选中包含的基本事件的个数，由此求出甲、乙被选中的概率．本题主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．15.【答案】x 2+y 2−4x −6y =0(或x 2+y 2−4x −2y =0或x 2+y 2−83x −143y =0或x 2+y 2−165x −2y −165=0)【解析】解：设过点(0,0)，(4,0)，(−1,1)的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， 即{F =016+4D +F =02−D +E +F =0，解得F =0，D =−4，E =−6， 所以过点(0,0)，(4,0)，(−1,1)圆的方程为x 2+y 2−4x −6y =0． 同理可得，过点(0,0)，(4,0)，(4,2)圆的方程为x 2+y 2−4x −2y =0． 过点(0,0)，(−1,1)，(4,2)圆的方程为x 2+y 2−83x −143y =0．过点(4,0)，(−1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为x 2+y 2−165x −2y −165=0．故答案为：x 2+y 2−4x −6y =0(或x 2+y 2−4x −2y =0或x 2+y 2−83x −143y =0或x 2+y 2−165x −2y −165=0)．选其中的三点，利用待定系数法即可求出圆的方程．本题考查了过不在同一直线上的三点求圆的方程应用问题，是基础题．16.【答案】−12 ln2【解析】解：f(x)=ln|a+11−x|+b，若a=0，则函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，∴a≠0，由函数解析式有意义可得，x≠1且a+11−x≠0，∴x≠1且x≠1+1a，∵函数f(x)为奇函数，∴定义域必须关于原点对称，∴1+1a =−1，解得a=−12，∴f(x)=ln|1+x2(1−x)|+b，定义域为{x|x≠1且x≠−1}，由f(0)=0得，ln12+b=0，∴b=ln2，故答案为：−12；ln2．显然a≠0，根据函数解析式有意义可得，x≠1且x≠1+1a ，所以1+1a=−1，进而求出a的值，代入函数解析式，再利用奇函数的性质f(0)=0即可求出b的值．本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于中档题．17.【答案】解：(1)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，又A=2B，∴sinCsinB=sinBsin(C−A)，∵sinB≠0，∴sinC=sin(C−A)，即C=C−A(舍去)或C+C−A=π，联立{A=2B2C−A=πA+B+C=π，解得C=58π；证明：(2)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，得sinCsinAcosB−sinCcosAsinB=sinBsinCcosA−sinBcosCsinA，由正弦定理可得accosB−bccosA=bccosA−abcosC，由余弦定理可得：ac⋅a2+c2−b22ac =2bc⋅b2+c2−a22bc−ab⋅a2+b2−c22ab，整理可得：2a2=b2+c2．【解析】(1)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，结合A=2B，可得sinC=sin(C−A)，即C+C−A=π，再由三角形内角和定理列式求解C；(2)把已知等式展开两角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角为边即可证明结论．本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】证明：(1)∵AD =CD ，∠ADB =∠BDC ，BD =BD ， ∴△ADB≌△CDB ，∴AB =BC ，又∵E 为AC 的中点． ∴AC ⊥BE ，∵AD =CD ，E 为AC 的中点． ∴AC ⊥DE ，又∵BE ∩DE =E ， ∴AC ⊥平面BED ， 又∵AC ⊂平面ACD ， ∴平面BED ⊥平面ACD ； 解：(2)由(1)可知AB =BC ，∴AB =BC =2，∠ACB =60°，∴△ABC 是等边三角形，边长为2， ∴BE =√3，AC =2，AD =CD =√2，DE =1， ∵DE 2+BE 2=BD 2，∴DE ⊥BE ， 又∵DE ⊥AC ，AC ∩BE =E ， ∴DE ⊥平面ABC ，由(1)知△ADB≌△CDB ，∴AF =CF ，连接EF ，则EF ⊥AC ， ∴S △AFC =12×AC ×EF =EF ，∴当EF ⊥BD 时，EF 最短，此时△AFC 的面积最小， 过点F 作FG ⊥BE 于点G ，则FG//DE ，∴FG ⊥平面ABC ， ∵EF =DE×BE BD=√32， ∴BF =√BE 2−EF 2=32，∴FG =EF×BF BE=34， ∴三棱锥F −ABC 的体积V =13×S △ABC ×FG =13×√34×22×34=√34．【解析】(1)易证△ADB≌△CDB ，所以AC ⊥BE ，又AC ⊥DE ，由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BED ，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BED ⊥平面ACD ； (2)由题意可知△ABC 是边长为2的等边三角形，进而求出BE =√3，AC =2，AD =CD =√2，DE =1，由勾股定理可得DE ⊥BE ，进而证得DE ⊥平面ABC ，连接EF ，因为AF =CF ，则EF ⊥AC ，所以当EF ⊥BD 时，EF 最短，此时△AFC 的面积最小，求出此时点F 到平面ABC 的距离，从而求得此时三棱锥F −ABC 的体积．本题主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，同时考查了学生的空间想象能力与计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设这棵树木平均一棵的根部横截面积为x −，平均一棵的材积量为y −， 则根据题中数据得：x −=0.610=0.06，y −=3.910=0.39；(2)由题可知，r =10i=1i −i −√∑(i=1x i −x −)2∑(i=1y i −y −)2=i 10i=1i −−√(∑x i i=1−nx −2)(∑y i i=1−ny −2)=√0.002×0.0948=0.01×√1.896=0.01340.01377=0.97；(3)设从根部面积总和X ，总材积量为Y ，则XY=x−y−，故Y =0.390.06×186=1209(m 3).【解析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可．本题考查线性回归方程，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a =0时，f(x)=−1x −lnx(x >0)，则f′(x)=1x 2−1x =1−x x 2，易知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， ∴f(x)在x =1处取得极大值，同时也是最大值， ∴函数f(x)的最大值为f(1)=−1； (2)f′(x)=a +1x 2−a+1x=ax 2−(a+1)x+1x 2=(x−1)(ax−1)x 2，①当a =0时，由(1)可知，函数f(x)无零点；②当a <0时，易知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， 又f(1)=a −1<0，故此时函数f(x)无零点；③当0<a <1时，易知函数f(x)在(0,1),(1a ,+∞)上单调递增，在(1,1a )单调递减， 且f(1)=a −1<0，f(1a )=1−a +(a +1)lna <0，且当x →+∞时，f(x)>0，此时f(x)在(0,+∞)上存在唯一零点； ④当a =1时，f′(x)=(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=0，故此时函数f(x)有唯一零点；⑤当a >1时，易知函数f(x)在(0,1a ),(1,+∞)上单调递增，在(1a ,1)上单调递减， 且f(1)=a −1>0，且当x →0时，f(x)<0，故函数f(x)在(0,+∞)上存在唯一零点； 综上，实数a 的取值范围为(0,+∞)．【解析】(1)将a =0代入，对函数f(x)求导，判断其单调性，由此可得最大值； (2)对函数f(x)求导，分a =0，a <0，0<a <1，a =1及a >1讨论即可得出结论．本题考查里利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．21.【答案】解：(1)设E 的方程为x 2a 2+y2b2=1， 将A(0,−2),B(32,−1)两点代入得{4b 2=194a2+1b2=1，解得a 2=3，b 2=4， 故E 的方程为x 23+y 24=1；(2)由A(0,−2),B(32,−1)可得直线AB ：y =23x −2 ①若过P(1,−2)的直线的斜率不存在，直线为x =1， 代入x 23+y 24=1，可得M(1,2√63)，N(1,−2√63)， 将y =2√63代入AB ：y =23x −2，可得T(√6+3,2√63)，由MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H(2√6+5,2√63)， 易求得此时直线HN ：y =(2−2√63)x −2，过点(0,−2)；②若过P(1,−2)的直线的斜率存在，设kx −y −(k +2)=0，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 联立{kx −y −(k +2)=0x 23+y 24=1，得(3k 2+4)x 2−6k(2+k)x +3k(k +4)=0，故有{x 1+x 2=6k(2+k)3k 2+4x 1x 2=3k(4+k)3k 2+4,{y 1+y 2=−8(2+k)3k 2+4y 1y 2=4(4+4k−2k 23k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=−24k3k 2+4(∗)， 联立{y =y 1y =23x −2，可得T(3y 12+3,y 1),H(3y 1+6−x 1,y 1)，可求得此时HN ：y −y 2=y 1−y 23y1+6−x 1−x 2(x −x 2)，将(0,−2)代入整理得2(x 1+x 2)−6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1−3y 1y 2−12=0， 将(∗)代入，得24k +12k 2+96+48k −24k −48−48k +24k 2−36k 2−48=0， 显然成立．