福建师大附中高一下学期期中考试数学试题带答案(实验班)

福建师大附中2015-2016学年第二学期期中考试卷
高一数学（实验班）
本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.
一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．与sin 2016最接近的数是（ **** ）
A ．112
B ．12－
C ．22
D ．1－ 2．在四个函数sin ||y x =，cos ||y x =，1||y tanx =
,lg |sin |y x =中，以π为周期，在(0,)2π上单调递增的偶函数是（ **** ）
A ．sin ||y x =
B ．cos ||y x =
C ．1||
y tanx = D ．lg |sin |y x = 3．执行如图所示的程序框图，若输出的5k =，则输入的整数p 的最大值为（ **** ）
A ．7
B ．15
C ．31
D ．63
4．已知x 与y 之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y m 3 5.5 7
已求得关于y 与x 的线性回归方程为 2.10.85y x =+，则m 的值为（ **** ）
A ．1
B ．0.85
C ．0.7
D ．0.5
5．已知地铁每10min 一班，在车站停1min ，则乘客到达站台立即上车的概率是（ **** ）
A ．110
B ．19
C ．111
D ．18 6．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（其中0ω>,||2πϕ<
）图象相邻对称轴的距离为2π，一个对称中心为(,0)6π
-，为了得到()cos g x x ω=的图象，则只要将()f x 的图象（ **** ）
A ．向右平移
6π个单位 B ．向右平移12
π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移12
π个单位
7. 已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是（ **** ）
A ．25
B ．2-5
C ．-2
D ．2 8．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则函数的解析式可以是（ **** ）
A ．2()2cos(3)3
f x x π=+
B ．155()2sin()76f x x π=-
C ．()2sin(3)6f x x π=-
D ．()2sin(3)6
f x x π=-或155()2sin()76f x x π=- 9．函数1()tan()12
f x x x π=+-落在区间(3,5)-的所有零点之和为（ **** ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ **** ）
①平均数3x ≤；②标准差2s ≤；③平均数3x ≤且标准差2s ≤；
④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1.
A .①②
B .③④
C .③④⑤
D .④⑤
11．记sin1log cos1a =，sin1log tan1b =，cos1log sin1c =，cos1log tan1d =，则四个数的大小关系是（ **** ）
A ．a c b d <<<
B ．c d a b <<<
C ．b d c a <<<
D ．d b a c <<<
12．函数()2sin(2)3f x x π=+，()cos(2)2 3 (0)6
g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在 2[0,]4
x π
∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ **** ） A. 4(1,)3 B. 2(,1]3 C. 2[,1]3 D. 4[1,]3 二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）
13．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，已知所取的2瓶全在保质期内
的概率为
351435
，则至少取到1瓶已过保质期的概率为 ***** . 14．已知角α的终边上一点的坐标为22(sin ,cos )33ππ,则角α的最小正值为 ***** . 15．函数2cos2323tan 3tan y x x x =--的定义域为 ***** .
16．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公
式为：弧田面积=1
+2
⨯2（弦矢矢）．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误
差．现有圆心角为23π，弦长等于9米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为 ***** ．
17．已知函数sin()4y x πω=+（0ω>）是区间3[,]4
ππ上的增函数，则ω的取值范围是 ***** . 18．函数cos 2sin y θθ
=+(R θ∈)的值域为 ***** . 三、解答题（本大题共5题，满分60分）
19.（本小题满分12分）已知3tan 2
α=-，α为第二象限角 （1）求3sin()cos()tan()22tan()sin()
παπαπααππα--+-----的值； （2）求
21sin 1sin 1sin 1sin cos 1tan αααα
αα+-+--++的值．
20．（本小题满分12分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，
60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的,x y 的值；
（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均分；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至
少有一人得分在[90,100]内的概率．
21．（本小题满分10分）如图，半径为4m 的水轮绕着圆心O 逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O 距离水面2m ，如果当水轮上点P 从离开水面的时刻（0P ）开始计算时间．
（1）试建立适当的平面直角坐标系，求点P 距离水面的高度y （m ）与时间t （s ）满足的函数关系；
（2）求点P 第一次到达最高点需要的时间．
5 1 2 3 4 5
6
7 8
6
7
8
9 3 4
22.（本小题满分12分）甲、乙两人约定在中午12时到下午1时之间到某站乘公共汽车, 又知这段时间内有4班公共汽车.设到站时间分别为1215：，12:30，1245：，1:00.如果他们约定：
（1）见车就乘；（2）
最多等一辆.试分别求出在两种情况下两人同乘一辆车的概率.假设甲乙两人到达车站的时间是相互独立的，且每人在中午12点到1点的任意时刻到达车站是等可能的.
