湖北省武汉四中等四所重点中学2016-2017高二数学上学期期末考试试题 理

湖北省部分重点中学2016-2017学年度上学期高二期末考试
数学试卷(理科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 .已知复数32i
z i i
-=-+
，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．设命题p: 2
,2n
n N n ∃∈>,则p ⌝为( ) .
A. 2
,2n
n N n ∀∈> B. 2,2n n N n ∃∈≤ C. 2
,2n
n N n ∀∈≤ D. 2,2n
n N n ∃∈=
3．已知椭圆
22
1102
x y m m +=--,长轴在y 轴上.若椭圆的焦距为4 , 则m 等于( ) . A.4 B.5 C.7 D.8
4.已知3
1(2)n
x x
-的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为（ ）. A.6 B.7 C.8 D.9
5．从1、2、3、4、5中取2个不同的数，事件A=“取到2个数之和为偶数”，事件B=“取到两个数均为偶数”，则()P B A =（ ）. A.
18 B. 14 C. 25 D. 12
6．在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出5个不同的数，则数字5是取出的五个不同数字的中位数的概率为（ ）. A.
956 B. 928
C. 914
D. 59
7. 若把英文单词“error ”中的字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是（ ）. A.20种 B.19种 C.10种 D.9种
8．已知随机变量1(,)3X
B n ,若4
()3
D x =,则(2)P X ==( ) .
A. 1315 B . 281 C. 13243 D.80
243
9．123
2727272727C C C C +++
+除以9的余数为( ) .
A.2
B.4
C.7
D.8 10．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示,则D(X)=( ) .
A.
78 B . 8 C. 16 D.16
11．以下说法正确的是( ) . ①若,x y R ∈,则" x y ="是" 2
(
)2
x y xy +≥"的充要条件. ②命题“已知,x y R ∈，若3x y +≠，则21x y ≠≠或”是真命题
③“2
2x x ax +≥在[1,2]x ∈恒成立” ⇔“对于[1,2]x ∈，有2min max (2)()x x ax +≥”
④命题“若1a =-，则函数2
()21f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题. A. ①② B.①②④ C. ①③ D. ②④
12．已知直线:l
y kx =与椭圆C:22
2
21(0)x y a b a b
+=>
>交于,A B 两点, F 为椭圆C 的左焦点,且
0AF BF =
,若∠ABF (0,
]12
π
∈,则椭圆C 的离心率的取值范围为( ).
A. (0,
2 B. (0,
3 C. []23 D. [3
二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分． 请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
13．已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A 、B 两点，且|AB|=3，则椭圆C 的方程为 ． 14. 已知“x>k ”是“
3
11
x <+”的充分不必要条件，则K 的取值范围是 ． 15．若2923
1112311(1)(3)(2)(2)(2)(2)o x x a a x a x a x a x +-=+-+-+-+
+-，
则1211a a a +++= ．
16.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E （X ）= ．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10 分）命题P ：函数2
2
lg(43)y x ax a =-+-(0)a >有意义, 命题q: 实数x 满足
3
02
x x -<-. (1)当1a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；
（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
18.（本小题满分12分）有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
（1）有男生、有女生且男生人数多于女生； （2）某男生一定要担任数学科代表；
（3）某女生必须包含在内，但不担任数学科代表；
( 4 ) 某女生一定担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.
19．（本小题满分12 分）已知
2
23
(3)n
x x +的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和 的比为32.
（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项.
20．(本小题满分12 分) 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代
数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答. 选题情况如下表：(单位:人）
2
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d -K =++++
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5到7分钟，乙每次解答一道几何
题所用的时间在6到8分钟，现甲乙同解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率。