综上，可得直线HN 过定点(0,−2)． 【解析】(1)设E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，将A ，B 两点坐标代入即可求解；(2)由A(0,−2),B(32,−1)可得直线AB ：y =23x −2，①若过P(1,−2)的直线的斜率不存在，直线为x =1，代入椭圆方程，根据MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求解；②若过P(1,−2)的直线的斜率存在，设kx−y−(k+2)=0，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立{kx−y−(k+2)=0x23+y24=1，得(3k2+4)x2−6k(2+k)x+3k(k+4)=0，结合韦达定理和已知条件即可求解．本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)由ρsin(θ+π3)+m=0，得ρ(sinθcosπ3+cosθsinπ3)+m=0，∴12ρsinθ+√32ρcosθ+m=0，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴12y+√32x+m=0，即l的直角坐标方程为√3x+y+2m=0；(2)由曲线C的参数方程为{x=√3cos2t,y=2sint(t为参数)．消去参数t，可得y2=−2√33x+2，联立{√3x+y+2m=0y2=−2√33x+2，得3y2−2y−4m−6=0(−2≤y≤2)．−3≤√3≤6，即−193≤4m≤10，−1912≤m≤52，∴m的取值范围是[−1912,5 2 ].【解析】(1)由ρsin(θ+π3)+m=0，展开两角和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得l的直角坐标方程；(2)化曲线C的参数方程为普通方程，联立直线方程与曲线C的方程，化为关于y的一元二次方程，再求解m的取值范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．23.【答案】解：(1)证明：∵a，b，c都是正数，∴a32+b32+c32≥33a32⋅b32⋅c32=3(abc)12，当且仅当a=b=c=3−23时，等号成立．因为a32+b32+c32=1，所以1≥3(abc)12，所以13≥(abc)12，所以abc≤19，得证．(2)证明：要使ab+c +ba+c+ca+b≤2√abc成立，只需证a32√bcb+c+b32√aca+c+c32√aba+b≤12，又因为b+c≥2√bc，a+c≥2√ac，a+b≥2√ab，当且仅当a=b=c=3−23时，同时取等．所以a 32√bcb+c +b32√aca+c+c32√aba+b≤a32√bc2√bcb32√ac2√ac32√ab2√ab=a32+b32+c322=12，得证．【解析】结合基本不等式与恒成立问题证明即可．本题考查基本不等式的应用，属于中档题．。
2024年全国甲卷高考文科数学试卷(真题+答案)
2024年高考全国甲卷数学（文）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,92．设z =，则z z ⋅=（）A ．-i B ．1C ．-1D ．23．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A ．5B ．12C ．2-D ．72-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A ．2-B ．73C ．1D ．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．236．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D7．曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A ．16B．2C ．12D．8．函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（）A ．B．C．D ．9．已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．1B．1-C．2D．1-10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．32BCD二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是．13．已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ．14．曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n S 的通项公式.16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ；(2)求点M 到ABF 的距离.17．已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a -+-≥．2024年高考全国甲卷数学（文）参考答案一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,93．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A ．5B ．12C ．2-D ．72-由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=，即4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A ．2-B ．73C ．1D ．29A ．14B ．13C ．12D ．236．已知双曲线22:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）7．曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A ．16B ．2C ．12D ．【答案】A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.8．函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．9．已知cos sin ααα=-tan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．1-CD ．1-是两个平面，是两条直线，且①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确；②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误；③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误；①③正确，故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．32B CD二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是．13．已知1a >，8log log 42a a -=-，则=a ．【答案】6414．曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．【答案】()2,1-【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+>则()()()2325351g x x x x x =+-=+-'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈-.答案为：()2,1-三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n S 的通项公式.4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ；17．已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．【答案】(1)见解析(2)见解析18．设椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得(34+故()(42Δ102443464k k =-+中，以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x t y t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a -+-≥．222=+-+≥+-+=++-≥⨯= 22()()()()(1)326 a b a b a b a b a b a b。
2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)
2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案学好高考数学的技巧高考数学题目的总结比较。
建立自己的题库。
多做。
主要是指做高考数学习题，学数学一定要做习题，并且应该适当地多做些。
养成好的学习习惯，做好预习，把预习没看懂的东西，第二天上课着重听。
抓住课堂。
高考数学理科学习重在平日功夫，不适于突击复习。
高质量完成作业。
所谓高质量是指高正确率和高速度。
翻译：把中文翻译成为数学语言，包括：字母表示未知数、图像表示函数式或几何题目、概率语言等等。
该方法常用于函数，几何以及不等式等题目。
特殊化：在面对抽象或者难以理解的题目的时候，我们尝试用最极端最特殊的数字来代替变量，帮助我们理解题目。
该方法常用于在选择题目中排除选项，在解大题的过程中也经常会用到特殊化的结论。
盯住目标：把高考数学目标和已知结合，联想相关的定理、定义、方法。
在压轴题目中，往往需要不断转化目标，即盯住目标需要反复使用!各省高考用卷情况1、新高考一卷(8个省份)适用省份：山东、河北、湖北、福建、湖南、广东、江苏，浙江考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理、信息技术等。
特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北6个省是3+1+2模式的高考省份，山东省是综合改革3+3省份。
