山东省曲阜师范大学附属中学2015-2016学年高二数学下学期第一次质量检测(4月月考)试题 文

2015-2016学年山东省曲阜师范大学附属中学高二下学期第一次质量检测（4月月
考）数学文试题
分值：150分 考试时间：120分钟
参考公式：1.回归方程a x b y
ˆˆˆ+=中，()(
)()
2
1
21
1
2
1
ˆ∑∑∑∑====--=
---=n
i i
n
i i
i
n
i i
n
i i i
x
n x
y
x n y
x x
x
y
y x x
b ，x b y a
ˆˆ-=. 2.2
K 的观测值()()()()()
,2
d b c a d c b a bc ad n k ++++-=其中d c b a n +++=.
临界值表:
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.用反证法证明命题“设b a ,为实数，则函数()b ax x x f ++=3
至少有一个极值点”时，要作
的假设是
A.函数()b ax x x f ++=3
恰好有两个极值点 B.函数()b ax x x f ++=3
至多有两个极值点
C.函数()b ax x x f ++=3
没有极值点 D.函数()b ax x x f ++=3
至多有一个极值点
2.在以下所给函数中，存在极值点的函数是 A.x e y x
+= B.x
x y 1ln -
= C.3
x y -= D.x y sin = 3.已知二次函数()c bx ax x f ++=2
的图象开口向下,且顶点在第一象限,则它的导函数()x f y '=的大致图象是
()()k x k x 2++，且()80='f ，则=k A.2 B.2- C.2± D.1±
5.函数()x x x f 33
-=在区间[]2,1-上的最大值和最小值分别为
B C D
A.2和2-
B.2和0
C.0和2-
D.1和0 6.下列说法正确的个数有
①用()()
∑∑==---
=n i i
n
i i i y
y
y y R 1
2
1
22ˆ1刻画回归效果,当2R 越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好；
②可导函数()x f 在0x x =处取得极值，则()00='x f ；
③归纳推理是由特殊到一般的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理； ④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.某产品的广告费用x 与销售额y 的不完整统计数据如下表：
若已知回归直线方程为69ˆ-=x y
,则表中m 的值为 A.40 B.39 C.38 D.37
8.与曲线e
x y 3=相切于点()2
,e e P 处的切线方程是
A.0232
=-+e y ex B.0232
=--e y ex
C.(
)
0233
22
=-++-e e y x e e D.(
)
0233
22
=-+--e e y x e e
9.已知函数()12
1312
34
++-
=x mx x x f 在()1,0上是单调递增函数,则实数m 的最大值为 A.4 B.5 C.5
29
D.6
10.已知定义在()+∞,0上的函数()x f 的导函数为(),x f '且满足()(),2x f x f x >'若0>>b a ,则 A.()()b f a a f b 2
2
< B.()()b f a a f b 2
2
>
C.()()b f b a f a 2
2
< D.()()b f b a f a 2
2
>
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.若函数()x bx x x f ++=2
3
恰有三个单调区间，则实数b 的取值范围为 ▲ ;
12.观察下列等式：①
21211=⨯；②32321211=⨯+⨯；③4
3431321211=⨯+⨯+⨯；... 请写出第n 个等式____ _▲_ _____;
13.为了判断高中学生的文理科选修是否与性别有关，随机调查了50名学生，得到如下22⨯列联表：
那么，认为“高中学生的文理科选修与性别有关系”犯错误的概率不超过 ▲ ;
14.边长为x 的正方形的周长()x x C 4=,面积()2
x x S =，则()x x S 2='，因此可以得到有关正方形的如下结论:正方形面积函数的导数等于正方形周长函数的一半.那么对于棱长为x 的正方体,请你写出关于正方体类似于正方形的结论： ▲ ;
15.若直线kx y =与曲线x y ln =有两个公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 已知函数()()x
e
x x f --=1.
（I ）求)(x f 的单调区间； （II ）若对[)+∞∈∀,0x ,都有()21
c
x f ≤,求实数c 的取值范围.
17.（本小题满分12分）
一款底面为正方形的长方体无盖金属容器(忽略其厚度)，如图所示， 当其容积为3
500cm 时,问容器的底面边长为多少时,所使用材料最省？
18.（本小题满分12分）
下表是某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)的几组对照数据
（I ）请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=； 总计
第17题图
（II ）根据（I ）求出的线性回归方程，预测该设备使用8年时,维修费用是多少? (参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=)
19.（本小题满分12分）
已知函数()d cx bx ax x f +++=2
3
图象与y 轴交点坐标为()4,0，其导函数()x f y '=是以y 轴为对称轴
的抛物线，大致图象如右下图所示. （I ）求函数()x f 的解析式； （II ）求函数()x f 的极值.
20.（本小题满分13分）
已知函数()().1,ln -==x x g x x f （I ）当1≠x 时，证明:()();x g x f < （II ）证明不等式().1ln 23ln 2ln n n
n <++++
21.（本小题满分14分） 已知函数()a x x x x f +-+=
22
1312
3的图象在与y 轴交点处的切线方程为1+=bx y . （I ）求实数b a ,的值; （II ）若函数()()()()
12212
1
22----+
=x m x m x f x g 的极小值为310-,求实数m 的值;
（Ⅲ）若对任意的[]()21210,1,x x x x ≠-∈，不等式()()2121x x t x f x f -≥-恒成立，求实数t 的取值范围.
