上海市延安中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

上海市延安中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试

卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．抛物线22x y =的焦点坐标是．

2．直线310x y +-=与270x y -+=的夹角大小为.

3．双曲线22

145

x y -=的离心率是. 4．已知圆锥的母线长为3，底面半径为2，则圆锥的体积为．

5．已知椭圆2212516x y +=与双曲线22

15x y m -=有共同的焦点，则m =． 6．抛物线24y x =的准线与圆222x y +=相交于A 、B 两点，则AB =． 7．过点(5,3)作圆22(3)4x y -+=的切线，则切线的方程为.

8．与双曲线22

1916x y -=有共同渐近线，且经过点(A -的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为.

9．动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点． 10．已知直线1:2160l x y --=和直线2:10l x +=，则抛物线24y x =上的动点P 到直线1l 和2l 的距离之和的最小值为.

11．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.

给出下列三个结论：

①曲线C 关于直线y x =对称；

②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；

③C 在此正方形区域内（含边界）.

其中，正确结论的序号是.

12．若实数x ，y 满足

||||149

x x y y +=，且|32|x y t +-的最大值为t 的值是.

二、单选题

13．下列命题中，是假命题的为（ ）

A ．垂直于同一平面的两条直线平行

B ．平行于同一平面的两个平面平行

C ．平行于同一直线的两个平面平行

D ．垂直于同一直线的两个平面平行 14．如果直线l 经过双曲线229436x y -=的中心，且与该双曲线不相交，则l 的斜率的取值范围是（ ）

A ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

B ．33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭

C ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D ．3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 15．命题p ：直角坐标系中动点(),P x y 到定点()2,0F 的距离比到y 轴的距离大2；命题q ：动点(),P x y 的坐标满足方程28y x =．则p 是q 的（ ）条件

A ．充分不必要

B ．必要不充分

C ．充要

D ．既不充分也不

必要

16．已知结论：椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的面积为πS ab =．如图，一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E ．若圆柱底面圆半径为r ，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为π02θθ⎛⎫<< ⎪⎝

⎭，则下列对椭圆E 的描述中，错误的是（ ）

A ．短轴为2r ，且与θ大小无关

B ．离心率为cos θ，且与r 大小无关

C ．焦距为2tan r θ

D ．面积为2

πcos r θ

三、解答题

17．已知：抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线:22l y x =+与抛物线

相交于两点,A B ，且5AB =，求抛物线C 的方程．

18．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线40x -=相切．

(1)求圆O 的方程．

(2)直线:3l y kx =+与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，

P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，P A =AD =CD =2，BC =3.E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13

PF PC =.

(1)求证：CD ⊥平面P AD ；

(2)求二面角F AE P --的余弦值.

20．已知点(A 在双曲线22

2

:14x y C m -=的图像上． (1)若点D 为双曲线C 上一动点，点()0,1B 为直角坐标系内一定点，求BD 中点P 的轨迹方程；

(2)是否存在这样的双曲线S ，它与双曲线C 有相同的渐近线，且点()5,0Q 到S 上的动点

R S 的方程；若不存在，请说明理由．

21．已知椭圆E ：2

214

x y +=，A ，B ，C 是椭圆E 上三个不同的点，原点O 为ABC V 的重心.

(1)求椭圆E 的离心率；

(2)如果直线AB 和直线OC 的斜率都存在，求证AB OC k k ⋅为定值；

(3)试判断ABC V 的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.