2、新高考二卷(3个省份)适用省份：海南、辽宁、重庆考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理等。
特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中辽宁、重庆两省市是3+1+2省份，海南是综合改革3+3省份。
3、全国甲卷(5个省份)适用省份：云南、贵州、四川、西藏、广西考试科目：语文、数学、外语、文综、理综特点：语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。
七年级期中考试卷语文数学
一、语文（满分80分，时间60分钟）一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列词语中，字形、字音、词义完全正确的一项是（）A. 悲观（bēi guān）拖延（tuō yán）舒适（shū shì）B. 美妙（měi miào）精湛（jīng zhàn）意味深长（yì wèi shēn cháng）C. 欢乐（huān lè）稀释（xī shì）落落大方（luò luò dà fāng）D. 精彩（jīng cǎi）静谧（jìng mì）风和日丽（fēng hé rì lì）2. 下列句子中，没有语病的一项是（）A. 由于天气突变，全市范围内出现了大面积的交通拥堵。
B. 学校对学生的安全教育十分重视，采取了多种措施。
C. 他的成绩一直在班级里名列前茅，这得益于他的勤奋和努力。
D. 这个故事告诉我们，只有坚持不懈，才能取得成功。
3. 下列词语中，加点字注音完全正确的一项是（）A. 沉默（chén mò）深邃（shēn suì）腼腆（miǎn tiǎn）B. 悠闲（yōu xián）沉默（chén mò）悲伤（bēi shāng）C. 稀疏（xī shū）沉着（chén zhù）悲壮（bēi zhuàng）D. 舒畅（shū chàng）悲叹（bēi tàn）精湛（jīng zhàn）4. 下列句子中，使用了修辞手法的一项是（）A. 月亮升起来了，好像一个大玉盘。
B. 他跑得像兔子一样快。
C. 这座山真高啊，简直要碰到天了。
D. 这本书里的故事很有趣。
5. 下列句子中，使用了比喻手法的一项是（）A. 他成绩优秀，是班级里的佼佼者。
2024-2025学年高三一轮复习联考(三)_全国卷文数(含答案)
2024届高三一轮复习联考（三）全国卷文科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，考试时间为120分钟，满分150分一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}212,1A xx B x x =<<=∣∣，则A B ⋃=（）A.[)1,2-B.(),2∞-C.[)1,3- D.[]1,2-2.命题2:,220p x R x x ∀∈+-<的否定p ⌝为（）A.2000,220x R x x ∃∈+->B.2,220x R x x ∀∈+-C.2,220x R x x ∀∈+->D.2000,220x R x x ∃∈+-3.3.已知复数2(1i)z =+（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（）A.2B.2- C.2iD.2i-4.若函数()222,0,log ,0,x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦（）A.2- B.2 C.3- D.35.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.14-B.14C.12-D.126.函数()21x xe ef x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C. D.7.函数2sin cos21y x x=-+的最小值是（）A.3-B.1-C.32- D.12-8.已知数列{}n a的前n项和22nS n n m=-++，且对任意*1,0n nn N a a+∈-<，则实数m 的取值范为是（）A.()2,∞-+ B.(),2∞--C.()2,∞+ D.(),2∞-9.已知等比数列()*a满足4221,m nq a a a≠=，（其中,*m n N∈），则91m n+的最小值为（）A.6 B.16 C.32 D.210.已知函数()cos3f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若()f x在[]0,a上的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a的取值范为（）A.40,3π⎛⎤⎥⎝⎦B.24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2,3π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D.25,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.设4sin1,3sin2,2sin3a b c===，则（）A.a b c<< B.c b a<<C.c a b<< D.a c b<<12.已矨,,A B C均在球O的球面上运动，且满足3AOBπ∠=，若三棱锥O ABC-体积的最大值为6，则球O的体积为（）A.12πB.48πC.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()(1,,a k b==，若a b⊥，则k=__________.14.已知{}n a是各项不全为零的等差数列，前n项和是n S，且2024S S=，若()2626nS S m=≠，则正整数m=__________.15.设,m n为不重合的直线，,,αβγ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有（）（只填序号）.①,m a m β⊂∥②,,m n n m αβ⊂⊥⊥③,αγβγ⊥⊥④,m m αβ⊥⊥16.已知函数()14sin ,01,2,1,x x x f x x x π-<⎧=⎨+>⎩若关于x 的方程()()()2[]210f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.（12分）已知数列{}n a 满足12122,log log 1n n a a a +==+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求(){}32nn a -的前n 项和nS.18.（12分）已知ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,,,cos cos 2cos 4a b c C a A c C b B π=+=.（1）求tan A ；（2）若c =，求ABC 的面积.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平而PBC ⊥平面ABCD ；（2）求点A 到平面PCD 的距离.20.（12分）已知数列()n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列n b 的前n 项和T .21.（12分）已知函数()ln x af x ex x -=-+.（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程，（2）当0a 时，证明，()2f x x >+.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系，xOy 中，直线l的参数方程为2,21,2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与曲线C '有公共点，试求a 的取值范围.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()22(0)f x x x t t =++->，若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若,,a b c 均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷文科数学参考答案及评分意见1.A【解析】由21x ，即()()110x x -+，解得11x -，所以{}11B xx =-∣，所以{12}A B xx ⋃=-<∣.故选A .2.D 【解析】2,220x x x ∀∈+-<R 的否定为：2000,220x x x ∃∈+-R ，故选D.3.A 【解析】2(1i)2i z =+=，即复数z 的虚部为2，故选A .4.D【解析】()()()222(2)228,8log 83f f -=--⨯-===，故选D.5.C 【解析】因为1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2211cos 2cos 2cos 22sin 11366622ππππααπαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故选C.6.A 【解析】()()2e e 1x xf x f x x ---==-+，所以函数()y f x =是奇函数，排除B 选项，又()22e e 215f --=>，排除C ，D 选项，故选A.7.D 【解析】由题意，函数22sin cos212sin 2sin y x x x x =-+=+，令[]sin 1,1t x =∈-，可得221122222y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，当12t =-，即1sin 2x =-时，函数取得最小值，最小值为12-.故选D.8.A【解析】因为10n n a a +-<，所以数列{}n a 为递减数列，当2n 时，()2212(1)2123n n n a S S n n m n n m n -⎡⎤=-=-++---+-+=-+⎣⎦，故可知当2n 时，{}n a 单调递减，故{}n a 为递减数列，只需满足21a a <，即112m m-+⇒-.故选A .9.D【解析】由等比数列的性质，可得()911911918,10102888m n m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当6,2m n ==时，等号成立，因此，91m n +的最小值为2.