扩散方程式的推导过程

扩散方程式的推导过程

1 所用到的参数

θ—体积含水率

θs —饱和体积含水率，其取值大约为0.3~0.5 θd —初始体积含水率，其取值大约为0.01

Θ—归一化后的体积含水率，其取值范围为：0~1

m,n —计算水力传导率K 时所需的常数值，其中m=1.5~2.5；n=1/(1-m) D (θ)—扩散系数，取用幂函数的形式，其中取公式中的n=6 f —混凝土的体积孔隙率 x —饱和时试件的吸水高度

t —在压力水头为h 的作用下吸水饱和所用的时间

K s —饱和水力传导率，在混凝土中饱和水力传导率的值可通过计算公式：ht

fx K s 22

=，通过

试验证明，硬化混凝土蒸汽养护条件下的饱和水力传导率的值为1.9*10-11m/s

2 基本公式

扩散系数：n

D D Θ=Θ0)(，其中n=4。

水力传导率：(

)

[

]2

/111)(m

m l

s K K Θ--Θ=Θ，其中常数l =0.5，m 取2。

扩散控制方程：

()()⎪⎭

⎫

⎝⎛Θ-∂Θ∂Θ∂∂=∂Θ∂K x D x t （1） 3 方程式求解

根据有限差分法中的边值问题给出扩散方程的基本解为：Θ(x,t )= Θ(x-Vt )= Θ(ζ),其中ζ=x-Vt 。

则扩散方程(1)的左边可写为：

ς

ςςd d V t d d t Θ

-=∂∂Θ=∂Θ∂ 方程式的右边可以写为：

()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡Θ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Θ-∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ-∂Θ∂Θ∂∂)()(K d d D d d K x d d D x d d K x D x ςθςς

ςθςς 由左边=右边得：

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡Θ-Θ=Θ-)(K d d D d Vd ς

对上式两边积分后得：

)(Θ-Θ

=Θ-K d d D

V C ς

(2)

其中C 为积分常数，于是得出：

)

()()(ΘΘ

-+ΘΘ=ΘD V C D K d d ς (3) 边界条件为：10)(,)(Θ=-∞ΘΘ=∞Θ，x =±∞时，0=Θ

ς

d d 。将这些边界条件代入公式（3）得：

)(0)(1100=Θ+Θ-=Θ+Θ-K V C K V C

通过求解这两个方程可以得出常数C 和V 的表达式为：

101011

001)()()()(Θ-ΘΘ-Θ=

Θ-ΘΘΘ-ΘΘ=K K V K K C

由公式(3)得：

Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ=-d D V C D K d 1

)()

()(ς (4) 对公式（4）两边积分得：

⎰⎰⎰Θ-Θ

--Θ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡ΘΘ-+ΘΘ-Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ=Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ=1

1

0101

1

)()()()()()()()()(d D V C D K d D V C D K d D V C D K ς ，或写成⎰⎰Θ--Θ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ΘΘ-+ΘΘ-Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ=-1

1

1

01)()()()()()(d D V C D K d D V C D K Vt x (5)

4 理论求解结果对比

在已发表的论文中，所提到的扩散控制方程中通常忽略重力的影响。当忽略重力的影响时，

根据方程式(3)可以得出：

)

(ΘΘ

-=ΘD V C d d ς (6) 同理可以得出：

⎰

Θ

ΘΘ-Θ--=-1

)

(5.107d V C D Vt x (7)

在理想状态下，取1,010=Θ=Θ，将其代入C 和V 的表达式得：C =0，V =1.9*10-11m/s 。

表1 水力传导率的计算值

归一化后的含水率 水力传导率

0 0

0.1 1.70341E-12 0.2 4.09753E-12 0.3 6.58468E-12 0.4 8.98931E-12 0.5 1.12288E-11 0.6 1.32598E-11 0.7 1.50596E-11 0.8 1.66174E-11 0.9 1.79302E-11 1

1.9E-11

2E-12

4E-126E-128E-121E-111.2E-111.4E-111.6E-111.8E-112E-110

0.20.40.60.81 1.2 图1 水力传导率随含水率的变化曲线

D 0参考文献《sorptivity and the estimation of water penetration into unsaturated concrete 》可以近似取为8.17*10-9m 2/s 。将D 0和V 、C 的值代入公式(7)后得：

)1(67.71)1(6

0101101

0Θ--=Θ--=Θ-=ΘΘ-=ΘΘ-Θ=-ΘΘ

-Θ⎰⎰n n n n Vn D Vn D d V D d V D Vt x 所以)1(67.7110

9.1611

Θ--⨯=-t x 。

表2 不同时间时归一化含水量随x 变化值

归一化后的含水率 t=38min 时x 的值 t=57min 时x 的值 t=97min 时x 的值

t=208min 时x 的

值

0 -71.66999996 -71.66999994 -71.66999989 -71.66999976 0.1 -71.66992829 -71.66992827 -71.66992822 -71.66992809 0.2 -71.66541308 -71.66541306 -71.66541301 -71.66541288 0.3 -71.61775253 -71.61775251 -71.61775246 -71.61775233 0.4 -71.37643964 -71.37643962 -71.37643957 -71.37643944 0.5 -70.55015621 -70.55015619 -70.55015614 -70.55015601 0.6 -68.32616444 -68.32616442 -68.32616437 -68.32616424 0.7 -63.23809613 -63.23809611 -63.23809606 -63.23809593 0.8 -52.88213948 -52.88213946 -52.88213941 -52.88213928 0.9 -33.58162349 -33.58162347 -33.58162342 -33.58162329