北师大版初中九年级上册数学 《认识一元二次方程》一元二次方程PPT(第1课时)
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与宽各增加了多少？
90+2x
40+2x
本题涉及两个基本量：油画 的面积与整个挂图的面积．
利用长方形的面积公 式和油画面积与整个
解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40. 挂图面积之间的关系
列方程
总结
知3－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要 根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐 含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润 公式等)进行列方程．
知3－练
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计， 2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年 均增长率为x，则下列方程中正确的是( ) A．20(1＋2x)＝28.8 B．28.8(1＋x)2＝20 C．20(1＋x2)＝28.8 D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
式方程；④未知数的最高次数是3；⑤整理后二次
项系 数为零．
总结
知1－讲
一元二次方程的识别方法： 整理前：①整式方程，②只含一个未知数； 整理后：未知数的最高次数是2.
知1－练
1 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( )
A．ax2＋b1x＋c＝0
B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋ x ＝2
D．x2－x－2＝0
知3－练
2 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润10万元，由于产品畅
销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份 利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满 足的方程为( ) A．10(1＋x)2＝36.4 B．10＋10(1＋x)2＝36.4 C．10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝36.4 D．10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝36.4
c的值分别是( )
A．1，－3，10
B．1，7，－10
C．1，－5，12
D．1，3，2
知2－练
2 关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋|m|－1＝0
的常数项为0，则m等于( )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．0
知3－讲
知识点 3 利用一元二次方程建立实际问题模型
1. 一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世 界的一 个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系 通过设未知数用一元二次方程来表达．
2. 常用一元二次方程来建模的问题有：图形的面 积、增长(利润)率、行程问题、工程问题等．
例3 小雨在一幅长90 cm，宽40 cm的油画四周外围镶上一条宽
度相同的边框，制成一幅挂图并使油画画面的面积是整 个挂图面积 的54%，设边框的宽度为x cm，根据题意，列 出方程．
知3－讲
在油画四周外围镶x上宽度为x 90 cm的边框，则整个挂图4的0 长
你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗？如果设梯 子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？
知识点 1 一元二次方程的定义
议一议
由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (8－2x)(5－2x)＝18， x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2， (x＋6)2＋72＝102.
这三个方程有什么共同特点？
2 若方程(m－1)x|m|+1－2x＝3是关于x一元二次方程
，则( )
A．m＝1
B． m＝－1
C． m＝±1
D．m≠±1
知识点 2 一元二次方程的一般形式
知2－讲
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过 整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0 (a≠0)这种形 式叫做一元二次方程的一般形式 .
第二章 一元二次方程
认识一元二次方程
第1课时
1 课堂讲解 一元二次方程的定义
一元二次方程的一般形式
2 课时流程 利用一元二次方程建立实际问题模型
逐点 Байду номын сангаас讲练
课堂 小结
作业提 升
幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中 间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度 都相同，你能求出这个宽度吗？ 如果设所求的宽度为x m， 那么你能列出怎样的方程？ 观察下面等式：
一元二次方程的项和各项系数
二次项系
一次项系数
数 a≠0
a x²+b x+ c =0
二次项 一次项
知2－讲
常数项
知2－讲
例2 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一 般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数
和常数项． 解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2－8x－10＝0. 其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项 为－10.
＝2；
知1－讲
③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；
⑤2x2－3x＝2(x2－2)，是一元二次方程的有(
A )
A．1个 B. 2个 C．3个 D．4个
导引：要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程
及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一
元二次方程的条件．①中有两个未知数；②不是整
总结
知2－讲
(1)ax2＋bx＋c＝0，当a≠0时，方程才是一元二次方程，但b，c可以是0. (2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、去括号、移项、 合并同类项等步骤． (3)指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；指出某项系数时应连 同它前面的符号一起.
知2－练
1 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，
102＋112＋122＝132＋142.
你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方 和等于后两个数的平方和吗？
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那 么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意， 你能列出怎样的方程？
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子 的底端滑动多少米？
判别一元二次方程的“两方法”： (1)根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含有一
个未知数；三是未知数的最高次数是2. (2)根据一般形式要把握两点：一是能化成ax2＋bx＋c
＝0的形式，且a一定不能为0，而b，c都可以为0； 二是判断是否为一元二次方程与其解的情况无关．
知1－导
知1－讲
1.定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都 可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形 式，这样的方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的识别方法：整理前是整式方程 ，且只含一个未知数；整理后未知数的最高次数是2.