故选D.10.B 【解析】()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合图象，()f x 的值域是11,,0,2333x a x a πππ⎡⎤-++⎢⎣⎦，于是533a πππ+，解得2433aππ，所以实数a 的取值范围为24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选B.11.B 【解析】设()()2sin cos sin ,x x x xf x f x x x -=='，令()()cos sin ,sing x x x x g x x x =-'=-，当()0,x π∈时，()0g x '<，故()g x 在()0,π上递减，()()()00,0g x g f x <=∴<'，故()sin xf x x=在()0,π上递减，023π<<< .()()sin3sin232,,2sin33sin232f f ∴<<<，故c b <，()()()sin 2012,sin1,sin22sin1,3sin232sin14sin12ππππππ-<<-<<<-<-<-，故b a <，故c b a <<，故选B.12.C 【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时231133632212O ABC C AOB V V R R --==⨯⨯⨯==，故3R =O 的体积为343R V π==，故选C.13.3-【解析】0a b a b ⊥⇔⋅=，所以()(1,10,3k k ⋅=+==-.14.18【解析】设等差数列{}n a 的首项和公差分别为1,a d ，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以n S 可看成关于n 的二次函数，由二次函数的对称性及202426,m S S S S ==，可得20242622m++=，解得18m =.15.④【解析】根据线面的位置关系易知，①②③中面α和面β可能相交也可能平行，④：若m α⊥且m β⊥，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故④正确.16.()3,1--【解析】作出函数()f x 的大致图象，如图所示，令()t f x =，则()()()2[]210f x m f x m --+-=可化为()()()221110t m t m t m t --+-=-+-=，则11t =或21t m =-，则关于x 的方程()()()2[]210f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解等价于()t f x =的图象与直线12,t t t t ==的交点个数之和为5个，由图可得函数()t f x =的图象与直线1t t =的交点个数为2，所以()t f x =的图象与直线2t t =的交点个数为3个，即此时214m <-<，解得31m -<<-.17.【解析】（1）在数列{}n a 中，已知12122log log log 1n n n na a a a ++-==，所以12n na a +=，.即{}n a 是首项为12a =，公比为2的等比数列，所以()1*222n n n a n -=⨯=∈N .（2）由()()32322nn n a n -=-⨯，故()()231124272352322n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，所以()()23412124272352322nn n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，则()23123222322n n n S n +⎡⎤-=+⨯+++--⨯⎣⎦，()()()11212433221053212n n n n n ++-=-+⨯--⨯=-+-⋅-，故()110352n n S n +=+-⋅.18.【解析】（1）解法一：由题，cos cos 2cos a A c C b B +=，由正弦定理得，sin2sin cos sin cos B A A C C =+，.3,,sin2sin 2sin 2cos2422C A B C B A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=++==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1cos2sin cos 2A A A -=+，221sin cos sin cos 2A A A A --=22tan 1tan 1tan 12A A A --=+，化简得2tan 2tan 30A A --=，解得tan 3A =或tan 1A =-（舍去）.解法二：由题，cos cos 2cos a A c C b B +=，由正弦定理得，2sin2sin2sin2B A C =+，即()()()()2sin2sin sin B A C A C A C A C ⎡⎤⎡⎤=++-++--⎣⎦⎣⎦，即()()sin2sin cos B A C A C =+-，又A B C π++=，故()sin sin A C B +=，所以()2sin cos sin cos B B B A C =-，又0B π<<，故sin 0B ≠，所以()2cos cos B A C =-，又A B C π++=，故()cos cos B A C =-+，化简得sin sin 3cos cos A C A C =，因此tan tan 3A C =且tan 1C =，所以tan 3A =.（2）由（1）知tan 3A =，因此()tan tan tan tan 21tan tan A CB AC A C+=-+=-=-，.所以sin 10A =，sin 5B =2sin 2C =，因为,6sin sin a c a A C==，.所以1125sin 612225ABC S ac B ==⨯⨯= .19.【解析】（1）因为,PB PC O =是BC 的中点，所以PO BC ⊥，在直角POC 中，1PC OC ==，所以PO =，在矩形ABCD 中，1,2AB BC ==，所以DO =，又因为2PD =，所以在POD 中，222PD PO OD =+，即PO OD ⊥.而,,BC OD O BC OD ⋂=⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，而PO ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .'（2）由（1）平面PBC ⊥平面ABCD ，且DC BC ⊥，所以DC ⊥平面PBC ，所以DC PC ⊥，即PCD 是直角三角形，因为1PC CD ==，所以13122PDC S =⨯=，又知11212ACD S =⨯⨯= ，PO ⊥平面ABCD ，设点A 到平面PCD 的距离为d ，则A PCD P ACD V V --=，即1133PCD ACD S d S PO ⨯⨯=⨯⨯ ，即1311323d ⨯⨯=⨯⨯所以263d =，所以点A 到平面PCD 的距离为3..20.【解析】（1）由题当1n =时，()111223262a +=-⋅+=，即11a =.()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ ①当2n 时，()211212222526n n n a a a n --+++=-⋅+ ②.①-②得()()()1223262526212nn n n n a n n n +=-⋅+--⋅-=-⋅，所以21n a n =-..（2）由（1）知，212221n an n n b a n -=+=+-，则()()()()3521212325221n n T n -=++++++++- ()()3521222213521n n -=+++++++++-⋅()()212214121232..1423nn n n n +⨯-+-+-=+=-21.【解析】（1）当1a =时，()()111e ln ,e 1x xf x x x f x x--=-+=-+'，所以()()12,11f f '==，.则切线方程为()211y x -=⨯-，.即10x y -+=曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10x y -+=.（2）证明：要证()2f x x >+，即证e ln 2x a x -->，设()eln ,0x aF x x x -=->，即证()2F x >，当0a 时，()()1e 1e ln ,ex a x ax ax F x x F x x x----=-=-='在()0,∞+上为增函数，且()e1x ah x x -=-中，()()0100e 110,1e 1e 10a a h h --=⨯-=-=-->.故()0F x '=在()0,∞+上有唯一实数根0x ，且()00,1x ∈..当()00,x x ∈时，()0F x '<，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，从而当0x x =时，()F x 取得最小值.由()00F x '=，得001ex ax -=，故()()000001eln 2x aF x F x x x a a x -=-=+->.综上，当0a 时，()2F x >即()2f x x >+.22.【解析】（1）由题2,21,2x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t得直线:20l x a -=，.22413sin ρθ=+，即2224cos 4sin ρθθ=+，即曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）由,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得2,,x x y y =⎧⎨=''⎩又2214x y +=，所以()()22214x y +'='，即'2'21x y +=，所以曲线C '的方程是221x y +=，.由1d =得11a -.所以a 的取值范围是[]1,1-.23.【解析】（1）()222f x x x t x x t x t =++-=++-+-，()2222y x x tx x t t t =++-+--=+=+，当2x t -时等号成立，.⋅又知当x t =时，x t -取得最小值，所以当x t =时，()f x 有最小值，此时()min ()25f x f t t ==+=，所以3t =..（2）由（1）知，23a b c ++=，()22141114111162(121)232333a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=++= ⎪⎝⎭，当且仅当333,,824a b c ===时取等号，所以1412a b c ++的最小值为163.。
2023年高考全国乙卷数学(文)真题及答案
=0，
则 x = (a 一 1)x ，即1 = a 一 1 ，解得a = 2 .
故选：D.
一
一
6. 正方形 ABCD 的边长是 2 ， E 是 AB 的中点，则E C E.D = ( )
A.