23.（本小题满分14分）已知函数()sin()f x x b ωϕ=+-(0,0)ωϕπ><<的图像两相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图像先向右平移6
π个单位，再向上平移3个单位，所得函数()g x 为奇函数. （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的对称轴及单调区间；
（3）若对任意0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，2()(2)()20f x m f x m -+++≤恒成立，求实数m 的取值范围.
x y O P P 02福建师大附中2015-2016学年期中考试卷参考答案 高一数学（实验班） 一、选择题： 1-5 BDBDA 6-10 DACCD 11-12 CD
二、填空题
13． __28145_； 14． 116π ； 15． [,],46
k k k Z ππππ-+∈； 16. 27279328π-- ； 17． 159(0,][,]434 ； 18． 33[-,]33
. 三、解答题
19. 解：由3tan 2α=-，α为第二象限角，解得2cos =1313
α－ ……………………2分 （1）原式=(cos )sin (tan )cos (tan )sin αααααα--=--， 故原式=cos α-=212131tan 13
α=+ …………………7分 （2）原式=1sin 1sin 112tan =2cos cos ααααα
+--++=--- ……………………12分 20． 解：（1）由题意可知，样本容量n=
=50， ……………………2分 2y==0.0045010
⨯，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030； ……………………4分 （2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m ，平均分为x ，
则[0.016+0.03]×10+（m ﹣70）×0.040 =0.5，解得70.5m =， ……………………6分 x =（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6， ……………………8分
（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，
分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b 1，b 2．抽取的2名学生的所有情况有21种，
分别为：（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，a 4），（a 1，a 5），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，a 3），
（a 2，a 4），（a 2，a 5），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，a 4），（a 3，a 5），（a 3，b 1），
（a 3，b 2），（a 4，a 5），（a 4，b 1），（a 4，b 2），（a 5，b 1），（a 5，b 2），（b 1，b 2）． ……………………10分 其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：
（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，a 4），（a 1，a 5），（a 2，a 3），（a 2，a 4），（a 2，a 5），（a 3，a 4），（a 3，a 5），（a 4，a 5）．
∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率101112121
p =-=. ……………………12分 21．解：（1）建立如图所示的直角坐标系.
由于水轮绕着圆心O 做匀速圆周运动，可设点P 到水面的距离y (m)与时间t (s)满足函数关系
sin()2,()22
y A t <πϖϕϕπ=++-< 水轮每分钟旋转4圈， 60154T ∴==. 2215T ϖππ∴==. 水轮半径为4 m ，4A ∴=.………………4分 24sin()2,(0)152
y t <ϕϕππ∴=++-<. 当0t =时，0y =.=6ϕπ∴-.24sin()2156y t ππ∴=-+. …………………6分
（2）由于最高点距离水面的距离为6，264sin()2156t ππ∴=-+.2sin()1156t ππ∴-=. 2+21562
t k k Z πππ∴-=π∈（）. 515()t k k Z ∴=+∈. =05(s)k t P ∴=当时，即时，点第一次达到最高点. …………………10分
22. 解：设,x y 分别表示甲、乙两人在[0,60]分钟内到达车站的时刻，
则样本空间={(,)|060,060}x y x y Ω≤≤≤≤ ………………………2分 记事件A 表示“见车就乘，两人同乘一辆车”，
则：{(,)|1515(1),1515(1),0,1,2,3}A x y k x k k y k k =<≤+<≤+=，1()4
P A =
；………………………7分 记事件B 表示“最多等一辆，且两人同乘一辆车”，
则：={(,)|015,030;1530,045;3045,1560;4560,3060;}B x y x y x y x y x y ≤≤≤≤<≤≤≤<≤≤≤<≤<≤ 5()8
P B =
………………………12分 23. 解：（1）2=22ππω⨯，∴=2ω ∴()sin(2)f x x b ϕ=+- ………………………1分 又()sin[2()]36g x x b πϕ=-
+-+为奇函数，且0ϕπ<<，则3πϕ=，3b = ………………………3分 故()sin(2)33f x x π=+
-； ………………………4分 （2）对称轴：122k x ππ=
+，k Z ∈ ………………………6分 增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
； ………………………8分 （3）由于0,
3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故3()13f x ≤≤- 13()13f x ---≤ ………………………10分 2()(2)()20f x m f x m -+++≤恒成立，整理可得1()1()1
m f x f x ≤+--， ………………………12分 由13()13f x ---≤133143()12()13
f x f x --≤+-≤--，故133m --≤ 即m 取值范围是133⎛---∞ ⎝⎦
. ………………………14分。