1.3 第2课 获奖教案 三角形三边的垂直平分线及作图

第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图
1．理解并掌握三角形三边的垂直平分
线的性质，能够运用其解决实际问题；(重点)
2．能够利用尺规作出三角形的垂直平分线．
一、情境导入
现在有A 、B 、C 三个新建的小区，开发商为了方便业主需求，打算在如图所示的区域内建造一座购物中心，要求购物中心到三个小区的距离相等，你能帮购物中心选址吗？
二、合作探究
探究点一：三角形三边的垂直平分线 【类型一】 运用三角形三边的垂直平分线的性质求角度
如图，在△ABC 中，∠BAC ＝
110°，点E 、G 分别是AB 、AC 的中点，DE ⊥AB 交BC 于D ，FG ⊥AC 交BC 于F ，连接AD 、AF .求∠DAF 的度数．
解析：根据三角形内角和定理求出∠B ＋∠C ，根据线段垂直平分线得出AD ＝BD ，AF ＝CF ，推出∠BAD ＝∠B ，∠CAF ＝∠C ，
即可求出答案． 解：在△ABC 中，∵∠BAC ＝110°，∴∠B ＋∠C ＝180°－110°＝70°.∵E 、G 分别是AB 、AC 的中点，DE ⊥AB ，FG ⊥AC ，∴AD ＝BD ，AF ＝CF ，∴∠BAD ＝∠B ，∠CAF ＝∠C ，∴∠DAF ＝∠BAC －(∠BAD ＋∠CAF )＝∠BAC －(∠B ＋∠C )＝110°－70°＝40°. 方法总结：本题考查了等腰三角形的性
质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用．注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【类型二】 运用三角形三边的垂直平分线的性质求线段
如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠
A ＝120°，BC ＝8cm ，A
B 的垂直平分线交B
C 于点M ，交AB 于点
D ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点
E ，求MN 的长．
解析：首先连接AM ，AN ，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，可求得∠B ＝∠C ＝30°.又由AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点E ，易得△AMN 是等边三角形，继而求得答案．
解：连接AM，AN，∵在△ABC中，AB ＝AC，∠A＝120°，∴∠C＝∠B＝30°.∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，∴AN＝CN，AM＝BM，∴∠CAN＝∠C＝30°，∠BAM＝∠B＝30°，∴∠ANM＝∠AMN＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN
＝CN.∵BC＝8cm，∴MN＝8
3cm.
方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．
【类型三】三角形三边的垂直平分线的性质的应用
某公园有海盗船、摩天轮、碰碰
车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票
中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中
心的距离相等，请在图中确定售票中心的位
置．
解析：由三个娱乐项目所处位置到售票
中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、
摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三
边的垂直平分线的交点．
解：如图，①连接AB，AC，②分别作
线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线
相交于点P，则P即为售票中心．
方法总结：此题考查了线段垂直平分线
的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直
平分线的作法．
探究点二：作图
已知线段c，求作△ABC，使AC
＝BC，AB＝c，AB边上的高CD＝
1
2c
.
解析：由题意知，△ABC是等腰三角形，
高把底边垂直平分，且高等于底边长的一
半．
解：作法：1.作线段AB＝c；
2．作线段AB的垂直平分线EF，交AB
于D；
3．在射线DF上截取DC＝
1
2c，连接
AC，BC，则△ABC即为所求作的三角形，
如图所示．
方法总结：已知底边长作等腰三角形
时，一般可先作底边的垂直平分线，再结合
等腰三角形底边上的高确定另一个顶点的
位置．
三、板书设计
1．三角形三边的垂直平分线
三角形三条边的垂直平分线相交于一
点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
2．作图
本节课学习了用尺规作三角形，作图时要学会分析．一般先画一个满足题目已知条件的草图，有时结合基本作图和已知条件可作一个与求作三角形相关联的三角形，然后应用有关条件结合基本作图作出其余的图形.第2课时 三角形三条内角的平分
线
1．在角平分线的基础上归纳出三角形
三条内角的平分线的相关性质；(重点)
2．能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题．(难点)
一、情境导入 从前有一个老农，他有一块面积很大的三角形土地，其中BC 边紧靠河流，他打算把这块土地平均分给他的两个儿子，同时每个儿子的土地都要紧靠河流，应当怎样分？
二、合作探究 探究点：三角形角平分线的性质及应用 【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数
在△ABC 中，点O 是△ABC 内一
点，且点O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝70°，则∠BOC 的度数为(
)
A ．110°
B ．125°
C ．130°
D ．140°
解析：由已知，O 到三角形三边的距离相等，所以O 是内心，即三条角平分线的交点AO ，BO ，CO 都是角平分线，所以有∠CBO ＝∠ABO ＝1
2
∠ABC ，∠BCO ＝∠ACO
＝1
2∠ACB ，∠ABC ＋∠ACB ＝180°－70°＝110°，∠OBC ＋∠OCB ＝55°，∠BOC ＝180°－55°＝125°，故选B.
方法总结：由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数．
【类型二】 三角形内外角平分线的应用
如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相
互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？
解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处；(2)作出相交组成的角平分线，平分线的交点就是所求的点．
解：(1)可选择的地点有4处，如图：
P 1、P 2、P 3、P 4，共4处； (2)能．如图，根据角平分线性质作三直线相交的角平分线，平分线的交点就是所求的点．
方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线或两外角平分线的交点，这一结论在以后的学习中会经常遇到．
三、板书设计
三角形三条内角的角平分线
三角形的三条内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练.。