B. 3
C. 2
D. 5
【答案】B
【解析】
一
一
恳 } 【分析】方法一：以AB AD,
为基底向量表示
再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建
该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2 个边长为 1 的正方形，
其表面积为： 2〉(2〉2 )+ 4〉(2〉3 )_ 2〉(1〉1 ) = 30 .
故选：D.
4. 在 ABC 中， 内角A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，若 acosB _ bcosA = c ，且 C = 冗 ，则 三B = ( ) 5
整理可得 sin B cos A = 0 ，由于 B =(0, π ) ，故 sin B > 0 ，
据此可得cos A = 0, A = ，
则 B=π_A_C=π_ _ = .
故选：C.
x
5. 已知 f(x) =
是偶函数，则 a = ( 一1
)
A. 一2
B. 一1
C. 1
D. 2
【答案】D
【解析】
不
π 大于 的概率为 (
4
A.
) B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.
恳 } 【详解】因为区域 (x, y )|1 共 x2 + y2 共 4 表示以O(0, 0) 圆心，外圆半径 R = 2 ，内圆半径r = 1 的圆环，
2024年高考全国甲卷文数-答案
2024年高考全国甲卷数学（文）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,93．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥−−≤ +−≤ ，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−由5z x y =−可得1155y x z =−，即z 则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线联立43302690x y x y −−= +−= ，解得321x y==，即4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2−B ．73C ．1D ．29A ．14B ．13C ．12D ．236．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16B 2C ．12D ．【答案】A8．函数()2e e sin x x f x x x −=−+−在区间[2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α+=（ ）A ．1B ．1−CD ．1是两个平面，是两条直线，且①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④ 【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α， 当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确； ②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误； ③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ∩=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误； ①③正确， 故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A ．32BC D二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ．13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ．14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ． 【答案】()2,1−【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a −=−−+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+−+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令()2331x x x a −=−−+，即3251a x x x =+−+，令()()32510,g x x x x x =+−+> 则()()()2325351g x x x x x =+−=+−′，令()()00g x x ′=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x ′<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x ′>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==−，因为曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点， 所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈−.答案为：()2,1−三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ；M ABF17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x −<恒成立．【答案】(1)见解析 (2)见解析 18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．由223412(4)x y y k x += =−可得(34+故()(42Δ102443464k k =−+中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为cos 1ρρθ+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a = =+（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值.满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．【答案】(1)见解析 (2)见解析。
八年级上语文数学考试卷
一、语文部分（满分100分，时间60分钟）一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列词语中，字形、字音都正确的一项是（）A. 豁达拂拭荒谬B. 神采奕奕跃然纸上轻歌曼舞C. 畸形残羹剩饭振聋发聩D. 神秘莫测跃然纸上残羹剩饭2. 下列句子中，没有语病的一项是（）A. 由于他的勤奋刻苦，这次考试他取得了优异的成绩。
B. 通过这次活动，使我明白了团结合作的重要性。
C. 为了提高我们的环保意识，我们学校将开展一系列的环保活动。
D. 他的勇敢和智慧，受到了大家的一致好评。
3. 下列加点词的解释正确的一项是（）A. “芳草萋萋”中的“萋萋”表示草长得茂盛。
B. “悠然见南山”中的“悠然”表示悠闲自在的样子。
C. “归园田居”中的“归”表示回到农村。
D. “海内存知己，天涯若比邻”中的“若”表示好像。
4. 下列句子中，修辞手法运用正确的一项是（）A. 夜幕降临，星星像宝石一样镶嵌在夜空中。
B. 春风拂面，像母亲的手抚摸着我的脸庞。
C. 这座山，就像一位巍峨的巨人屹立在那里。
D. 那条河，就像一条巨龙蜿蜒流淌。
5. 下列文学常识表述正确的一项是（）A. 《水浒传》的作者是施耐庵，主要讲述了梁山好汉的故事。
B. 《西游记》的作者是吴承恩，主要讲述了孙悟空取经的故事。
C. 《红楼梦》的作者是曹雪芹，主要讲述了贾宝玉、林黛玉的爱情故事。
D. 《三国演义》的作者是罗贯中，主要讲述了三国时期的历史故事。
二、填空题（每题2分，共20分）6. 《论语》中，“学而时习之，不亦说乎”出自《 ____________》。
7. 《离骚》中，“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”出自《 ____________》。
8. 《庐山谣》中，“青青园中葵，朝露待日晞”出自《 ____________》。
9. 《小石潭记》中，“潭中鱼可百许头，皆若空游无所依”出自《 ____________》。
10. 《醉翁亭记》中，“环滁皆山也，其西南诸峰，林壑尤美”出自《 ____________》。
2023全国二卷文科数学
2023全国二卷文科数学2023全国二卷文科数学试题如下：1. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2,3)，点B的坐标是(4,1)。
过点A和点B作一条直线L1，斜率为m。
若L1与x轴的交点为A'，与y轴的交点为B'，则直线A'B'的斜率是多少？2. 已知正方形ABCD的边长为4 cm。
点M为边AB的中点，点N 为边BC的中点。
连接线段AM和DN，交于点P。
求证：三角形CPM与四边形ABCD的面积之比为$\frac{1}{7}$。
3. 某公司聘请了3名员工，根据他们的任务完成情况，记为A、B、C。
已知A完成任务的概率为0.4，B完成任务的概率为0.6，C完成任务的概率为0.5。
根据公司的要求，他们需要按顺序完成任务，即A在B之前完成，B在C之前完成。
求整个过程中，C是最后一个完成任务的概率。
4. 已知函数f(x)满足$f(x+1)-f(x)=x$，且$f(1)=1$。
定义函数g(x)为求解不等式$f(x)>1$的解的个数。
求g(2023)的值。
5. 已知正方体ABCDEFGH的棱长为10 cm，P为棱BC的中点，Q 为棱CH的中点。
过点Q作平面PQD与棱AE的垂直平分面交于直线l。
求证：直线l与面ABCG的夹角为45°。
6. 在横线上按照一定规律依次写下1、2、3、4、5、6、7、8、9、......。
将所写数序列的前$n$个数作为一个整数，记为$K_n$。
例如，$K_3=123$，$K_6=123456$。
求证：$K_1^2+K_2^2+K_3^2+......+K_n^2<\frac{1}{4}(10^n-1)(10^n+1)$对任意正整数$n$都成立。
7. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像与$x$轴交于两个点，且这两点的纵坐标之和等于3。