（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取2人，对她们的答题情况进行全程研究，记丙、丁2名女同学被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E （X ）.
21．(本小题满分12 分) 某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布2
(80,)N σ（满分为100分），已知
(75)0.3,P X <=
(95)0.1P X ≥=，现从该市高三学生中随机抽取3位同学.
（1） 求抽取的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85），[85,95），[95,100）各有一位同学的概率；
（2）记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]内的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).
22．（本小题满分12 分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为0)，椭圆C 经过点P . (1)求椭圆C 的方程;
(2)设直线y kx b =+与椭圆C 交于A,B 两点,若2AB =,△AOB 的面积S=1,求直线AB 的方程.
湖北省部分重点中学2016-2017学年度上学期高二期末考试 数学试卷参考答案(理)
一、选择题BCDCBB BDCDAD 二、填空题13. 2
2
14
3
x y +
= 14. 2k ≥ 15.5 16.
65
三、解答题
17. （1）若a=1时，p=(1,3) q=（2,3).p q ∧为真，则x 的范围（2,3）.……5分
（2）由题可知p 是q 的必要不充分条件，即（2,3）是（a,3a ）的真子集. 所以33
2a a ≥⎧⎨
≤⎩
，解得12a ≤≤。

实数a 的取值范围为[1,2].…10分 18. 解：（1）4132553535()5400C C C C A +=种……3分（2）44
74840C A =种……6分 （3）1444743360C C A =种……9分 （4）313
633360C C A =.种…12分
19. （1）各项系数和为(13)4n
n
+=，二项式系数和为2n
，则22322
n
n =，解得n=5.
……4分 又因为二项式展开式的通项为2
52315
T ()
(3)k k
k k C x x -+=，则二项式系数最大的项为
第三项223
22
6
335
T ()(3)90C x x x ==，第四项22232
23
33
45
T ()(3)270C x x x ==.……8分 （2）1043
15
3,0,1,2,3,4,5k k
k k T C x
k ++==，所以k=2时223
226335
T ()(3)90C x x x ==，
k=5时250
25
10
365
T ()(3)243C x x x ==. ……12分
20. （1）2
2
50(221288) 5.55630203020
χ⨯-⨯=
=⨯⨯⨯>5.024, 根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关。

……3分
（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x,y 分钟，则基本事件满足的区域为
5768
x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩，设事件A 为"乙比甲先解答完此道题"，即x y >.则P （A ）=1
8.……6分
（3）X 的可能取值0，1,2. 226
2
8(),0,1,2k k C C P x k k C -===
15(0)28P x ==
，123(1)287P x ===，1(2)28
P x == 分布列
期望151211
()0122828282
E x =⨯
+⨯+⨯= …12分 21. (1) 1
(8085)(75)0.22
P X P X ≤<=
-<=……2分 (8595)0.30.10.2P X ≤<=-=，(95100)0.1P X ≤<=，……4分
所以所求概率为 3
30.20.20.10.024P A =⨯⨯⨯= ……6分 （2）ξ的可能值为0,1,2,3.则33()(0.4)(0.6),0,1,2,3k k k
P k C k ξ-===. 0
033(0)(0.4)(0.6)0.216P C ξ=== 1123(1)(0.4)(0.6)0.432P C ξ===
2213(2)(0.4)(0.6)0.288P C ξ===
3303(3)(0.4)(0.6)0.064P C ξ===
E(ξ)=00.21610.43220.28830.064 1.2⨯+⨯+⨯+⨯=……12分
22.(1)设椭圆方程为22
221x y a b
+=.(0a b >
>)
2222
22
2224311133414c a a b b x y c a b
⎧
⎪⎧==∴⎪⎪-=⇒=⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩
⎪+=⎩椭圆的方程为……4分 (2)设1122(,),(,)A x y B x y , O 点到AB 的距离为d,则由1
2,2
S AB d ==则d=2,
1=，则221b k =+ . ……①……6分
联立22222
1(14)84404x y k x kbx b y kx b
⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩，即1222
12
28144414kb x x k b x x k -⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，……8分
则122
4
14AB x k =-=+=
把②代入①，化简可以得到4244
10k k -+=，即212k =，且23
2
b =，……11分
则直线AB 的方程为2y x =±……12分。