例1
下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋
1 x
90+2x
40+2x
本题涉及两个基本量：油画 的面积与整个挂图的面积．
利用长方形的面积公 式和油画面积与整个
解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40. 挂图面积之间的关系
列方程
总结
知3－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要 根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐 含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润 公式等)进行列方程．
知3－练
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计， 2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年 均增长率为x，则下列方程中正确的是( ) A．20(1＋2x)＝28.8 B．28.8(1＋x)2＝20 C．20(1＋x2)＝28.8 D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
式方程；④未知数的最高次数是3；⑤整理后二次
项系 数为零．
总结
知1－讲
一元二次方程的识别方法： 整理前：①整式方程，②只含一个未知数； 整理后：未知数的最高次数是2.
知1－练
1 下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( )
A．ax2＋b1x＋c＝0
B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋ x ＝2
D．x2－x－2＝0
知3－练
2 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润10万元，由于产品畅
销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份 利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满 足的方程为( ) A．10(1＋x)2＝36.4 B．10＋10(1＋x)2＝36.4 C．10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝36.4 D．10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝36.4
c的值分别是( )
A．1，－3，10
B．1，7，－10
C．1，－5，12
D．1，3，2
知2－练
2 关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋|m|－1＝0
的常数项为0，则m等于( )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．0
知3－讲
知识点 3 利用一元二次方程建立实际问题模型
1. 一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世 界的一 个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系 通过设未知数用一元二次方程来表达．
2. 常用一元二次方程来建模的问题有：图形的面 积、增长(利润)率、行程问题、工程问题等．
例3 小雨在一幅长90 cm，宽40 cm的油画四周外围镶上一条宽
度相同的边框，制成一幅挂图并使油画画面的面积是整 个挂图面积 的54%，设边框的宽度为x cm，根据题意，列 出方程．
知3－讲
在油画四周外围镶x上宽度为x 90 cm的边框，则整个挂图4的0 长
你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗？如果设梯 子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？
知识点 1 一元二次方程的定义
议一议
由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (8－2x)(5－2x)＝18， x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2， (x＋6)2＋72＝102.
这三个方程有什么共同特点？
2 若方程(m－1)x|m|+1－2x＝3是关于x一元二次方程
，则( )
A．m＝1
B． m＝－1
C． m＝±1
D．m≠±1
知识点 2 一元二次方程的一般形式
知2－讲
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过 整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0 (a≠0)这种形 式叫做一元二次方程的一般形式 .
第二章 一元二次方程
认识一元二次方程
第1课时
1 课堂讲解 一元二次方程的定义
一元二次方程的一般形式
2 课时流程 利用一元二次方程建立实际问题模型
逐点 Байду номын сангаас讲练
课堂 小结
作业提 升
幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中 间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度 都相同，你能求出这个宽度吗？ 如果设所求的宽度为x m， 那么你能列出怎样的方程？ 观察下面等式：
一元二次方程的项和各项系数
二次项系
一次项系数
数 a≠0
a x²+b x+ c =0
二次项 一次项
知2－讲
常数项
知2－讲
例2 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一 般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数
和常数项． 解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2－8x－10＝0. 其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项 为－10.
＝2；
知1－讲
③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；
⑤2x2－3x＝2(x2－2)，是一元二次方程的有(
A )
A．1个 B. 2个 C．3个 D．4个
导引：要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程
及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一
元二次方程的条件．①中有两个未知数；②不是整
总结
知2－讲
(1)ax2＋bx＋c＝0，当a≠0时，方程才是一元二次方程，但b，c可以是0. (2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、去括号、移项、 合并同类项等步骤． (3)指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；指出某项系数时应连 同它前面的符号一起.
知2－练
1 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，
102＋112＋122＝132＋142.
你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方 和等于后两个数的平方和吗？
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那 么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意， 你能列出怎样的方程？
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子 的底端滑动多少米？
判别一元二次方程的“两方法”： (1)根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含有一
个未知数；三是未知数的最高次数是2. (2)根据一般形式要把握两点：一是能化成ax2＋bx＋c
＝0的形式，且a一定不能为0，而b，c都可以为0； 二是判断是否为一元二次方程与其解的情况无关．
知1－导
知1－讲
1.定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都 可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形 式，这样的方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的识别方法：整理前是整式方程 ，且只含一个未知数；整理后未知数的最高次数是2.
例1
下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋
1 x