求证：对于任意正实数$x$，不等式$15f(x)+4f(1-x)\geqslant 0$都成立。
山东省济宁市数学高二上学期文数第一次月考试卷
山东省济宁市数学高二上学期文数第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x｜x2＋x－2<0｝，集合B={x｜(x＋2)(3－x)＞0｝，则等于（）A . {x｜1≤x<3｝B . {x｜2≤x<3｝C . {x｜－2<x<1｝D . {x｜－2<x≤－1或2≤x<3｝2. （2分）等比数列a1,a2,a3的和为定值m(m>0)，且其公比为q<0，令t=a1a2a3 ，则t的取值范围是（）A .B .C . (0,m3]D .3. （2分）设等差数列的前n项和为，若，则当取最小值时，n等于（）A . 6B . 7C . 8D . 94. （2分）设M是椭圆上的一点，为焦点，且，则的面积为（）A .B .C .D . 165. （2分）已知实数是和的等比中项，则=（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一下·山西月考) 在中，、、分别是角、、的对边，若，则的形状是（）A . 等腰三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形7. （2分） (2016高一下·天全期中) 已知等差数列5，4 ，3 ，…的前n项和为Sn ，则使得Sn最大的序号n的值为（）A . 7B . 8C . 7或8D . 8或98. （2分）在中，“”是“为直角三角形”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件9. （2分） (2016高一下·揭西开学考) 数列{an}满足a1=1，an•an﹣1+2an﹣an﹣1=0（n≥2），则使得ak＞的最大正整数k为（）A . 5B . 7C . 8D . 1010. （2分） (2019高一下·上海期末) 已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则11. （2分） (2020高一下·苍南月考) 若是等差数列，首项，公差，且，则使数列的前n项和成立的最大自然数n是（）A . 4027B . 4026C . 4025D . 402412. （2分） (2016高一下·攀枝花期中) 已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5 ，若存在两项am ， an 使得 =4a1 ，则的最小值为（）A .B .C .D . 不存在二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·重庆期中) 数列，，，，，，，，，，，…，则该数列的第28项为________．14. （1分）若变量x，y满足约束条件，则w=4x•2y的最大值是________15. （1分） (2015高二上·潮州期末) 设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2﹣a5=0，则 =________．16. （1分） (2020高一下·大庆期中) 在中，角所对的边分别为 .若时，则的面积为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2017·高台模拟) 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+a|，（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）若a＞﹣1，且当x∈[﹣a，1]时，不等式f（x）≤g（x）有解，求实数a的取值范围．18. （10分） (2020高二下·丽水期末) 已知数列的前n项和，正项等比数列满足，且是与的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．19. （5分）(2017·常德模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 =0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b= ，a+c=4，求△ABC的面积．20. （10分） (2020高一下·金华月考) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求角A的大小；（2）若，求a的取值范围.21. （10分） (2019高二上·城关月考) 在中，角的对边分别是，且满足.（1）求角的大小；（2）若，边上的中线的长为，求的面积.22. （10分） (2019高二下·诸暨期末) 已知数列满足，且 .（1）设，求证数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和 .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)考点：解析：答案：14-1、考点：解析：考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2022年高考文数真题试卷(全国甲卷)
2022年高考文数真题试卷（全国甲卷）12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出(共12题；共60分) 1．（5分）设集合A={−2，−1，0，1，2}，B={x∣0⩽x<52}，则A∩B=（）A．{0，1，2}B．{−2，−1，0}C．{0，1}D．{1，2}【答案】A【解析】【解答】解：∵A={−2，−1，0，1，2}，B={x∣0⩽x<52}，∴A∩B={0，1，2}.故选：A【分析】根据集合的交集运算即可解出．2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【解答】解：对于A ，讲座前中位数为70%+75%2>70%， 所以A 错；对于B ，讲座后问卷答题的正确率只有1个是80%，4个85%，剩下全部大于等于90%， 所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% ，所以B 对；对于C ，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C 错；对于D ，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20% ， 讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20% ，所以D 错. 故选：B.【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.3．（5分）若 z =1+i ．则 |iz +3z̅|= （ ）A ．4√5B ．4√2C ．2√5D ．2√2【答案】D【解析】【解答】解：因为z=1+i ，所以iz +3z =i (1+i )+3(1−i )=2−2i ，所以 |iz +3z|=√4+4=2√2 ． 故选：D【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念先求得iz +3z =2−2i ，再由复数的求模公式即可求出.4．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】B【解析】【解答】解：由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积V =2+42×2×2=12 .故选：B.【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.5．（5分）将函数 f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0) 的图像向左平移 π2 个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则 ω 的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】C【解析】【解答】解：由题意知：曲线C 为 y =sin [ω(x +π2)π3]=sin (ωx +ωπ2+π3) ， 又曲线C 关于y 轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ，k ∈Z ， 解得ω=13+2k ，k ∈Z ，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为 13 .故选：C.【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得ωπ2+π3=π2+kπ，k ∈Z ，即可求出ω的最小值.6．（5分）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．25D ．23【答案】C【解析】【解答】解：从6张卡片中无放回抽取2张，共有如下15种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，其中数字之积为4的倍数的有其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种情况，故概率为615=2 5.故选：C.【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.7．（5分）函数f(x)=(3x−3−x)cosx在区间[−π2，π2]的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，又x∈[−π2，π2]所以f(x)为奇函数，排除BD；又当x∈(0，π2]时，3x-3-x>0，cosx>0，所以f(x)>0，排除C.故选：A.【分析】由函数的奇偶性排除BD，结合指数函数、三角函数的性质逐项排除C，即可得解. 8．（5分）当x=1时，函数f(x)=alnx+b x取得最大值−2，则f′(2)=（）A．-1B．−12C．12D．1【答案】B【解析】【解答】因为函数f(x)定义域为（0，+∞），所以依题可知，f(1)=-2 ，f'(1)=0，又f′(x)=ax−bx2，则{aln1+b =−2a −b =0，解得{a =−2b =−2 ，所以f′(x )=−2x +2x2，由f'(x)>0，得0<x<1，由f'(x)<0，得x>1，因此函数f(x)在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减， 则当x=1时取最大值，满足题意，即有f′(2)=−1+12=−12． 