曲阜师大附中2014级高二下学期第一次教学质量检测
数学（文科）试题 参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
()x
第19题图
11.3-<b 或3>b ； 12.
()1
11321211+=
+++⨯+⨯n n
n n ； 13.005.0； 14.正方体体积函数的导数等于正方体表面积函数的一半； 15.e
k 1
0<
<. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 解:（I ）()x e
x
x f -=
'2,………………………………………………………………2分 由(),0>'x f 得;2<x 由(),0<'x f 得,2>x
()x f ∴的单调递增区间为(),2,∞-单调递减区间为()+∞,2. …………………6分
（II ）由（I ）知,()x f 在区间()2,0单调递增,在区间()+∞,2单调递减, …………8分 ()()2max 1
2e
f x f =
=∴,……………………………………………………………10分 ,112
2c
e ≤∴
2
2e c ≤且0≠c . ∴实数c 的取值范围为e c e ≤≤-且0≠c .………………………………………12分 17.（本小题满分12分）
解：设长方体底面边长为cm x ，高为cm y ，
则,500
,50022
x
y y x =
=…………………………………………………………2分 那么，长方体的表面积（不包括上底面）为
()0,2000
422>+
=+=x x
x xy x x S ……………………………………6分 ()()
2
321000
220002x
x x x x S -=-='， 令(),0='x S 得,10=x ……………………………………8分
当100<<x 时，();0<'x S 当10>x 时，().0>'x S
因此，10=x 是函数()x S 的极小值点，也是最小值点. ……………………10分 答:当容器底面边长为cm 10时,所使用材料最省. …………………12分 18.（本小题满分12分） 解: （I ）5.446543=+++=
x ,,5.34
5
.4435.2=+++=y ………………………4分
()()
7.05.446543
5.35.445.4645345.23ˆ2
2222
=⨯-+++⨯⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∴b
,……………………8分
,35.05.47.05.3ˆ=⨯-=a
∴所求线性回归方程为35.07.0ˆ+=x y
.……………………………………10分 （II ）将8=x 代入回归方程,得95.535.087.0ˆ=+⨯=y
(万元). 答:可预测该设备使用8年时,维修费用大约为95.5万元. ………………12分 19.（本小题满分12分）
解: （I ）()c bx ax x f ++='233
,由题意,得()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='=-'==4
0,02,0,40f f b f ………………2分
解之,得.4,4,0,3
1=-===
d c b a 所以,().4431
3+-=x x x f ………………6分
（II ）()42
-='x x f ,令()0='x f ,得2=x ,或2-=x . ………………8分
当x 变化时,()()x f x f ,'变化情况如下表：
因此，()=极大值x f ()3282=-f ，()=极小值x f ()3
4
2-=f . ………………12分 20.（本小题满分13分）
证明:（I ）设()()(),1ln +-=-=x x x g x f x F (),111x
x
x x F -=-=
' ……………………………………3分 当10<<x 时,();0>'x F 当1>x 时,();0<'x F
∴()x F 在()1,0上单调递增,在()+∞,1上单调递减, …………………………5分 ∴当1≠x 时,()()01=<F x F ,01ln <+-x x ,,1ln -<x x 即()()x g x f <.……7分
（II ）由（I ）可知,当1>x 时,
11ln <-x x
, ……………………………………10分 分别令n x ,,3,2 =,可得(),11ln ,123ln ,112ln <+<<n
n …………………12分
将这n 个不等式相加,得().1ln 23ln 2ln n n
n <++++ …………………13分
21.（本小题满分14分）
解:（I ） 函数()x f 的图象在与y 轴交点为()a ,0,∴1=a ,
又()22
-+='x x x f ,().20=='∴b f ……………………………………4分
（II ）由（I ）得(),12213123+-+=
x x x x f (),22
31223x m x m
x x g -+= ()()()m x m x m mx x x g -+=-+='∴222
2
(1)当0=m 时,()02
≥='x x g 恒成立，不存在极值； ………………………6分
(2)当0<m 时,由(),0>'x g 得m x <或m x 2->,由(),0<'x g 得,2m x m -<< ()x g ∴在()()+∞-∞-,2,,m m 上单调递增,在()m m 2,-单调递减, ()=∴极小值x g (),3
10
31023-==
-m m g ;1-=m ………………………8分 (3)当0>m 时,由(),0>'x g 得m x 2-<或m x >,由(),0<'x g 得,2m x m <<- ()x g ∴在()()+∞-∞-,,2,m m 上单调递增,在()m m ,2-单调递减, ()=∴极小值
x g (),310673-=-=m m g .7
980
72033==m
综上所述,实数1-=m 或.7
980
3
=
m ……………………………………10分 （Ⅲ）对任意的[]()21210,1,x x x x ≠-∈，不等式()()2121x x t x f x f -≥-恒成立， 则()()2
121x x x f x f t --≤
任意的[]()21210,1,x x x x ≠-∈恒成立,
又在区间()0,1-上一定存在0x ,使()=
'0x f ()()2
121x x x f x f --,…………………12分 而在区间()0,1-上,()202
00-+='x x x f 的值域为⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡--
2,45 即
()()⎥⎦
⎤
⎝⎛∈--45,22
121x x x f x f 所以,.2≤t ……………………………………14分。