结构力学：第六章 结构位移计算

δWe δWi
需注意：
——这就是虚功方程。 （证明略）
⑴ 外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；
§6-2 变形体系的虚功原理
⑵ 位移必须满足虚位移的条件——满足约束条件 的非常微小的连续位移；
⑶ 外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。平 衡的外力系与相应的内力是力状态；符合约束条件的微 小位移与相应的变形是位移状态。力状态的外力在位移 状态的位移上做功之和(外力虚功)等于力状态的内力在位 移状态的变形上做功之和(内力虚功)。
内力虚功
若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功 是虚功，其为
dwi FNd FSd Md
对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得：
Wi FNd FSd Md
s
s
s
d , d 和 d 的具体表达式要视引起这个变形的具体
原因而定。
§6-2 变形体系的虚功原理 回顾
（1）质点系的虚功原理
具有理想约束的质点系，在某一位置
处于平衡的必要和充分条件是：
FN1
FP1
对于任何可能的虚位移，作用于质
点系的主动力所做虚功之和为零。也 即
Σ→fi .δr→i=0
FP 2
m 1
m 2
FN 2
§6-2 变形体系的虚功原理
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。 两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一 定有变形。
§6-1 概述
2. 位移的分类
P
A
A
Ay
A
位移
线位移 转角位移
Ax
A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
§6-1 概述
C'
CV C D
CDV
DV
D'
A
B
C'
C
D
D'
CD
A
B
截面C、D 的相对竖向 线位移为 :
CDV CV DV
截面C、D 的相对角位移为:
ΔCD C D
§6-1 概述
3.位移产生的原因
A
引起结构位移的原因
P
Ay
A A
荷载 温度改变
Ax
支座移动
制造误差,材料收缩
等
t
§6-1 概述
二、计算位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600 跨度； 高层建筑的最大位移<1/1000 高度。
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所 建立虚功方程表达的是位移协调条件，从中可求出 位移状态中的一些未知位移。这就是虚力原理(也称 为余虚功原理)。
§6-2 变形体系的虚功原理
例如：应用虚位移原理求支座C的反力FC。
A
FC
B
D
F
E
a
a
a a /2 a /2
F
F
A
B
C
DE
FC
撤除与FC相应的约束, 将FC变成主动力，取与FC 正向一致的刚体位移作为虚 位移。
§6-1 概述
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
§6-1 概述
四、 计算方法
1.几何法
研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式 的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复 杂的杆系不适用）。
〈 2. 功能法
虚功原理
应变能(卡氏定理)
本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。
§6-2 变形体系的虚功原理
一、基本概念
1.外力的实功
实功： 力在其本身引起的位移上所作的功。
位移Δ是由外力F引起的，F 做的功可表示为:
最大层间位移<1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向静活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度<1/700 和1/900跨度
§6-1 概述
(2) 超静定结构、动力和稳定计算的基础
超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须 考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。
(3）施工要求
在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置， 以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要求。
广义力 ——与广义位移对应的就是广义力，可 以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相 反的力或力偶，也可以是一组力系。
注意：广义位移与广义力的对应关系，能够 在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组广 义位移对应的广义力。
§6-2 变形体系的虚功原理
4.内力功
定义：从杆上截取一微段,作用在该微段上的内力 在该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。
用虚功原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状态 （称力虚设状态），要使虚拟力的虚功正好等于所求位移， 可接右图选取虚拟状态，用虚拟力为单位力，故称为单位 荷载法。
外力虚功: W外 FKK R1C1 R2C2 R3C3
内力虚功: W内 FNdu Md Fsrds
由虚功方程： ΔK＝ FNdu Md Fsrds－ RC
第六章 结构位移计算
§6-1 概 述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理
§6-1 概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures) 1. 结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它 因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动 的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。
对于任何可能的虚位移，作
用于刚体系的所有外力所做虚
功之和为零。
ΔP
-FP ΔP +FB ΔB=0
FAx F Ay
FP ΔB
FB
§6-2 变形体系的虚功原理
二、虚功原理
1. 变形体的虚功原理
设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由 于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位移时，则外力 系在位移上做的虚功的总和δWe，等于变形体的内力在变形 上做的虚功的总和δWi，即，
⑷ 对于两个相互无关的力状态和位移状态的，可以虚 设其中一个状态，让另一实际状态在此虚设状态下做功， 列出虚功方程，可以求解不同的问题。
§6-2 变形体系的虚功原理
解释： 两种状态
力状态 （虚力状态） 位移状态 （虚位移状态）
FP
q
FP /2
FP /2
无关
（虚）力状态
（虚）位移状态
注 （1）属同一体系；
静定和超静定结构； 3. 材料性质：线性、非线性； 4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；
5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移 和相对角位移。
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 试确定指定广义位移对应的单位广义力
A
F=1
(a)
A ?
F=1 B
A F=1
(b)
AB ?