故选：B.【分析】根据题意可知f(1)=-2 ，f'(1)=0，列式即可解得a ，b ，再根据f'(x)即可解出．9．（5分）在长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，已知 B 1D 与平面 ABCD 和平面 AA 1B 1B 所成的角均为 30° ，则（ ） A ．AB =2ADB ．AB 与平面 AB 1C 1D 所成的角为 30° C ．AC =CB 1D ．B 1D 与平面 BB 1C 1C 所成的角为 45°【答案】D【解析】【解答】解：如图所示：不妨设AB=a ，AD=b ，AA 1=c ，依题以及长方体的结构特征可知， B 1D 与平面ABCD 所成角为∠B 1DB ，B 1D 与平面AA 1B 1B 所成角为 ∠DB 1A ，所以sin30°=c B 1D =bB 1D ，即b=c ，B 1D =2c =√a 2+b 2+c 2 ，解得a=√2c．对于A，AB=a，AD=b ，AB=√2AD ，A错误；对于B，过B作BE∠AB1于E，易知BE∠平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为∠BAE，因为tan∠BAE=ca=√22，所以∠BAE≠30°，B错误；对于C，AC=√a2+b2=√3c，CB1=√b2+c2=√2c，AC≠CB1，C错误；对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为∠DB1C ，又sin∠DB1C=CDB1D=a2c=√22，而0°<∠DB1C<90°，所以∠DB1C=45° ．D正确．故选：D．【分析】先设AB=a，AD=b，AA1=c，再由题意得a=√2c，b=c ，最后根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．10．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S 乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲S乙=2，则V甲V乙=（）A．√5B．2√2C．√10D．5√104【答案】C【解析】【解答】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则S甲S乙=πr1lπr2l=r1r2=2，所以r1=2r2，又2πr1l+2πr2l=2π，则r1+r2l=1，所以r1=23l，r2=13l，所以甲圆锥的高ℎ1=√l2−r12=√l2−(23l)2=√53l，乙圆锥的高ℎ2=√l2−r22=√l2−(13l)2=2√23l，所以V 甲V 乙=13πr 12h 113πr 22h 2=49l 2×√53l 19l 2×2√23l =√10 .故选：C.【分析】设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r 1，乙圆锥底面圆半径为r 2，根据圆锥的侧面积公式可得r 1=2r 2，再结合圆心角之和可将r 1，r 2分别用l 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.11．（5分）已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 13 ， A 1，A 2 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1 ，则C 的方程为（ ）A ．x 218+y 216=1B ．x 29+y 28=1C ．x 23+y 22=1D ．x 22+y 2=1【答案】B【解析】【解答】解：因为离心率e =c a =√1−(b a )2=13，解得b 2a 2=89，则b 2=89a 2 ，记A 1，A 2分别为C 的左右顶点，则A 1（-a ，0），A 2（a ，0）， 又B 为上顶点，所以B （0，b ），所以BA 1→=(−a ，−b )，BA 2→=(a ，−b ) ， 因为BA 1→⋅BA 2→=−1所以-a 2+b 2=-1，将b 2=89a 2代入，解得a 2=9，b 2=8，故椭圆的方程为 x 29+y 28=1 .故选：B.【分析】根据离心率及BA 1→⋅BA 2→=−1，解得关于a 2，b 2的等量关系式，即可得解.12．（5分）已知 9m =10，a =10m −11，b =8m −9 ，则（ ）A ．a >0>bB ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a【答案】A【解析】【解答】解：由9m=10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10 ，即m>lg11，所以a=10m-11>10lg11-11=0．又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9 ，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0 ． 综上，a>0>b ． 故选：A【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 910>1 ，再利用基本不等式，换底公式可得 m>lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．4小题，每小题5分，共20分。
2020全国一卷文数
2020全国一卷文数一、选择题1.若集合A={x|-1≤x<5},B= {x|-2<x< 2},则A∩B=【】 [单选题] *A.{x|-1≤x<2}(正确答案)B. {x|-2<x<2}C. {x|-2<x<5}D. {x|-1≤x<5}答案解析：[考情点拨]本题主要考查的知识点为集合的运算.[应试指导] A∩B={x|-1≤x<2）.2.已知sinα<0且tanα<0,则α是【】 [单选题] *A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(正确答案)答案解析：[考情点拨]本题主要考查的知识点为三角函数的性质.[应试指导]正弦函数值在第三、四象限小于0.正切函数值在第二、四象限小于0,故题中所求角在第四象限。
3.下列函数中，既是偶函数又是周期函数的为【】 [单选题] *A.y = sin2xB.y= x²C.y = tanxD.y=cos3x(正确答案)答案解析：[考情点拨] 本题主要考查的知识点为函数的奇偶性和周期性.[应试指导]选项A.C是奇函数，选项B是偶函数,但不是周期函数,只有选项D既是偶函数又是周期函数。
4.函数y=1+log2x（x>0）的反函数为 [单选题] *A.y= 2^（1-×）（xϵR）B.y= 2^（×-1）（xϵR）(正确答案)C.y =一1十log1/2x（x > 0）D.y=log2x/2（x>0）答案解析：[考情点拨]本题主要考查的知识点为函数的反函数。
[应试指导]已知y=1+log2x,则有log2x=y-1,化简得x=2^（y-1）,故原函数的反函数为y=2^（x-1）（xϵR）.5.函数y=5cos²x一3sin²x的最小正周期为【】 [单选题] *A.4πB.2πC.π(正确答案)D π/2答案解析：[考情点拨]本题主要考查的知识点为三角函数的周期.[应试指导]整理得y=3（cos²xr-sin²x）+2cos²x=3cos2x+cos2x+1=4cos2x+1,故函数的最小正周期为T=2π/2=π6.已知平面α,两条直线L1,L2.设甲:以L1⊥α且L2⊥α;乙:L1//L2,则【】 [单选题] *A.甲是乙的必要条件但不是充分条件B.甲是乙的充分条件但不是必要条件(正确答案)C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案解析：[考情点拨]本题主要考查的知识点为简易逻辑.[应试指导]如果两直线垂直于同一平面，则两直线平行;但是如果两直线平行,这两条直线不一定垂直于同一平面，也可能两直线是在平面内,故甲是乙的充分条件但不是必要条件.7.下列函数中,在（0, +∞）为增函数的是【】 [单选题] *A.y=x²+x(正确答案)B.y= log½xC.y=（1/4）^xD.y=cosx答案解析：[考情点拨] 本题主要考查的知识点为函数的单调性.[应试指导] A项中,y=x²+x=（X+1/2）²－1/4，故函数在（-1/2,+∞）上是增函数，因此函数在（0,+∞）也是增函数8.不等式|x-1|>1的解集为【】 [单选题] *A.{x|x> 2}B.{x|x<0}C. {x| 0<x< 2}D.{x|x<0或x>2}(正确答案)答案解析：[考情点拨]本题主要考查的知识点为绝对值不等式.[应试指导] |x-1|>1⇒x-1>1或x-1<-1,即x>2或x<0，故不等式的解集为{x|x<0或x> 2）.9.已知向量a= （6,0,一3）,b = （一2,9,x）,且a⊥b,则x= 【】 [单选题] *A. -4(正确答案)B.-1C.1D.4答案解析：[考情点拨]本题主要考查的知识点为垂直向量的性质.[应试指导] 由于a⊥b,故有a*b= 6∗（-2）+0∗9+（-3）x=-3x-12=0,解得x=-410.已知函数f（x）=2x+1,则f（2x） = 【】 [单选题] *A.4x²+1B.4x+1(正确答案)C.x+1D.2x+2答案解析：[考情点拨]本题主要考查的知识点为复合函数的计算.[应试指导] f （2x）=2（2x）+1=4x+1.11.（1+i）（1-i） = 【】 [单选题] *A.2(正确答案)B.1C.0D.-1答案解析：[考情点拨] 本题主要考查的知识点为复数的计算.[应试指导] （1+i）（1-i） = 1-i²=1+1=212.甲、乙各进行一次射击,若甲击中目标的概率是0.4,乙击中目标的概率是0.5,且甲、乙是否击中目标相互独立，则甲、乙都击中目标的概率是（） [单选题] *A.0.9B.0.5C.0.4D.0.2(正确答案)答案解析：[考情点拨]本题主要考查的知识点为独立事件概率的性质.[应试指导]甲、乙都击中目标的概率为0.4*0.5=0.2.13.双曲线x²/4-y²/9=1的渐近线方程为【】 [单选题] *A.x/4±y/9=0B.x/9±y/4=0B.x/2±y/3=0(正确答案)B.x/3±y/2=0答案解析：[考情点拨]本题主要考查的知识点为双曲线的渐近线.[应试指导]令x²/4-y²/9=0,得x/2±y/3=0，即双曲线的渐近线为x/2±y/3=014.