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
γ
FN
FN
dη
dθ
S
FS
ds
M
M
d s+d λ
ds
ds
该微段上相应的变形为
轴向变形 弯曲变形
d
ds
1 k d
ds
剪力变形 d
ds
§6-2 变形体系的虚功原理
内力实功
如果变形就是由此内力引起的，则此微段上内
力功应为实功，其为轴力、剪力和弯矩分别做的功
之和： 因为
dw
1 2
FN
d ds
d
1 2
FS
d
d ds
1 Md
2
d kds
1
ds
所以
dw
1 2
FNds
1 2
FSds
1 2
Mκds
由胡克定律有：
FN , FS , 1 M
EA
GA EI
故
dw 1 FN2 ds 1 FS2 ds 1 M 2 ds
2 EA 2 GA 2 EI
实功数值上就等于微段的应变能。
§6-2 变形体系的虚功原理
W F 'dΔ' 0
F
F
A
l
F'
O 'd ' B F
§6-2 变形体系的虚功原理
设线弹性材料的弹性系数为k，则
F
F ' kΔ'
F
A
l
F'
所以
O 'd ' B F
W kΔ'dΔ' 1 kΔ2 1 FΔ F 2
0
2
2
2k
实功的数值就等于图上三角形OAB的面积。实 功是外力的非线性函数，计算外力实功不能应用 叠加原理。
§6-2 变形体系的虚功原理
2.外力的虚功
虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功， 即做功的力系和相应的位移是彼此独立无关的。
F
F
A
t
l
δW FΔt F
t
O
B
t
虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。
虚功中的力与位移两者相互独立，计算外 力虚功可应用叠加原理。
§6-2 变形体系的虚功原理
例 F1力在其引起的位移Δ11 上作的功为实功为
意 （2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件, 力状态应满足平衡条件。
： （3）位移状态与力状态完全无关；
§6-2 变形体系的虚功原理
2.杆系结构虚功方程
Wi FNd FSd Md
s
s
s
We Wi
以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因 此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也 适用于一切非线性结构。
F=1 A
(c)
A ?
A
B
F=1
F=1
(d)
AB ?
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
F1 d
C
d
A
B
F1
d
1
d1
C
1 d1 A
d1 1 d2
B1
d2
d2
(e)
BC
?
W外
1 d
B
1 d
C
B
C d
BC
(f)
? AB AC
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
F=1 A
F=1 C
希望能很好理解，尽可能达到掌握！
§6-2 变形体系的虚功原理
3. 虚功原理的两种应用
虚位移一原个理力系平衡的充分必要条件是：对任 意协调位移，虚功方程成立。
令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立 的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实 际力系中的未知力。这就是虚位移原理。
虚力原一理个位移协调的充分必要条件是：对任意 平衡力系，虚功方程成立。
此式即为平面结构位移计算一般公式。
若结果为正，说明 FK 1 在 K 上做正功，这表明的实际
方向与方向相同。若结果为负，说明 ，这表明的实际方向与方向相反。
FK
1在
K 上做负功
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
几点说明：
(1) 所建立的虚功方程 ，实质上是几何方程。 (2) 虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广
(g)
B AB ?
F=1 F=1
(h)
C 左右 =？
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
荷载作用引起的位移计算
外力虚功
W FKK FR1c1 FR2c2 FR3c3 1• K FRc
变形虚功
Wi F Ndu Md Fs ds
s
s
s
由虚功原理有：W= Wi
ΔKP
等号左侧是虚设的单位外力在实际的位移上所做的 外力虚力，右侧是虚设单位力状态的内力在实际位移状 态的变形上做的内力虚功之和。
F1
1 W 2 F1 Δ11
1
2
11
21
F1
1 11 12
F2 2 21
22
力F1在力F2引起的位移Δ12上作的功为虚功为
δW F1Δ12
§6-2 变形体系的虚功原理
3.广义位移和广义力
广义位移 ——结构产生的各种位移，包括截面的 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一 组位移等等都可泛称为广义位移。
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为Maxwell-Mohr Method。
图示结构，要求 K
K =?
实际状态 位移状态
虚拟状态 力状态
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
义力 P=1
(3) 求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。 特点: 是用静力平衡法来解几何问题。
总的来讲： 单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
几何方程
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 一般公式的普遍性表现在：
1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等； 2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；
列出虚功方程：
A
δB δ C
δD δE
B
C
DE
FC δC F δB FδE 0
即
FC
δC
F
(
1 2
δC
)
F
(
3 4
δC
)
0
故
5 FC 4 F
注意: 虚位移原理写出的虚功方程是一个平衡 方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。
§6-2 变形体系的虚功原理
例：当A支座向上移动一个
A'
已知位Байду номын сангаасc1，求点B产生的竖向
位移⊿。
c1
A
a
C
B
△
b
在拟求线位移的方向加单位力
由平衡条件 F yA b a
A F yA
1
C B
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚
功方程
Δ1 c1 F yA 0
求得
Δ
c1 F yA
c1 (
b) a
b a
c1
()与单位力方向相同。
注意：虚力原理写出的虚功方程是一个几何方 程，可用于求解几何问题。