等差数列{an}中,已知a3+ a5= 2,则a1十a2十a6十a7=【】 [单选题] *A.1B.2C.4(正确答案)D.8答案解析：[考情点拨] 本题主要考查的知识点为等差数列的性质.[应试指导]由等差数列的性质可得a1+a2+a6十a7=a3+a5+a3+a5=2+2=415.过抛物线C:y²=4x的焦点作x轴的垂线,交C于A,B两点，则|AB|=【】 [单选题] *A.2B.4(正确答案)C.4√2D.8答案解析：[考情点拨]本题主要考查的知识点为抛物线的性质.[应试指导]抛物线的焦点坐标为（1,0）,准线方程为x=-1,则A、B两点的距离为A点和B点到准线的距离之和,即| AB |=2+2=4.16.若向量a=（3,4）,则与a方向相同的单位向量为【】 [单选题] *A.（0,1）B.（1,0）C.（3/5,4/5）(正确答案)D.（4/5,3/5）答案解析：[考情点拨]本题主要考查的知识点为单位向量的求法.[应试指导]与向量a方向相同的单位向量为a/|a|=（3,4）/√3²+4²=（3/5,4/5）17.由0,1,2,3四个数字,组成没有重复数字的三位数,共有【】 [单选题] *A.18个(正确答案)B.24个C.48个D.64个答案解析：[考情点拨]本题主要考查的知识点为排列组合.[应试指导]组成的没有重复数字的三位数有C¹3*P²3=3*3*2=18个二、填空题18、圆X²十Y²=5在点（1,2）处的切线的方程为 [填空题]_________________________________(答案：x+2y-5=0)答案解析：本题主要考查的知识点为圆的切线的求法.[应试指导]由题可知切点到圆心所在直线的斜率为子2/1=2,故切线的斜率为一1/2，因此所求切线的方程为y-2=-1/2（x-1）,即 x+2y-5=0.19、已知数列{an}前n项和Sn=2n+1,则a2=______ [填空题]空1答案：2答案解析：[应试指导]a1=S1=2+1=3,故a2=S2-S1=2*2+1-3=220、设球的表面积为4π,则该球的体积为 [填空题]_________________________________(答案：4π/3)答案解析：本题主要考查的知识点为球的体积公式.[应试指导]球的表面积为4πR²=4π，故球的半径为R=1,因此球的体积为4/3πR³=4π/3.21、从某大学篮球队历次比赛得分中，抽取了 8场比赛的得分作为样本，数据如下：88,74,73,87,70,72,86,90, 则该样本的方差为 [填空题]_________________________________(答案：62.25)答案解析：本题主要考查的知识点为样本方差.【应试指导】可求得样本平均数为88+74+ 73+87+70+72+86+90/8=80,因此样本方差为1/8［（88-80）²+（74-80）²+（73-80）²+（87-80）²+（70-80）²+（72-80）²+（86-80）²+（90-80）²］=62.25三、解答题22.已知A,B为⊙O上的两点,且AB=3√3,∠ABO= 30°.求⊙O的半径. [填空题]_________________________________(答案：设⊙O的半径为r,则OA=OB=r.在△AOB中,∠OAB =∠ ABO = 30°,所以∠AOB=120°.由余弦定理得r² +r²-2r²cos120°= (3√3) ,解得r= 3.所以⊙O的半径为3.)23.等比数列{an}中,已知a2+a4=-10.公比q=-1/3.（Ⅰ）求{an}的通项公式___;（II）求{an}的前4项和.___ [填空题]空1答案：an= 27*(-1/3)＾(n-1)空2答案：20答案解析：(I)由已知得a1q+a1q³ =-10,又q=-1/3,所以a1(-1/3-1/27)=-10,解得a1 = 27，所以{an}的通项公式为an= 27*(-1/3)^(n-1)(II)a1+a3 =1/q(a2+a4),又a2+a4 =-10,故a1+a2+a3+a4= 20.所以{an}的前4项和为2024.已知函数f（x）=2x³-3x²+2. （I）求f'（x）; （II）求f（x）在区间[- 2,2]的最大值与最小值. [填空题]_________________________________(答案：( I )f'(x) = 6x²-6x(II)令f'(x) = 0,解得x=0或x=1.因为f(-2) =-26,f(0)=2,f(1)=1,f(2) = 6,所以f(x)在区间[- 2,2]的最大值为6,最小值为-26.)25.已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）,M（0,- 1）和N（√3 ,1/2）为C上两点。
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2015-2016年度第一学期高二期末复习
文科数学试卷
试卷说明：试卷共6页，答卷6页
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分
1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为
A.5
B.4
C.3
D.2
2.
131i
i
+=-（） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --
3.设向量b a ,满足10||=+b a ，6||=-b a
，则=⋅b a （） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
4.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）
A. (1)n n +
B. (1)n n -
C. (1)2n n +
D. (1)
2
n n -
5.在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧 视图可以为
6.已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为
1
2
，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = A.3B.6C.9D.12
7.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为
2
，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为
A.3
B.3
2
C.1
8.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S = （A ）4（B ）5 （C ）6（D ）7
9.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一
组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（） （A ）
310（B ）15（C ）110（D ）120
10.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB
= （A B ）6
（C ）12（D ）11.函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）
（A ）13
(,),44
k k k Z ππ-+∈
（B ）13
(2,2),44k k k Z ππ-+∈
（C ）13
(,),44k k k Z -+∈
（D ）13
(2,2),44
k k k Z -+∈
12.已知函数1222,1
()log (1),1
x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a =-，则(6)f a -=
（A ）74-（B ）54-（C ）34-（D ）1
4
-
二.本大题共四小题，每小题5分。
13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.
14.函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.
15.若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩ ,则z =3x +y 的最大值为．
16.数列}{n a 满足2,11
81=-=
+a a a n
n ，则=1a ________. 三、解答题：
17.（本小题满分12分）
四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；
（2）求四边形ABCD 的面积.
18.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列21211
n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点. （1）证明：PB //平面AEC ；
（2
）设1,AP AD ==，三棱锥P ABD -
的体积V =，求A 到平面PBC 的距离.
20.（本小题满分12分）
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，
未售出的产品，每亏损元。
根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。
经销商为下一个销售季度购进了该农产品。
以（单位：，）表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。
（Ⅰ）将表示为的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于元的概率；
1t 5001t 300130t X t 100150X ≤≤T T X T
57000P
A
B C
D
E
21.（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：
()()
22
231x y -+-=交于M ，N 两点.
（I ）求k 的取值范围；
（II ）若12OM ON ⋅=
，其中O 为坐标原点，求MN .
22.（本小题满分10分）
设12,F F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与
x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .
（1）若直线MN 的斜率为3
4
，求C 的离心率；
（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求,a b .。